微积分基本公式55845

1、2021-11-231一一 问题的提出问题的提出二二 积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数三三 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式四四 小结小结五五 思考、判断题思考、判断题第二节 微积分基本公式2021-11-232考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(ttdttv 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时是时间间隔间间隔,21tt上上t的一个连续函数的一个连续函数. .另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12tsts 一 问题的提出（intr

2、oduction)(1) ).()()(1221tstsdttvtt ).()(tvts 即即说明说明 由于位置函数是速度函数的原函数由于位置函数是速度函数的原函数所以（所以（1 1）式表示，速度函数的定积分就是）式表示，速度函数的定积分就是其原函数在区间上的增量其原函数在区间上的增量2021-11-233 xadxxf)( 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设x为为,ba上的一点，上的一点，考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如果上限如果上限x在区间在区间,ba上任意变动，则对上任意变动，则对于每一个取定

3、的于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所值，定积分有一个对应值，所以它在以它在,ba上定义了一个函数，上定义了一个函数， 二 积分上限函数及其导数2021-11-234abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x2021-11-235 dttfdttfdttfxaxxxxa )()

4、()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x2021-11-236推论推论 )()()()(xxfxxf )()()()(xxdttfdxdxf ( (3 3) ) dttfxfxx )()()()( 则则)(xf 的的导导数数为为如如果果)(tf连连续续，)(x 、)(x 可可导导，（1）)()()()()(xfdttfxfdttfxfxaax 则则（2）)()()()()()()()(xxfdttfxfdttfxfxaxa 则则2021-11-237

5、例例1 1 已知已知dtttbx)1ln(sin 求求dxdy解解)(sin1sinlnsin( xxxxxxcos)1sinlnsin( dtttdxdyxb) 1ln(sin2021-11-238定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数. .定理的重要意义定理的重要意义1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的. .2 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联

6、系的联系.3 3）我们可以通过原函数来计算定积分。）我们可以通过原函数来计算定积分。2021-11-239定理定理 3 3（微积分基本定理）（微积分基本定理）如如果果)(xf是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(afbfdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已已知知)(xf是是)(xf的的一一个个原原函函数数，cxxf )()(,bax 证证三三 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式（fundamental theorem of calculus)2021-11-2310令令ax 0)()

7、( dttfaaa,)(caf ),()()(afxfdttfxa ,)()(cdttfxfxa 令令bx 牛顿牛顿(newton)莱布尼茨莱布尼茨(leibniz)公式公式,)()(caaf 则则).()()(afbfdxxfba 则则2021-11-2311)()()(afbfdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxf)( (1) 一一个个连连续续函函数数在在区区间间,ba上上的的定定积积分分等等于于它它的的任任意意一一个个原原函函数数在在区区间间,ba上上的的增增量量. (3)当当ba 时时，)()()(afbfdxxfba 仍仍成成立立. (2)求定积分问题转化为

8、求原函数不定积分求定积分问题转化为求原函数不定积分的的问题的的问题.2021-11-2312例例2 2 求求 .102dxx 解解 由于由于2x的一个原函数是的一个原函数是33x, ,.313103102 xdxx所以所以例例3 3 求求 .11312dxx 31312arctan11 xdxx 127)4(3 )1arctan(3arctan 解解2021-11-2313例例4 4 计算计算 21xdx 2ln1ln2lnln2121 xxdx解解例例5 5 设设 0,0,1)(2xexxxfx 31)2(dxxf求求解解 1131)(2)2(dttftxdxxf令令 eettdtedttt

9、t13731)1(100130101102 2021-11-2314例例6 6 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.2021-11-2315例例 7 7 设设)(xf在在),( 内连续，且内连续，且0)( xf. .证明函数证明函数 xxdttfdtttfxf00)()()(在在), 0( 内为单调增内为单调增加函数加函

10、数. .证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxf2021-11-2316 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxf)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxf故故)(xf在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数. .2021-11-2317例例8 8 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原式原式. 6 例例 9 9 计计算算曲曲线线xysin 在在, 0 上上与与x轴轴所所围围 成成的的平平面面图图形形的的面面积积. . 解解 xyo 0sin xdxa 2cos0 x2021-11-2318 10202)(2)(