高中数学选修第一册：3.3.2 抛物线的简单几何性质-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

1、3.3.2 抛物线的简单几何性质【学习目标】课程标准学科素养1.掌握抛物线的几何性质(重点) 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2

2、)准线 范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴顶点离心率e 2.焦点弦直线过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|x1eq f(p,2)，|BF|x2eq f(p,2)，故|AB| .3直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系： 、 和 设直线ykxm与抛物线y22px(p0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将ykxm代入y22px，消去y并化简，得k2x22(mkp)xm20.k0时，直线与抛物线只有 交点；k0时，0直线与抛物线 有 公共点0直线与抛物线 只有 公共点0直线与抛物线

3、公共点【小试牛刀】1抛物线关于顶点对称( )2抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心( )3抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同( )4抛物线y22px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p( )5抛物线yeq f(1,8)x2的准线方程为xeq f(1,32)( )【经典例题】题型一 抛物线性质的应用把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.例1 (1)

4、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2y24相交的公共弦长等于2eq r(3)，则抛物线的方程为_(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|4，求抛物线的方程跟踪训练1 已知抛物线y28x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|OB|，若焦点F是OAB的重心，求OAB的周长题型二 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元

5、二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切例2已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点跟踪训练2若抛物线y24x与直线yx4相交于不同的两点A，B，求证OAOB.题型三 中点弦及弦长公式“中点弦”问题解题方法例3已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，跟踪训练3 过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线

6、的方程题型四 抛物线的综合应用例4 求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离跟踪训练4 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值【当堂达标】1在抛物线y216x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A(4eq r(2)，2)B(4eq r(2)，2)C(2,4eq r(2)D(2，4eq r(2)2以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28x

7、 By28xCy28x或y28x Dx28y或x28y3若抛物线y22x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|2eq r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()Aeq f(1,2) Beq f(1,4) Ceq f(1,6) Deq f(1,8)4设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若eq o(OA,sup8()eq o(AF,sup8()4，则点A的坐标是()A(2，2eq r(2)B(1，2)C(1,2)D(2,2eq r(2)5过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条 B3条C2条 D1条6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(

8、x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，则|AB|_.7已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是_8已知抛物线xy2与过点(1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积等于eq r(10)时，求k的值9.已知yxm与抛物线y28x交于A，B两点(1)若|AB|10，求实数m的值；(2)若OAOB，求实数m的值10.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq f(,4)的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程【参考答案】【自主学习】xeq f(p,2) xeq f(p,2) yeq f(p,2)

9、 yeq f(p,2) x轴 y轴 (0,0) 1 x1x2p 相离 相切 相交一个 相交 两个 相切 一个 相离 没有【小试牛刀】 【经典例题】例1 (1)y23x或y23x根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为eq r(3)，交点横坐标为1，则抛物线过点(1，eq r(3)或(1，eq r(3)，设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，则2p3，从而抛物线方程为y23x或y23x.(2)解如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30，在RtACE中，|AF|4，|AC|43a，2|AE|AC|，4

10、3a8，从而得aeq f(4,3)，BDFG，eq f(f(4,3),p)eq f(2,3)，p2.因此抛物线的方程是y24x.跟踪训练1 解(1)抛物线y28x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x2，x轴，x0.(2)如图所示，由|OA|OB|可知ABx轴，垂足为点M，又焦点F是OAB的重心，则|OF|eq f(2,3)|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|eq f(3,2)|OF|3，所以M(3,0)故设A(3，m)，代入y28x得m224；所以m2eq r(6)或m2eq r(6)，所以A(3,2eq r(6)，B(3，2eq r(6)，所以|O

11、A|OB|eq r(33)，所以OAB的周长为2eq r(33)4eq r(6).例2 解联立eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,y24x，)消去y，得k2x2(2k4)x10.(*)当k0时，(*)式只有一个解xeq f(1,4)，y1，直线l与C只有一个公共点eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，1)，此时直线l平行于x轴当k0时，(*)式是一个一元二次方程，(2k4)24k216(1k)当0，即k1，且k0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；当0，即k1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；当1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离综上所

12、述，当k1或0时，l与C有一个公共点；当k1时，l与C没有公共点跟踪训练2 证明由eq blcrc (avs4alco1(y24x，,yx4，)消去y，得x212x160.直线yx4与抛物线相交于不同两点A，B，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x212，x1x216.eq o(OA,sup8()eq o(OB,sup8()x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1x2)161616412160，eq o(OA,sup8()eq o(OB,sup8()，即OAOB.例3 解由题意知焦点Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)，设A(

