新高一下学期暑假作业14个专题解析版

1、第01练 空间向量及其运算、空间向量基本定理【知识梳理】知识点一 向量的概念与向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量【向量的几何表示】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，字母表示，用小写字母、，表示有向向量的长度为模，表示为|、|，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量【向量的模】的大小，也就是的长度（或称模），记作|【零向

2、量】长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定【单位向量】长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）【相等向量】长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性知识点二 平行向量（共线）1、平行向量： 方向相同或相反的非零向量如果，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行2、共线向量： 如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量零向量与任一向量共线说明

3、：（1）向量有两个要素：大小和方向（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量 共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量知识点三 两向量的和或差的模的最值【知识点的知识】 向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量当两个向量相加时，有|+|+|，当且仅当与方向相同时取得到等号；也有|+|，当且仅当与方向相反时取得到等号 另外还有|+|，当且仅当与方向相反时取得到等号；|，当且仅当与方向相同时取得到等号知识点四 向量数乘和线性运算【知识点的知识】（1）实数与向量的积是一个向量，记作，它的大小为|

4、，其方向与的正负有关若|0，当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反当0时，与平行对于非零向量a、b，当0时，有 （2）向量数乘运算的法则1；（1）；（）（）（）；（+）+；（+）+一般地，+叫做，的一个线性组合（其中，、均为系数）如果+，则称可以用，线性表示1（2022镇海区校级模拟）已知向量，则“存在实数，使得”是“共线”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据已知条件，结合向量共线的判定定理，即可求解【解答】解：存在实数，使得，则共线，故充分性成立，共线，当为零向量时，不一定成立，故必要性不成立，故“存在实数，使得”是“共线”的

5、充分而不必要条件故选：【点评】本题主要考查向量共线的判定定理，属于基础题2（2022江西模拟）已知向量，且，则AB1CD2【分析】由已知条件结合向量模的求法可得，再代入坐标运算即可求解【解答】解：由题意可得，即，可得，又，即有，解得，故选：【点评】本题考查了向量模的求法，向量数量积的坐标运算，属于基础题3（2022洛阳模拟）已知向量，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据已知条件，结合向量的平行公式，即可求解【解答】解：当时，故充分性成立，向量，则，解得，或，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件故选：【点评】本题主要考查向量的平行

6、公式，属于基础题4（2022辽宁模拟）已知点为的重心，点是线段的中点，则为A2BCD【分析】由已知可得，然后根据向量模的运算性质化简即可求解【解答】解：由已知可得，所以，所以，故选：【点评】本题考查了向量的概念以及模的运算，考查了学生的运算求解能力，属于基础题5（2022乌鲁木齐模拟）若平面向量与方向相同，且，则ABCD【分析】根据题意可设，且，再根据模长公式列方程求出即可【解答】解：因为与方向相同，可设，且，又因为，所以，解得，所以故选：【点评】本题考查了平面向量的共线定理与数量积运算问题，是基础题6（2022榆林二模）已知，则A2B4CD【分析】由，两边平方可得，再由向量展开代入求解即可【

7、解答】解：由题意，可得，即，又，代入可得，解得，所以，故选：【点评】本题考查了向量的线性运算和模的求法，是基础题7（2021浙江模拟）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为AB2CD3【分析】由可知，所以的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为，再将其化成，的模和夹角可解得【解答】解：设与的夹角，由可知，所以的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为故选：【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算、向量模、向量和差几何意义，考查数学运算能力，属于难题8（2022吕梁一模）在中，为的中点，与交于，则ABC

8、D【分析】由，结合点、三点共线求解即可【解答】解：由中，为的中点，与交于，则，由点、三点共线，则，解得，故选：【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三点共线的性质，属基础题9（2021新乡二模）在中为边的中点，则ABCD【分析】由于为边的中点，可得，结合已知即可求解向量，的关系式【解答】解：因为为边的中点，所以，因为，所以，则故选：【点评】本题主要考查了向量的运算，考查了转化思想，属于基础题二填空题（共6小题）10（2022呼和浩特一模）已知菱形的边长为3，点，分别在边，上，且满足，则3【分析】根据题意，有菱形的性质可得，由数乘向量的性质可得是的中点，是的中点，则有，即可得答案【解答

