空间自相关聚集分析

1、空间自相关聚集分析1陈慈仁、林峰田、何灿群一、概述在统计上，透过相关分析(correlation analj以!检测两种现象统计量)的变 化是否存在相关性，例如：稻米的产量，往往与其所处的土壤肥沃程度相关若 其分析之统计量系为不同观察对象之同一属性变量，则称之为自相关 (autocorrelation故，所谓的空间自相关(spatial autocorrela乃是研究空 间中，某空间单元与其周围单元间，就某种特征值，透过统计方法，进行空间自 相关性程度的计算，以分析这些空间单元在空间上分布现象的特性。计算空间自相关的方法有许多种，然最为知名也最为常用的有：Morans I Gearys C G

2、etis Join counit等。但这些方法各有其功用，同时亦有其适用范畴 与限制，当然自有其优缺点。一般来说，方法在功用上可大致分为两大类：一为 全域型(Global Spatial Autocorr)lat另一则为区域型(Local Spatial Autocorrelation 种。全域型的功能在于描述某现象的整体分布状况，判断此现象在空间是否有聚 集特性存在，但其并不能确切地指出聚集在哪些地区。且若将全域型不同的空间 间隔(spatial la的空间自相关统计量依序排列，还可进一步作空间自相关系数 图(spatial autocorrelation coefficient )co分析

3、谖现象在空间上是否有阶层 性分布。而依据 AnselinC 1995)提出 LISA (Local Indicators of Spatial Association 方法论说法，区域型之所以能够推算出聚集地(spatial hot )spKt范围，主要有 两种：一是藉由统计显著性检定的方法，检定聚集空间单元相对于整体研究范围 而言，其空间自相关是否够显著，若显著性大，即是该现象空间聚集的地区，如： Getis和Ord (1992)发展的Getis统计方法；另外，则是度量空间单元对整个研 究范围空间自相关的影响程度，影响程度大的往往是区域内的特例(outliers 也就表示这些特例点往往是空间

4、现象的聚集点，例如：Anseliis Moran Scatterplot在许多研究案例中，Morans I和Getis是最被经常使用的方法。下文将分别 介绍之。1改舄自隗慈仁(2001)台北市资言刊款髓棠舆别鄙祭路服矜棠匾位分怖之研究(第三章) 1!立台湾大孥建篥城乡郎研究所镇士文。二、全域型Morans法全域型Morans计算方式，是基于统计学相关系数的共变量（covariance 关系推算得来。一般而言，统计学上的变异数与共变量皆是用于数值资料改变程 度的度量工具。变异数是一组变量（x ）内部变量的平均单位，以组内各数与平i均数（X）差距之平方和，除以总项数而得。其公式如下： 从顼燮巽敷（

5、var iance）= TOC o 1-5 h z nn而共变量乃是两组数相互变量的平均单位，由其中一组变量的每项（土）， 对平均数（X）的差距，而另一组变量的每项（y），对平均数（7）的差距之 相乘积，除以总项数而得。公式如下： C - 7 一 v） 共燮青攵（cov ariance） =ii n当（丁X ）与（V7 ）两组数同时为正，或为负时，则（丁X）必为负，代表两必为正，代表两组数变化相同，或大部分方向相同，因此其为正相关。反之，若（XX ）与（VV）分别为一正一负时，则（XX）（V7组数的变化方向不同因此两组数是呈负相关。此外，（XX）（V -V ）的大小，i亦受（X如）与（VV）两

6、组数与其平均数变化有关，两者均大、一大一小， 或是两者皆小，都会使得（XX）（ Vi-7）变化甚微，因此共变量的大小程度亦 即代表两组数的相关性大小。因此，Morans I便基于这种概念发展而出，而全 域型的Morans I的公式如下： Wij（X. - X）（. - X）w n一 一 JI = X i=1 j=1 ILwji G- xi=1 j=1i=1其中，Wij是研究范围内每一个空间单元i与j（ j = 1,2,3,.,n ）区空间单 元的空间相邻权重矩阵。以1当作i与1相邻时，而以0表示i与1不相邻。 而I的期望值为E(I )=-1-(n -1)其变异数(虚无假设为随机分布)为/ )

