2021-2022学年河南省鹤壁市浚县浚县高一下学期7月月考数学试题【含答案】

1、2021-2022学年河南省鹤壁市浚县浚县高一下学期7月月考数学试题一、单选题1已知，且，则的值是（）A5B6C3D4A【分析】根据空间向量的坐标表示进行求解.【详解】因为，所以故选：A.2设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由，得：，则“”是“”的必要条件，而不一定有，也可能，则“”不是“”的充分条件.故选：B.3如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，表示向量应为（）ABCDA【分

2、析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可【详解】解：因为，所以，因为点，分别是线段，的中点，所以，所以故选：A4如图在长方体中，设，则等于（）A1B2C3DA利用向量加法化简，结合向量数量积运算求得正确结果.【详解】由长方体的性质可知，所以.故选：A5下列关于倾斜角的说法中正确的是（）A任意一条直线有唯一的倾斜角B一直线的倾斜角可以为C若直线的倾斜角为0，则该直线与轴重合D若直的倾斜角为，则A【分析】根据直线倾斜角的定义，对四个选项逐一分析，即可得出答案.【详解】任意一条直线都有唯一的倾斜角，选项A正确；直线倾斜角的取值范围是，所以直线的倾斜角不可以为，故选项B错误；若直线的

3、倾斜角为0，则该直线与轴重合或平行，故选项C错误；因为直线的倾斜角的取值范围是，所以，故选项D错误.故选：A6已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（）ABCDC【分析】分析可知，直线的斜率为，且线段的中点在直线上，可列出关于实数的等式组，由此可得出关于实数的值.【详解】由中点坐标公式，得线段的中点坐标为，直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，所以，解得.故选：C.7如果且，那么直线不通过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C【分析】根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.【详解】因为，所以，所以直线方程可化为因为且，所以同号，异号，从而有，所以直线

4、的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限故选：C8已知若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（）A0BC9DD【分析】由题意得出共面，由向量共面的性质列出方程组求解即可.【详解】不能构成空间的一个基底，共面，则，其中x，yR，则(7，5，)=(2x，-x，3x)+(-y，4y，-2y)=(2x-y，-x+4y，3x-2y)，解得故选：D.9二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，则该二面角的大小为ABCDC【分析】将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角【

5、详解】由条件，知=62+42+82+268cos，cos，即=120，所以二面角的大小为60，故选C本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题10在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）ABCDC画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.【详解】四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为故选：C本题主要考查了利用向量法求

6、异面直线夹角的余弦值，属于中档题.11在正四棱柱中, ，动点 分别在线段上，则线段 长度的最小值是ABCDC【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4), 当且仅当时，PQ取最小值 ，选C.二、多选题12如图，已知在长方体中，点为上的一个动点，平面与棱交于点，则下列说法正确的是（）A四棱锥的体积为B存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值C当点为的中点时，在直线上存在点，使得D存在唯一一点，使得平面，且ABC【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；将长方体的侧面和沿棱展开到同一平面，可判断B选项的正误；利用勾股定理求出的长，可判断C选项的

7、正误；利用空间向量法可判断D选项的正误.【详解】长方体中，对于A，平面，平面，故平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，设点到平面的距离为，过点在平面内作，如图1所示，平面，平面，则，平面，且，故，同理可得，所以，A对；对于B选项，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四边形为平行四边形，则四边形的周长为，将长方体的侧面和沿棱展开到同一平面内，如图2所示，则的最小值为展开面中的长度，此时点为与的交点，所以四边形的周长的最小值为，B对；对于，即，所以，解得，C对；对于D选项，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图1所示的空间直角坐标系，则、，设，则，因为平面，则，解得，即，D

8、错.故选：ABC.三、填空题13已知点，则在上的投影向量的长度为_.【分析】计算，根据投影公式得到答案.【详解】由已知得，又，所以在上的投影向量的长度为.故答案为.14将直线绕其与x轴的交点逆时针旋转后得到直线，则在y轴上的截距为_【分析】根据的方程可以求出的倾斜角，及与轴的交点坐标，根据与倾斜角的关系确定的倾斜角，利用直线点斜式写出方程即可判断直线在y轴上的截距.【详解】易知的倾斜角为，所以的倾斜角为，又由题意知过点，所以的方程为，即，从而可知在y轴上的截距为故15已知，直线，且 ，则的最小值为_8【分析】先根据直线垂直关系得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】因为，所以，即