9、】解：根据题意，菱形的边长为2，则，必有，又由，则是的中点，是的中点，则，则，而，则，故答案为：3【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则的应用，涉及向量加法的定义，属于基础题11（2022惠农区校级三模）设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则【分析】向量与的方向相反，直接列出关系式，根据向量相等，求出的值【解答】解：向量与的方向相反，可得，得，故答案为：【点评】本题考查相等向量与相反向量，考查计算能力，是基础题12（2021贵溪市校级模拟）若向量，则向量与向量共线对（判断对错）【分析】根据平面向量的共线定理，判断即可【解答】解：向量，根据平面向量的共线定理知，向量与向量共线故答案

10、为：对【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题13（2021芜湖模拟）已知，是单位向量，则【分析】由得，两边平方得值，可求得值【解答】解：由得，是单位向量，得，故答案为：【点评】本题考查向量和差、数量积、模的运算，考查数学运算能力，属于基础题14（2022重庆模拟）点在内部，满足，则【分析】分别延长至，至，至，使，结合题意得出是的重心，再计算与的面积比【解答】解：根据题意，分别延长至，至，至，使，如图所示：由，得，所以点是的重心，所以，设，则，所以故答案为：【点评】本题考查了三角形面积计算问题，也考查了三角形重心的性质以及平面向量在几何中的应用问题，是中档题15（2022长安区校

11、级三模）在中，是边上的中点，则的值为【分析】把和代入要求的式子化简可得结果【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求向量的模的方法，把要求的式子化为，是解题的关键16（2020滨州三模）已知是三角形内部一点，满足，则实数A2B3C4D5【分析】根据条件可以得出，并设，这样即可得出，三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值【解答】解：如图，令，则：，三点共线；与共线反向，；解得故选：【点评】本题考查向量的数乘运算，三点共线的充要条件：，且，共线向量基本定理，三角形的面积公式17（2017宝鸡三模）已知点是圆：上的动点，点，是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点

12、，且，则的最大值为A5B6C7D8【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，再利用向量模的运算性质求得的最大值【解答】解：由，得，即，为外接圆的直径，如图所示；设坐标原点为，则，是圆上的动点，当与共线时，取得最大值7；故选：【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了直线与圆位置关系的应用问题，是中档题18（2020天津）如图，在四边形中，且，则实数的值为，若，是线段上的动点，且，则的最小值为【分析】以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点的坐标，即可求出的值，再设出点，的坐标，根据向量的数量积可得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值【

13、解答】解：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，设，解得，设，则，其中，当时取得最小值，最小值为，故答案为：，【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题19（上海）已知平面向量、满足，且，2，则的最大值是【分析】分别以所在的直线为，轴建立直角坐标系，分类讨论：当，设，则，则，有的最大值，其几何意义是圆上点与定点的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可【解答】解：分别以所在的直线为，轴建立直角坐标系，当，则，设，则，的最大值，其几何意义是圆上点与定点的距离的最大值为；且，则，的最大值，其几何意义是圆上点与定点

14、的距离的最大值为，则，设，则的最大值，其几何意义是在圆上取点与定点的距离的最大值为，故的最大值为故答案为：【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：为该圆的半径，为该点与圆心的距离）20（2019广元模拟）在中，设点，满足，若，则ABCD2【分析】如图所示，由，可得又，可得，展开利用数量积运算性质即可得出【解答】解：如图所示，又，在中，解得故选：【点评】本题考查了平面向量三角形法则及其应用、向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（2013浙江模拟）已知中，点是线段（含端点）上的一点，且，则的取值

15、范围是，【分析】如图所示，建立直角坐标系设，由，可得由向量的平行四边形法则可得：，可得，利用数量积的性质可得，可得，即又，可得，于是，进而得出【解答】解：如图所示，建立直角坐标系设，即若，那么、三点共线，即为和交点，此时，矛盾，舍去又，即（当且仅当或时取等号）综上可知：故答案为：，【点评】本题综合考查了向量的平行四边形法则、数量积的运算性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题第02练 平面向量的数量积【知识梳理】知识点一 平面向量数量积的含义与物理意义【知识点的知识】1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量，如果以O为起点，作，那么射线OA，OB的夹角叫做向量与向量的夹角，其中02、