13、x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx轴，则|AB|2peq f(5,2)p，不满足题意所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为ykeq blc(rc)(avs4alco1(xf(p,2)，k0.由eq blcrc (avs4alco1(ykblc(rc)(avs4alco1(xf(p,2)，,y22px，)消去x，整理得ky22pykp20.由根与系数的关系得y1y2eq f(2p,k)，y1y2p2.所以|AB|eq r(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,k2)y1y22)eq r(1f(1,k2)eq r(y1y224y1y2)2peq blc(rc)(avs4a

14、lco1(1f(1,k2)eq f(5,2)p，解得k2.所以AB所在的直线方程为2xyp0或2xyp0.跟踪训练3 解法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有yeq oal(2,1)8x1，yeq oal(2,2)8x2，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又y1y22，y1y24(x1x2)，即eq f(y1y2,x1x2)4，kAB4.AB所在直线的方程为y14(x4)，即4xy150.法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为yk(x4)1.联立eq blcrc (avs4alco1

15、(y28x，,ykx41，)消去x，得ky28y32k80，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标由根与系数的关系得y1y2eq f(8,k).又y1y22，k4.AB所在直线的方程为4xy150.例4 解方法一设A(t，t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x3y80的距离deq f(|4t3t28|,5)eq f(|3t24t8|,5)eq f(1,5)eq blc|rc|(avs4alco1(3blc(rc)(avs4alco1(tf(2,3)2f(4,3)8)eq f(1,5)eq blc|rc|(avs4alco1(3blc(rc)(avs4alco1(tf(2,3)2f(20,3

16、)eq f(3,5)eq blc(rc)(avs4alco1(tf(2,3)2eq f(4,3).所以当teq f(2,3)时，d有最小值eq f(4,3).方法二如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，由eq blcrc (avs4alco1(yx2，,4x3ym0，)消去y得3x24xm0，1612m0，meq f(4,3).故最小距离为eq f(blc|rc|(avs4alco1(8f(4,3),5)eq f(f(20,3),5)eq f(4,3).跟踪训练4 解(1)由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得222p1，解得p2

17、，故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB，即eq f(y12,x11)eq f(y22,x21).又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1eq f(yoal(2,1),4)，x2eq f(yoal(2,2),4)，从而有eq f(y12,f(yoal(2,1),4)1)eq f(y22,f(yoal(2,2),4)1)，即eq f(4,y12)eq f(4,y22)，得y1y24，故直线AB的斜率kABeq f(y1y2,x1x2)eq f(4,y1y2)1.【当堂达标】1.D抛物线y216x的顶点O(

18、0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有eq blcrc (avs4alco1(y216x，,x2y2x42y2)eq blcrc (avs4alco1(y216x，,x2)eq blcrc (avs4alco1(x2，,y4r(2).)所以符合题意的点为(2，4eq r(2)2.C解析设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，依题意得xeq f(p,2)，代入y22px或y22px得|y|p，2|y|2p8，p4.抛物线方程为y28x或y28x.3.A线段AB所在的直线方程为x1，抛物线的焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，则焦点到直线

19、AB的距离为1eq f(1,2)eq f(1,2).4.B由题意知F(1,0)，设Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,0),4)，y0)，则eq o(OA,sup8()eq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,0),4)，y0)，eq o(AF,sup8()eq blc(rc)(avs4alco1(1f(yoal(2,0),4)，y0)，由eq o(OA,sup8()eq o(AF,sup8()4得y02，点A的坐标为(1，2)，故选B.5.B解析当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，故选B.6.8解析

20、因为直线AB过焦点F(1,0)，所以|AB|x1x2p628.7.eq f(15,8)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2y，可得peq f(1,4).|AB|y1y2p4，y1y24eq f(1,4)eq f(15,4)，故AB的中点的纵坐标是eq f(y1y2,2)eq f(15,8).8.解过点(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由方程组eq blcrc (avs4alco1(xy2，,ykx1，)消去x整理得ky2yk0，14k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1y2eq f(1,k)，y1y21.设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(1,0)SOABSOANSOBNeq f(1,2)|ON|y1|eq f(1,2)|ON|y2|eq f(1,2)|ON|y1y2|，SAOBeq f(1,2)1eq r(y1y224y1y2)eq f(1,2)eq r(f(1,k2)4)eq r(10)，解得keq f