高中数学选修第一册：抛物线方程及性质的应用

1、PAGE 抛物线方程及性质的应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013安阳高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条2.将两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n,则()A.n=0B.n=1C.n=2D.n33.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=()A.43B.8C.83D.164.(2013长春高二检测)抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最小的点的坐标是()

2、A.(12,14)B.(1,1)C.(32,94)D.(2,4)5.(2013新课标全国卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)二、填空题(每小题8分,共24分)6.设已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为.7.(2012北京高考)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F

3、,且与该抛物线相交于A,B两点.其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为.8.(2013珠海高二检测)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=2512,|AF|0)相交于B,C两点,当直线l的斜率是12时,AC=4AB.(1)求抛物线G的方程.(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.答案解析1.【解析】选C.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.【举一反三】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有()A.1条

4、B.2条C.3条D.4条【解析】选B.因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.2.【解题指南】数形结合.【解析】选C.根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于x轴对称,且过焦点的两条直线的倾斜角分别为30和150,如图,所以正三角形的个数n=2,所以选C.3.【解析】选B.如图所示:直线AF的斜率为-3,AFK=60,PAF=60.又|PA|=|PF|,APF为等边三角形.在RtAKF中,|FK|=4,|AF|=8,|PF|=8.4.【解析】选B.设抛物线y=x2的切线l与2x-y-4=0平行.kl=2,设l

5、方程为y=2x+b.由y=2x+b,y=x2消去y得x2-2x-b=0.由=(-2)2-41(-b)=4+4b=0得b=-1,而b=-1时,切点横坐标为1,这时切点为(1,1).5.【解题指南】设出A,B点的坐标,利用抛物线的定义表示出|AF|,|BF|,再利用|AF|=3|BF|,确立l的方程.【解析】选C.抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,因为|AF|=3|BF|,所以x1+1=3(x2+1),所以x1=3x2+2.因为|y1|=3|y2|,所以x1=9x2,所以x1=3,x2=13.

6、当x1=3时,y12=12,此时y1=12=23,若y1=23,则A(3,23),B13,-233,此时kAB=3,此时直线方程为y=3(x-1).若y1=-23,则A(3,-23),B13,233,此时kAB=-3,此时直线方程为y=-3(x-1).6.【解题指南】求出抛物线方程,利用点差法.【解析】由题意知抛物线的方程为y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2,y12=4x1,y22=4x2,两式相减得,y12-y22=4(x1-x2),y1-y2x1-x2=4y1+y2=1,直线l的方程为y-2=x-2,即y=x.答案:y=x7.【解题指南】写出直线l的方程,再与抛

7、物线方程联立,解出A点坐标,再求面积.【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0),直线l:y=3(x-1).由y=3(x-1),y2=4x,解得A(3,23),B(13,-233).所以SOAF=12123=3.答案:3【变式备选】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cosAFB=.【解题指南】联立方程求出A,B两点后转化为解三角形问题.【解析】联立y2=4x,y=2x-4,消y得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.不妨设A在x轴上方,于是A,B的坐标分别为(4,4),(1,-2),又F(1,0),可求|AB|=35,|AF|=5,|BF|=2,利用余

8、弦定理得cosAFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF|BF|=-45.答案:-458.【解析】抛物线y2=2x的焦点坐标为(12,0),准线方程为x=-12,设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1x2=p24=14.设|AF|=m,|BF|=n,则x1=m-12,x2=n-12,所以有(m-12)(n-12)=14,m+n=2512,解得m=56或n=54,所以|AF|=56.答案:569.【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p0),把直线方程与抛物线方程联立得y=x+32,y2=-2px,消元得x2+(3+2p)x+94=0,判别式=(3+2p)2-9=4p

9、2+12p0,解得p0或p0)中,得y2=-2x.综上,所求抛物线方程为y2=-2x.10.【解题指南】(1)利用定义建立方程求得p值.(2)利用“设而不求”的思想求解.【解析】(1)由题意设抛物线方程为y2=2px(p0),其准线方程为x=-p2.A(4,m)到焦点的距离等于A到其准线的距离.4+p2=6,p=4,此抛物线的方程为y2=8x.(2)由y2=8x,y=kx-2,消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0.直线y=kx-2与抛物线相交于不同两点A,B,则有k0,0,解得k-1且k0,AB中点横坐标为2,则有x1+x22=4k+82k2=2,解得k=2或k=-1(舍去).所求k的值为

10、2.【拓展提升】“中点弦”处理方法当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时,可以“设而不求”,采用平方差法.(1)代端点.把弦的两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)代入圆锥曲线方程.(2)“平方差”.将两方程作差,利用平方差公式.(3)得斜率.把x1+x2=2x0,y1+y2=2y0(中点坐标(x0,y0)代入可得y1-y2x1-x2,即直线的斜率.(4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他.11.【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是12时,l的方程为y=12(x+4),即x=2y-4,由x2=2py,x=2y-4,得2y2-(8+p)y+8=0,y1y2=4,y1+y2=8+p2,又AC=4AB,y2=4y1,由这三个表达式及p0得y1=1,y2=4,p=2,则抛物线的方程为x2=4y.(2)由题意可设l:y=k(x+4),BC的中点坐标为(x0,