16、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为，那么我们把|cos叫做与的数量积，记做即：|cos规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0注意： 表示数量而不表示向量，符号由cos决定； 符号“”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替；在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0（2）投影：在上的投影是一个数量|cos，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度|与在的方向上的投影|cos的积知识点二 平面向

17、量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为，则：（1）|cos；（2）0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，|；当，方向相反时，|；特别地：|2或|（用于计算向量的模）（4）cos（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（）（）（）；（3）分配律：（）（）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为（）222+2（）（+）22（）（），从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样知识点三 数量积

18、表示两个向量的夹角【知识点的知识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角，并且还有这样的公式：cos通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了知识点四 向量的投影【知识点的知识】1、两个向量的数量积及其性质：（1）|cos，；（2）0（，为非零向量）；（3）|22，|2、向量的投影：|cosR，称为向量在方向上的投影 1已知，且，则在上的投影向量为ABCD【分析】由先求出，先表示出在上的投影，再结合投影向量概念即可求解【解答】解：因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以在上的投影为：，所以在上的投影向量为故选：【点评】本题

19、考查平面向量的意义，考查学生的运算能力，属于中档题2已知，且与夹角，则在上的投影为A1BCD【分析】利用在上的投影为，即可得出答案【解答】解：，所以，所以在上的投影为，故选：【点评】本题考查向量的数量积，向量的投影，属于基础题3已知向量，则在上的投影向量为ABCD【分析】可求在上的投影，然后即可得出在上的投影向量【解答】解：向量，则在上的投影为：，在上的投影向量为故选：【点评】本题考查了投影和投影向量的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题4已知为的外心，若，则ABCD【分析】过圆心作于点，而，由此容易得解【解答】解：如图，过圆心作于点，则为中点，故选：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考

20、查运算求解能力，属于基础题5已知为所在平面内一点，若，则AB8CD16【分析】由题意可知，是的外心，利用数量积投影意义即可得到结果【解答】解：设，分别为，的中点，是边，的中垂线，是的外心，故选：【点评】本题考查了数量积投影意义，属于中档题6若，且，则的值为AB1CD【分析】直接根据数量积定义，向量垂直即可求解【解答】解：，且，故选：【点评】本题考查数量积定义，向量垂直，属基础题7设为单位向量，当，的夹角为时，在上的投影向量为ABCD【分析】由平面向量数量积运算，结合投影向量的概念求解即可【解答】解：由题意可知：，则在上的投影向量为，故选：【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影向量

21、的概念，属基础题8如图，在等腰梯形中，则ABCD【分析】以的中点为原点，建立平面直角坐标系，写出，的坐标，再由平面向量的坐标运算法则，即可得解【解答】解：以的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以，又，所以，所以，所以故选：【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，遇到规则图形，一般建立坐标系，将问题转化为向量的坐标运算可简化试题难度，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题9在中，分别是边上的三等分点，则的值是A6BC8D【分析】作图，根据向量三角形法用表示出，结合已知条件得答案【解答】解：如图，故选：【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，数形结合思想，属于中档题10在中，则A

22、BCD15【分析】由平面向量数量积运算，结合向量的夹角求解即可【解答】解：在中，则，故选：【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题11若向量，满足，则与的夹角为ABCD【分析】由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可【解答】解：已知向量，满足，则，即，设与的夹角为，则，又，则与的夹角为故选：【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题二多选题（共2小题）12已知向量，的夹角为，且，则和在方向上的投影的数量分别等于A4B2C1D【分析】根据平面向量的数量积计算模长，根据投影的定义计算对应的数值【解答】解：向量，的夹角为，所以；所以，

23、所以；所以在方向上的投影的数量为故选：【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了投影的计算问题，是基础题13在中，边上的中线，则下列说法正确的有ABCD的最大值为【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，向量的数量积运算，正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用判断、的结论【解答】解：在中，边上的中线，对于，由余弦定理知，化简得，即，故正确；对于，故错误；对于：在中，由余弦定理知，当且仅当时取等号；由可知，由选项可知，则，解得：，故，故错误；对于，所以的最大值为，故正确；故选：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和

