2022年《信号分析与处理》备课教案2

1、上次课回忆：1介绍了“ 差分方程” 经典解法的基本思路、规章和求解方法,总结了 具体的求解过程和步骤,并举例进行了求解演示；2介绍了“ 冲激响应” 和“ 单位样值响应” 的基本概念和实质,对“ 单 位样值响应” 的求解基本思路、规章和求解方法进行了具体说明,总结了具体的求解过程和步骤,并举例进行了求解演示；上次课“ 摸索题” ：1在上次课例题中求系统的“ 零状态响应”时,能否用y3 y 4 0作为 “ 零状态响应意义下”的初始条件来求解待定系数；2在上次课例题中求系统的“ 冲激响应”时,求解C 和 1C 能否用 2h 0 1和h 10作为初始条件来求解？能否用h 1y 2 0作为初始条件来求解

2、？2.5. 卷积积分基本思想 ：在时域中,为便于求得线性时不变LTI 连续时间系统 的“ 零状态响应”,可以考虑将任意信号分解为单元信号,假如每一个单元信号在 系统中产生的 零状态响应 易于求得, 那么依据系统的 “ 线性时不变”特性,就可以利用叠加原理便利求得原信号在系统中产生的 零状态响应 ,这就是 卷积积分方法的基本思想；依据这一基本思想,一般可以将任意鼓励信号分解为冲击信号之和,然后利用系统的冲击响应（就是冲击信号鼓励系统而产生的响应）,就可 以便利地求得系统对任意信号的零状态响应；一、信号的时域分解与卷积积分 1、信号的时域分解问f1t？P tP t由此可见,对于类似于f 1t这样的

3、矩形脉冲信号,只要它的宽度与信号的宽度相同,那么总有：f1 tAP t在0的极限情形下,n变为,变为 d,而P tn就变成tnf . t tf,原式也变为积分式：tnlim 0tlim 0nfnftd上式说明, 时域里任一函数 f t 可以近似地分解为一系列矩形窄脉冲之和,并且当上述矩形窄脉冲的脉宽趋于无限小时,f t 实质上已经可认为是分解为一系列冲激函数之和,以积分形式进行描述说明,时域里任一函数ft就等于 该函数与单位冲激函数的卷积；2、任意信号作用下的零状态响应3、卷积积分的定义上式说明：对于一给定线性时不变连续时间系统,它的零状态响应y f t ,可以通过该系统的冲激响应 h t 与

4、鼓励信号 f t 的卷积运算求得；例 已知一线性时不变系统的冲击响应 h t e t t ,系统的鼓励为单位阶跃信号 f t t ,试求该系统的零状态响应 y f t ；鼓励 f t 响应 yf t = .h t e t t 解：y f t f t h t e t t d,留意积分变量为；由于,0时, 0；而 t 时,t 0,因此积分限应为：0 t,故 y f t 为 t t t t ty f t e t d 0 e d 0 e e de t te d 1 1 e t t 0二、卷积积分的图解法卷积是一种数学运算,利用图解法可以使其运算关系形象直观,便于懂得；知道了两个卷积信号的图形,可以利用

5、图解法直接求出其卷积值；设有两函数 f 1t 和 f 2t ,其图形分别如图 a,b 所示；假设 f 1t 与f 2t 的卷积为 f t , 就有：f t f 1 t f 2 t f 1 f 2 t d留意：t 为参变量,积分变量为；在进行图解运算前第一将 f 1t 和 f 2t 变换为 1f 和 2f ,它们与原始信号波形完全相同,只是横坐标变为；为求得任意 t 时刻的卷积值,图解方法的卷积过程可分解为 如下六步 ：（1）换元 ： t 换为 得到 1f 和 2f ,如图 a ；（2）反褶 ：将 2f 以纵轴为对称轴进行反褶 得到 2f ,如图 b ；（3）平移 ：将 2f 自左向右平移 t

6、得到 f 2t ,如图 c ；（4）相乘 ：1f 与 f 2t 相乘；波形重叠有值, 不重叠为零, 如图 d ；（5）积分 ：1f 与 f 2t 乘积曲线下的面积即为 t 时刻的卷积值,见图d 中的阴影部分；（6）绘图 ：以 t 为横坐标,将与 t 对应的积分值绘成曲线,就是卷积积分ftf1 tf2t的图形,如图 e 所示；三、卷积积分的重要性质 卷积积分是一种数学运算,它有很多重要的性质 或运算规章 ,敏捷 地运用它们能简化卷积运算； 下面争论均设卷积积分是收敛的（或存在的）；、卷积代数特性、奇特函数的卷积特性1f tt 1tt 0tf tf ttftt0tt 1t 2f tttt0ft2f

7、 ttft2tt2ftt 1ff tt ttdfd3f t tf、卷积的微积分特性1dnf1 ttf2tddn f 1 dt ntf 1f2ttf 1 tdn f 2 dt nttf2ddtn2f 1fdf2ttt2f 1t3f tf1f2tf 11 tf 21 df1ttf2ddt解：由于,f1 tf2ttf 1 1tf 21tdf 1ttf2dttdt所以,f 1 1t t2 f 21 tt2edtt 0edt2et 0t1eft1e1et故,f1 ttt2总结 ：求解 卷积的方法 可归纳为：（1）利用定义式,直接进行积分 指数函数,多项式函数等；对于简单求积分的函数比较有效；如（2）图解法 ；特殊适用于求某时刻点上的卷积值；（3）利用性质 ；比较敏捷；三者经常结合起来使用；要求 ：P40 例2-14 、P42 例2-15 摸索题：1卷积积分用于时域分析的本质是什么？2到现在为止,求解线性时不变连续时间系统的“ 零状态响应” 有几种 方法？它们分别在什么情形下使用？预习内容： P46“ 卷积和“ ,具体内容包括：1“ 卷积和“ 的基