7、$2 3n + 3nS + 3S -2 * 2nS + 6S 2)Vard J =11、-ow 12o EU 力侦1)n 2)n 3)S 2 0其中S = N E i=1 jS =(Wij + Wjii=1 j=1S = u (wi. + W.iI W i为空间相临权重矩阵i行 W.i为i列3i=1仔(X)/i / n仲(X)2/ iL j=1依照以上步骤计算出的Morans值结果一定介于-1到1之间，大于0为正相 关，小于0为负相关，且值越大表示空间分布的相关性越大，即空间上有聚集分 布的现象(如图1)。反之，值越小代表示空间分布相关性小，而当值趋于0时， 即代表此时空间分布呈现随机分布的情

8、形。图1空间自相关正负结果示意图Morans I0(正相关)Morans I0(负相关)若要将单位去除，则I值标准化的公式如下:z 0)=虹驱.(Var U )对I值进行显著性检定时，在5%显著水准下，Z(I大于1.96时，表示研究范 围内某现象的分布有显著的关连性，亦即范围内存有空间单元彼此的空间自相关 性。而z(I)若介于1.96与-1.96之间，则表示研究范围内某现象的分布的关连性 不明显，空间自相关性亦较弱。此外，若Z(I若小于-1.9时，则表示研究范围内 某现象的分布呈现负的空间自相关性。三、区域型Getif统计法Anselin(1995)曾归纳各种空间聚集的研究方法(LISA)，其

9、实多可以下列 通式表达：= Z w yj TOC o 1-5 h z 其中，W即i与的空间关系，即类似上述空间相邻权重矩阵Wij的意思， 而y则是i与j的观察式。唯各家对y的假设与观念不同，而发展出不同的空 Uu间聚集的研究方法。例如：yk-x)-X)则便成为Morans式的内涵，若yi=xi或是(普x)则就是Geti的统计式内涵。而全域型Geti的公式如下：Ew. (d) xx.ij、 / jG(d) = j= j。1Ex.jj=1其中w(d)为在d距离内的空间相邻权重矩阵。同样地，若i与相邻，该 wM)为1，不相邻为0。此式的功用与全域型的Morans相似。而区域型GetiS则是量测每一个

10、i，在距离为d的范围内，与每个j的相关 程度。公式如下：wij(d) xjGj(d) = j=1 j。1Ex.jj=1若将i本身亦列入计算范围内，此时公式则可改写为:w (d)x.ijjG：(d) =Ex.jj=1四、空间自相关系数图分析法（Spatial Autocorrelation Coefficient COrrelogram之前已提及，在全域型空间自相关的分析方法中，Wij是相邻权重矩阵。而 每个Wij其实都是以一个空间单元为基础，以一定距离所含盖的范围作为矩阵运 算的范围。因此，Wij其实皆可以改写为W（d）ij其中d就是距离。如果将d的 基本单位同设为一规则方格形空间单元的边长，

11、那么每一个d的基本单位就可以 视为一个空间间隔（spatial lag例如：一个空间单元为300公尺X300公尺的规 则方格，而d的基本单位亦为300公尺，那么如今要求d为900公尺时，其空间 间隔（spatial la则为3。以此规则计算不同空间间隔的全域型空间自相关值， 再把每个对应空间间隔顺序的值连成一线，就可以得到空间自相关系数图（Spatial Autocorrelation Coefficient Gbrif例如图|a& 是某地区的某种空间自 相关系数图，从图中我们可以得到几个重要的信息：图中有两处隆起处，代表微视尺度（本例为空间间隔为15 ）及宏观尺 度本例为空间间隔1320）上

12、，存在显著的聚集分布现象。但聚集现象不 存于中观尺度本例为空间间隔6-12上。在图中，空间间隔为2时，空间自相关值有波峰（peak），亦即在空间间 隔为2时，其空间分布有最大的自相关性。图 2 Correlograms意图分子二-3.088Moran,s I-0.17739分母二17.408Getis=1.882353S2=0.2176sum=17 average=0.68五、EXCEL程序（林峰田作）请在5*5的原始矩阵填入不同的1或0，观察MoranI和Getis值的变化。0.918861671110111110111010001010111原始矩阵10000X-avg(X)(X-avg(

13、x)20.320.320.32-0.680.320.10240.10240.10240.40.320.320.320.32-0.680.10240.10240.10240.10.320.320.32-0.680.320.10240.10240.10240.4-0.68-0.68-0.680.32-0.680.46240.46240.46240.10.32-0.680.320.320.320.10240.46240.10240.1Local Moran ILocal Getis0.20480.3072-0.0128-0.6528-0.43522320.30720.40960.4096-0.5504-0.6528344-0.01280.0896-0.2304-0.8704-0.65282320.02721.1696-0.1904-0.5504-0.6528000-0.43520.0272-0.33280.3072-0.