24、数学思维能力，属于中档题三填空题（共2小题）14已知向量，方向相反，且，则在方向上的数量投影为 【分析】根据投影的定义，应用公式在方向上的数量投影为，求解即可【解答】解：向量，方向相反，且，根据投影的定义可得：在方向上的数量投影为故答案为：【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用解答关键在于要求熟练应用公式，是基础题15已知向量，满足，与的夹角为，则【分析】根据平面向量数量积的定义与性质即可求解【解答】解：由题意可得，故答案为：【点评】本题考查平面向量数量积的定义与性质，属基础题16如图，是圆的弦，已知，则2【分析】如图所示，过点作，垂足为可得，再利用数量积运算

25、性质即可得出【解答】解：如图所示，过点作，垂足为，故答案为：2【点评】本题考查了圆的垂经定理、向量垂直与数量积直角的关系、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17在中，则在方向上的投影为【分析】先根据正弦定理求出边的长度，再由题意得出向量与的夹角为，利用投影的定义即可求解【解答】解：在中，由正弦定理得：，又根据题意：向量与的夹角为，向量与的夹角为，则在方向上的投影为故答案为：【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用18已知三点在平面直角坐标系所在平面内，点、分别在、轴正半轴上滑动，则的最大值为 【分析】建系，利用坐标法通过向量数量积构建函数模型

26、，根据函数思想求解【解答】解：在中，如图以直线为新的横轴轴，以直线为新的纵轴轴建立新的直角坐标系，则，中点为，设点为，则点在以为直径的圆上，又圆方程为，令，的最大值为故答案为：【点评】本题考查平面向量数量积，坐标法，函数思想，属中档题19已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为 ，【分析】设，结合题意可得，从而化简可得，进而可得，根据向量三角不等式可求解【解答】解：设，则，故，即，又，即，故答案为：，【点评】本题考查了平面向量运算的综合应用及向量三角不等式的应用，属于中档题20已知向量满足为非零的实数），设向量的夹角为，有下列四个命题其中正确的命题有 （填写所有正确结论的编号）存在，使得；不存

27、在，使得；当变化时，的最大值为1；当变化时，的最小值为【分析】将两边平方，再由，解关于的方程，即可；由，解之即可；先由平面向量夹角公式求得，再令，观察方程是否有解，可进行排除；不妨取，根据方程有解，推出的最小值不可能为【解答】解：因为，所以，若存在，使得，则，解得或1，因为为非零常数，所以，即正确；若，则，解得，即错误；由知，所以，若，则，解得，与为非零实数相矛盾，即错误；取，则，化简得，该方程有解，即存在实数使得，故错误故答案为：【点评】本题考查平面向量的综合，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题21在平面内，定点，满足，且，则；平

28、面内的动点，满足，则的最大值是 【分析】利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出，进而根据，平方后计算出，从而求出；然后建立平面直角坐标系，设出，表达出和，利用三角函数有界性求出最大值【解答】解：因为，所以，两边平方得：，即，解得：，因为，所以，因为所以；可得到是等边三角形，且边长为，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，垂直为轴建立平面直角坐标系，因为，所以设，由可得：是线段的中点，则，则当时，取得最大值，最大值为故答案为：，【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题22在梯形中，与相交于点若，则；若，为线段延长线上的动点，则的最小值为 【分析】易知，且四边形为菱形，

29、根据平面向量的运算法则，将表示成以，为基底的向量运算，即可得解；设，由，可求得，再将表示成以，为基底的向量运算，然后由二次函数的性质，得解【解答】解：由题意知，且四边形为菱形，所以，所以；设，则，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以当时，取得最小值，为故答案为：；【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题23如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连着等腰直角三角形，等腰直角三角形上再连接正方形，如此继续，正方形的边长为1，为正方形上的任一点，则的最大值为 【分析】设，将上式展开，根据向量点积的运算公

30、式得到原式等于，进而得到最终结果【解答】解：设，由图形得到：，展开得到，向量和向量夹角等于和的夹角等于，向量和向量夹角等于和的夹角等于，当时取得最大值为：故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题第03练 平面向量的基本定理及坐标表示【知识梳理】知识点一 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识点的知识】1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量，如果以O为起点，作，那么射线OA，OB的夹角叫做向量与向量的夹角，其中02、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为，那么我们把|cos叫做与的数量积，记做即：|cos规定：零向量与任意向量的数