9、.因为，所以 ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故816在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，G为的重心，则PG与底面ABCD所成角的正弦值为_首先建立空间直角坐标系，求出PG的方向向量及面ABCD的法向量，然后代入公式计算即可，【详解】如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知，得，则重心，因而，设PG与底面ABCD所成的角为，则.四、解答题17求满足下列条件的直线方程：（1）已知、，求的边上的中线所在的直线方程；（2）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程.（1）；（2）或.【分析】（1）先计算中点的坐标，再利用两点式写出直线方程，

10、即得结果；（2）分类讨论直线是否过原点两种情况，分别设直线方程，再将点P代入计算，即得结果.【详解】解：（1）由题意可知，的中点坐标为，又点，所以的边上的中线所在的直线方程为：，即；（2）当直线过原点时，设方程为，过点，直线方程为，即；当直线不过原点时，设方程为，过点，直线方程为，即.故所求直线的方程为或.18如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N设，（1）试用，表示向量；（2）若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的长（1）；（2）.【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.（2）根据空间向量的数量积以及

11、向量模的求法即可求解.【详解】解：（1）（），又，（2）ABACAA11，|1BAC90，0BAA1CAA160，|2（）2（222），|19已知向量.（1）若，求的值;（2）以坐标原点为起点作，求点到直线的距离.（1）；（2）.【分析】（1）根据空间向量的坐标运算与平行满足的性质求解即可；（2）先求在上的投影，再根据勾股定理求解即可【详解】（1）， ，即，解得.（2）由条件知，故在上的投影为 ，又点到直线的距离.20已知直线（1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；（2）若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）解方程组，可得定

12、点的坐标；（2）设直线的方程为，分析可得，求出该直线与两坐标轴的交点坐标，可得出三角形面积关于的关系式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立可求得的值，即可得出直线的方程.【详解】（1）证明：将直线的方程化为，解方程组，解得，故直线恒过定点；（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，令，可得，令，可得，由已知可得，解得，所以，三角形面积为，当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.21如图，在长方体中，点分别在棱上，且，（1）证明：点在平面内；（2）若，求二面角的正弦值（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）方法一:连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内

13、；（2）方法一：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.【详解】（1）方法一【最优解】：利用平面基本事实的推论在棱上取点，使得，连接、，如图1所示.在长方体中，所以四边形为平行四边形，则，而，所以，所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，因此点在平面内.方法二：空间向量共线定理以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示设，则所以故所以，点在平面内方法三：平面向量基本定理同方法二建系，并得，所以故所以点在平面内方法四：根据题意，如图3，设在平面内，因为，所以延长交于G，平面，平面，所以

14、平面平面延长交于H，同理平面平面由得，平面平面连接，根据相似三角形知识可得在中，同理，在中，如图4，在中，所以，即G，H三点共线因为平面，所以平面，得证方法五：如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O，则O为的中点联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，则经过点O，故点在平面内（2）方法一【最优解】：坐标法以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2.则、，设平面的一个法向量为，由，得取，得，则，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，则，设二面角的平面角为，则，.因此，二面角的正弦值为.方法二：定义法在中，即，所以在中，如图6，设的中

15、点分别为M，N，连接，则，所以为二面角的平面角在中，所以，则方法三：向量法由题意得，由于，所以如图7，在平面内作，垂足为G，则与的夹角即为二面角的大小由，得其中，解得，所以二面角的正弦值方法四：三面角公式由题易得，所以设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得，所以【整体点评】（1）方法一：通过证明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出（2

16、）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出22如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（）求证：AA1平面ABC；（）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（）证明：在线段BC1存在点D，使得ADA1B，并求的值.（）见解析（）（）【分析】把平面与平面垂直转化为直线和平面垂直.要证直线和平面垂直，依据相关判定定理转化为证明直线和直线垂直.求二面角，往往利用“作证求”的思路完成，作二面角是常常利用直线和平面垂直.第（）题，求解有难度，可以空间向量完成.（）因为为正方形，所以.因为平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C，所以平面ABC.