31、量积为0，即：0注意： 表示数量而不表示向量，符号由cos决定； 符号“”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替；在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0（2）投影：在上的投影是一个数量|cos，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度|与在的方向上的投影|cos的积知识点二 平面向量的基本定理【知识点的知识】1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数1、

32、2，使2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一知识点三 平面向量的正交分解及坐标表示【知识点的知识】1、平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2、平面向量的坐标表示：若、为平面直角坐标系中与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任一向量，有且仅有一对实数x，y，使得x+y，使得x+y，我们把（x，y）称为的坐标表达式为x+y（x，y）知识点四 平面向量的坐标运算【知识点的知识】 平面向量除了可以用有向线段表示外，还可

33、以用坐标表示，一般表示为（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d若（m，n），则+（x+m，y+n），则（xm，yn）；（xm，ny），（x，y）【典型例题分析】例：已知平面向量满足：，且，则向量的坐标为（4，2）或（4，2）解：根据题意，设（x，y），若，有0，则x+2y0，若，x2+y220，联立，可得，解可得或，则（4，2）或（4，2）；故答案为（4，2）或（4，2） 这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设（x，y），根据题意，由，可得x+2y0，由，可得x2+y220，联立两式，解可得x、y的值，即可得的坐标这也是常用的一种方法知识点五 平面向量共线

34、（平行）的坐标表示【知识点的知识】平面向量共线（平行）的坐标表示：设（x1，y1），（x2，y2），则（）x1y2x2y10一选择题（共12小题）1已知点，向量，则向量ABCD【分析】根据点，的坐标可求出向量的坐标，然后根据即可求出向量的坐标【解答】解：故选：【点评】本题考查了根据点的坐标求向量坐标的方法，向量减法的几何意义，向量坐标的减法运算，考查了计算能力，属于基础题2已知向量，则等于ABCD【分析】由题意，利用两个向量坐标形式的运算法则，计算可得结果【解答】解：向量，则，故选：【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，属于基础题3已知向量，若，则实数A1BCD【分析】利用向量平行的等价

35、条件得，从而求得【解答】解：，解得；故选：【点评】本题考查了向量平行的性质的应用，属于基础题4已知向量，且，那么实数的值是ABCD1【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，得出结论【解答】解：向量，且，故实数，故选：【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，属于基础题5已知向量，若，则ABCD【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，列方程求出即可【解答】解：向量， 4，若，则，故选：【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题6已知，若，则等于A4BCD2【分析】利用平行向量的坐标关系求解【解答】解：，且，解得，故选：【点评】本题主要考查了平行向量的坐标关系，属

36、于基础题7已知向量、满足，则A1B3C5D7【分析】由平面向量的坐标运算化简，再利用模长公式求解即可【解答】解：因为，所以，所以，故选：【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题8已知，满足，则ABCD【分析】由已知求得，再由，展开后代入数量积求解【解答】解：由，得，解得故选：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是基础题9平面向量与的夹角为，则等于ABC4D12【分析】可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案【解答】解：，故选：【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题10已知向量，且与的夹角，则ABCD【分析】根据

37、题意，由数量积的计算公式可得，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，向量，则，则有，故，故选：【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题11在中，角，所对的边分别为，是内切圆的圆心，若，则的值为ABCD【分析】建系，根据坐标法，平面向量坐标运算，三角形内心性质，方程思想即可求解【解答】解：如图，内切圆的圆心在边高线上（也是边上的中线），以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，设内切圆的半径为，根据等面积算法可得：，解得，故内心为，故选：【点评】本题考查面向量坐标运算，三角形内心性质，方程思想，坐标法，属基础题12在正方形中，为的中点，为的中点，则ABCD【分析】

38、由平面向量的线性运算逐步表示即可得解【解答】解：由题可知利用平面向量的线性运算，则所以，故选：【点评】本题考查平面向量的基本定理，考查学生的运算能力，属于中档题二填空题（共6小题）13已知，则的取值范围是 ，【分析】直接利用向量的坐标运算求出向量，进一步利用向量的模和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：由于；所以；所以，当时，当时，；故的取值范围是，故答案为：，【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的模，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题14已知向量，则5【分析】可求出向量的坐标，然后即可

39、得出的值【解答】解：，故答案为：5【点评】本题考查了向量坐标的加法运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题15已知，是两个单位向量，设，且满足，若，则2【分析】根据题意作出草图，利用平面几何的性质，可证，再根据，可得，再利用，可得的夹角，再根据，再利用数量公式即可求出【解答】解：根据题意作出草图，令，由平行四边形法则，得，即，即，平行四边形为菱形，设，即向量的夹角为，即，即，故答案为：2【点评】本题考查向量的运算，考查向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16已知平面向量，若与反向共线，则实数的值为 1【分析】根据与反向共线，设，然后得出，再求出的值即可【解答】解：与反向共

40、线，设，且，解得故答案为：1【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题17已知向量，若，则实数【分析】由已知可得，的坐标，再由数量积为0列式求得实数的值【解答】解：，若，则，即，解得故答案为：【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直与数量积的关系，是基础题18已知，若、，则点坐标为 【分析】设处点的坐标，利用坐标表示向量，根据向量相等列方程组求出、的值即可【解答】解：设点，因为，、，所以，即，解得，所以点坐标为故答案为：【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，是基础题19已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为ABC，D【分析】根据条件，可

41、知若起点相同，则终点共线，利用数形结合法求解即可【解答】解：如图，设则，故，因为，其中，则若起点相同，则终点共线，即在直线上，所以当时，最小为1，无最大值，故的取值范围为，故选：【点评】本题考查了平面向量的应用，主要考查了三点共线与向量之间的关系，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与数形结合法的应用，属于中档题20已知平面向量，与不共线），满足，设，则的取值范围为ABC，D，【分析】根据题干可设，由，可知向量与的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，画出图像后根据圆的对称性即可进行求解【解答】解：设，设，故，在以为圆心，以1为半径的圆上，即，即，如图由圆的对称性可知中点在以为圆心，以为半径的圆上，

42、当运动到图2中位置时，此时取最大值2，当运动到图3中位置时，此时取得最小值，故选：【点评】本题考查了平面向量的坐标表示，以及圆的综合应用，属于中档题21在中，若点为边所在直线上的一个动点，则的最小值为ABCD【分析】首先建立平面直角坐标系，进一步求出点、的坐标，进一步求出的坐标，最后利用两点间的距离公式的运算求出结果【解答】解：以点为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：由于，所以，所以点的横坐标为，点的纵坐标为所以，设点的坐标为，所以，的横坐标为，的纵坐标为故的坐标为，由于，所以当时，的最小值为故选：【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，平面直角坐标系，向量的模和坐标之间的关

43、系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型22如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，若，则的最小值是ABCD【分析】，把，代入上式，再根据三点、共线求得与的关系，然后把转化为关于的函数，可解决此题【解答】解：，由，得，代入上式得，又因为、三点共线，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故选：【点评】本题考查向量线性运算及基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题二填空题（共2小题）23已知平面向量，且，若平面向量满足，则的最大值【分析】首先对两式，平方相加，然后利用三角不等式得，基本不等式得，从而求出的最大值【解答】解：由，得，两式相

44、加得，又，所以，即，当且仅当与反向时等号成立，而，当且仅当时等号成立，当且仅当与反向，时等号成立，则的最大值为故答案为：【点评】本题考查了平面向量的模，基本不等式、三角不等式的应用，是中档题24已知夹角为的向量，满足，若，则的最小值为【分析】借助坐标法解决【解答】解：在平面直角坐标系中，设与轴同向，过点作，则，设，则，则点的轨迹是以为圆心、1为半径的圆由图可知，点的轨迹是过点且斜率为的直线，直线方程为，所以，故答案为：【点评】本题主要考查向量的模，借助直线与圆的位置关系来解决问题，综合性较强，属于难题25已知是单位向量，向量，满足，且，设，当时，则【分析】由可得，结合化简得，再结合得，从而可得

45、到；同理可得，联立解方程，结合方程的解，检验是否成立，从而解出，的值，代入求即可【解答】解：，即，即，又，即，即，即，联立解得，或，当时，不成立，故不成立；当时，成立，故成立；故，；故答案为：【点评】本题考查了平面向量的线性运算及数量积运算，难点在于化简运算，属于难题26已知正方形的边长为2，对角线，相交于点，动点满足，若，其中，则的最大值为 【分析】建立直角坐标系，写出各点的坐标，找到相应向量的坐标，通过点坐标得到，最后利用三角函数的最值即可求解【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则，在以为圆心，半径为1的圆上，设，则，则，的最大值为：故答案为：【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，三角函

46、数的最值问题，考查数形结合与转化的数学思想，考查运算求解能力，属于难题27已知，若关于的方程有三个不相等实根，则实数的取值范围为，【分析】根据，可得，于是方程化为：时，方程化为：时，方程化为：结合图象即可得出【解答】解：，方程化为：时，方程化为：时，方程化为：时，方程化为：令，结合图象可得：时，直线与曲线有且只有一个交点时，方程化为：，或，解得，或关于的方程有三个不相等实根，或，且，解得或，实数的取值范围为，【点评】本题考查了向量共线定理、函数图象与性质、不等式的解法、分类讨论方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题第04练 正弦定理【知识梳理】知识点一 正弦定理【知识点的知识】

47、1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R （ R是ABC外接圆半径）a2b2+c22bccosA，b2a2+c22accosB，c2a2+b22abcosC变形形式a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sinA，sinB，sinC；a：b：csinA：sinB：sinC；asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosA，cosB，cosC解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在ABC中，已知a，b和角A时，解的情况 A为锐角A为钝角或

48、直角图形关系式absinAbsinAababab解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，absinA，无解当A为钝角或直角时，ab，无解2、三角形常用面积公式1Saha（ha表示边a上的高）；2SabsinCacsinBbcsinA3Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素2、判断三角形的形状3、解决与面积有关的问题4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决一选择题（共8小题）1在中，“”是“是

49、锐角三角形”的A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用正弦定理、余弦定理即可判断出，进而判断出结论【解答】解：在中，为锐角，但是不一定是锐角三角形，反之成立在中，是是锐角三角形的必要不充分条件，故选：【点评】本题考查了充要条件的判定方法、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2的内角，的对边分别为，已知，则ABCD【分析】利用正弦定理化边为角，再结合同角三角函数的商数关系，得解【解答】解：由正弦定理及，知，因为，所以，即，又，所以故选：【点评】本题考查解三角形中正弦定理的应用，熟练掌握边化角的思想，同角三角函数的商数关系是解题的关键，考查运

50、算求解能力，属于基础题3在中，角、的对边分别是、，若，则等于ABC或D或【分析】利用正弦定理求得，再根据的取值范围和“大边对大角”，即可得解【解答】解：由正弦定理知，所以，因为，且，所以，且，所以或故选：【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理是解题的关键，注意多解问题，考查运算求解能力，属于基础题4在中，内角，所对的边分别是，若，则ABC2D【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解【解答】解：由正弦定理可得，故选：【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题5在中，已知，则角ABCD或【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解【解答】解：，即，故选：【点评】本题主要考查正弦定理，属

51、于基础题6在中，若，则ABCD【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解【解答】解：，则故选：【点评】本题主要考查正弦定理，属于基础题7在中，则ABCD【分析】由已知利用正弦定理即可求解【解答】解：在中，则由正弦定理，可得故选：【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题8在中，已知，则角为AB或150C或D【分析】根据正弦定理，即可得解【解答】解：由正弦定理知，所以，所以或，经检验，均符合题意故选：【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理是解题的关键，注意多解问题，考查运算求解能力，属于基础题二多选题（共5小题）9在中，内角，所对的边分别为，则下列结论正确的有A若，则B若，则

52、一定为等腰三角形C若，则一定为直角三角形D若，则一定为锐角三角形【分析】选项中，结合“大角对大边”与正弦定理，可判断；选项中，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角公式，可判断；选项中，利用余弦定理化角为边，再结合勾股定理，可判断；选项中，由余弦定理可得角为锐角，但角，不确定【解答】解：选项中，由，可得，根据正弦定理得，即选项正确；选项中，结合正弦定理及，知，所以，所以或，即或，所以为等腰或直角三角形，即选项错误；选项中，由余弦定理及，知，化简得，即选项正确；选项中，由余弦定理知，所以角为锐角，但角，不确定，所以选项错误故选：【点评】本题主要考查三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角

53、公式是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题10中，角、所对的边为，下列叙述正确的是A若，则B若，则有两个解C若，则是等腰三角形D若，则【分析】选项，结合正弦定理与“大边对大角”，可判断；选项，由，知有两个解；选项，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角公式，得解；选项，利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式，化简运算，可得，然后根据余弦函数的单调性，得解【解答】解：选项，由正弦定理知，因为，所以，所以，即选项正确；选项，所以有两个解，即选项正确；选项，由正弦定理及，知，即，所以或，所以或，故为等腰或直角三角形，即选项错误；选项，由正弦定理及知，又，所以，因为，所以，又

54、，所以，即选项错误故选：【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，二倍角公式，两角和的正弦公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题11若的内角，所对的边分别为，且满足，则下列结论正确的是A角一定为锐角BCD【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果【解答】解：由于，利用三角函数关系式的变换：，即：，整理得：，所以；利用正弦定理：，利用余弦定理：，由于，故，整理得，故选：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题12在中，下列命题错

55、误的是A若，则B若，则一定为等腰三角形C若，则一定为等腰三角形D若三角形的三边满足，则该三角形的最大角为钝角【分析】根据正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换即可逐项求解【解答】解：对于选项，由正弦定理结合大角对大边得：，故选项正确；对于选项，由于，又， 是三角形的内角，所以，或，即或，因此 可能为等腰三角形或直角三角形，故选项错误；对于选项，若中，可得，不是等腰三角形，故选项错误；对于选项，因为，所以，可得为锐角，无法判断三角形的最大角为钝角，故选项错误故选：【点评】本题考查解三角形及其三角恒等变换等知识，考查逻辑推理和数学运算的核心素养，属于中档题13在中，角，所对的边分别为，且，若有二解

56、，则的值可以是A1BCD【分析】由题意画出图形，可得，求出的范围，结合选项得答案【解答】解：如图，要使有二解，则，即，得的值可以是故选：【点评】本题考查三角形的解法，考查数形结合思想，是基础题三填空题（共3小题）14在中，角，所对的边分别为，且满足，则角【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果【解答】解：由于，整理得：，利用正弦定理：；由于，所以，整理得，由于，所以故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题15中，则的周长是 【分析】用正弦定理及两角和公式计算即可【解答】解：根据题意可

57、知，由正弦定理得：，解得，解得：，的周长故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理及两角和公式，熟练运用正弦定理及两角和公式是解决本题的关键16已知的内角，的对边分别为，且，点是的重心，且，则的面积为 【分析】由正弦定理可得，结合三角形的内角和定理及和角正弦公式进行化简可求，由三角形的重心性质可知，结合向量数量积的性质可求，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：，由正弦定理可得，即，是的重心，解可得，故答案为：【点评】本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，向量的数量积的性质等知识的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档试题一选择题（共2小题）17秦九韶是我国南宋数学家，其

58、著作数书九章中的大衍求一术，三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献，秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中，是的内角，的对边已知中，则面积的最大值为ABCD【分析】由正弦定理可得，代入已知等式，结合两角和的正弦公式，化简可得，再代入中，根据二次函数的图象与性质，得解【解答】解：由正弦定理及，知，所以，即，所以，故，所以，当时，取得最大值，为故选：【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题18已知中，角，的对边分别为，若，则的最小值为ABCD【分析

59、】利用正弦定理边化角，可得，再次角化边可得，关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值【解答】解：因为，由正弦定理得：，即，所以，则，所以，（当且仅当，即时取等号），所以的最小值为故选：【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，解题关键是能够灵活应用正弦定理进行边角互化，从而得到三角形三边之间满足的等量关系，将等量关系代入余弦定理，则可利用基本不等式求得最值二填空题（共3小题）19设内角，的对边分别为，点在边上，是的平分线，则的面积的最小值为 ，的最小值为 【分析】由，利用正弦定理化边为角，进一步可得，求得，过点作，交于，得为正三角形，设，得，写出三角形面积，利用基本不等式求最值；，利用

60、基本不等式求的最小值【解答】解：由，得，而，可得过点作，交于，得为正三角形，设，则，当且仅当，即时等号成立的面积的最小值为；由，当且仅当，即时等号成立的最小值为故答案为：；【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理与基本不等式的应用，考查运算求解能力，是中档题20南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积把以上文字写成公式，即（其中为三角形的面积，为三角形的三边）在斜中，分别为内角，所对的边，若，且则此面积的最大值为 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三