高中数学选修第一册：第2章 2.2.3　两条直线的位置关系-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

1、2.2.3两条直线的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标(重点)2掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别(重点)3灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系(难点)1通过学习两直线位置关系的方法，培养逻辑推理的数学核心素养2借助两直线方程的学习，培养数学运算的核心素养过山车是一种富有刺激性的娱乐游戏，那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷实际上，过山车运动包含了许多数学、物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理过山车的铁轨是两条平行、起伏的轨道，你能感受到过山车中的平行吗？那么

2、两条直线的平行用什么来刻画呢？1两条直线相交、平行与重合的条件(1)几何方法判断若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1与l2相交k1k2；l1l2k1k2且b1b2；l1与l2重合k1k2且b1b2(2)向量方法判断设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，因为v1(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2(A2，B2)是直线l2的一个法向量l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2A2B1l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2A2B

3、1；l1与l2重合的充要条件是，存在实数使得eq blcrc (avs4alco1(A1A2，,B1B2，,C1C2.)思考：直线AxByC10与直线AxByC20，平行的充要条件是什么？重合呢？提示平行的充要条件是C1C2，重合的充要条件为C1C22两条直线垂直对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1l2k1k21l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1l2图示1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行()(2)若l1l2，则k1k2()(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两

4、直线相交()(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确2已知A(2,0)，B(3,3)，直线lAB，则直线l的斜率为()A3B3Ceq f(1,3)Deq f(1,3)B因为kkABeq f(30,32)3，所以l的斜率为33直线l1与l2的斜率是一元二次方程2 019x22 020 x2 0190的两根，则l1与l2的位置关系为 垂直由题意知一元二次方程2 019x22 020 x2 0190的两根x1x21，直线l1、l2的斜率之积k1k21，

5、直线l1l24若直线l：xay20平行于直线2xy30，则a eq f(1,2)因为直线l：xay20平行于直线2xy30，所以1(1)2a0，解得aeq f(1,2)5经过点P(2，1)，Q(3，a)的直线与倾斜角为45的直线垂直，则a 6由题意知eq f(a1,32)1，所以a6两条直线相交、平行、重合的判定【例1】已知两直线l1：xmy60；l2：(m2)x3y2m0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合思路探究可尝试根据两直线相交、平行、重合的等价条件，列出方程求参数的值解直线l1：xmy60，直线l2：(m2)x3y2m0，A11，B1m，C16，A2m2

6、，B23，C22m(1)若l1与l2相交，则A1B2A2B10，即13m(m2)0，即m22m30，即(m3)(m1)0，即m3，且m1故当m3，且m1时，直线l1与l2相交(2)若l1l2，则有eq blcrc (avs4alco1(A1B2A2B10，,B1C2B2C10，)即eq blcrc (avs4alco1(3mm20，,2m2180，)即eq blcrc (avs4alco1(m22m30，,m29，)即eq blcrc (avs4alco1(m3或m1，,m3且m3，)m1故当m1时，直线l1与l2平行(3)若l1与l2重合，则有eq blcrc (avs4alco1(A1B2

7、A2B10，,B1C2B2C10，)即eq blcrc (avs4alco1(3mm20，,2m2180，)eq blcrc (avs4alco1(m3或m1，,m3或m3，)m3故当m3时，直线l1与l2重合根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论.因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行.eq o(跟进训练)1l1：9xya20；l2：ax(a2)y10求当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合解由题意：A19，B11，C1a2，A2

8、a，B2a2，C21，(1)若l1与l2相交，则A1B2A2B10，即9(a2)a(1)0，aeq f(9,5)故当aeq f(9,5)时，直线l1与l2相交(2)若l1l2，则有eq blcrc (avs4alco1(A1B2A2B10，,B1C2B2C10，)即eq blcrc (avs4alco1(9a2a10，,1a240，)eq blcrc (avs4alco1(af(9,5)，,ar(3).)当aeq f(9,5)时，l1与l2平行(3)若l1与l2重合，则有eq blcrc (avs4alco1(A1B2A2B10，,B1C2B2C10，)由(2)知eq blcrc (avs4a

9、lco1(af(9,5)，,ar(3)，)不成立，直线l1与l2不重合综上所述：当aeq f(9,5)时，两直线相交，当aeq f(9,5)时，两直线平行，不论a为何值两直线不会重合两条直线垂直的判定【例2】(1)l1经过点A(3,2)，B(3，1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，若l1l2，求a的值思路探究(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于1

10、求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解解(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1l2(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在当l1的斜率不存在时，3a2，即a5，此时k20，则l1l2，满足题意当l1的斜率k1存在时，a5，由斜率公式，得k1eq f(3a,a23)eq f(3a,a5)，k2eq f(a23,12)eq f(a5,3)由l1l2，知k1k21，即eq f(3a,a5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a5,3)1，解得a0综上所述，a的值为0或5利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐

11、标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况eq o(跟进训练)2分别判断下列两直线是否垂直(1)直线l1的斜率为10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3)(2)直线l1经过A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(2,4)，Q(2,4)(3)直线l1的斜率为eq f(1,3)，直线l2与直线2x3

12、y10平行解(1)直线l1的斜率为k110，直线l2的斜率为k2eq f(32,2010)eq f(1,10)，k1k210eq f(1,10)1所以直线l1与l2垂直(2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直(3)直线l1的斜率为k1eq f(1,3)，直线l2的斜率为k2eq f(2,3)，k1k2eq f(2,9)1，所以直线l1与l2不垂直直线平行与垂直的综合应用探究问题1已知ABC的三个顶点坐标A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断ABC的形状吗？提示如图，AB边所在的直线的斜率kABeq f(1,2)，BC

13、边所在直线的斜率kBC2由kABkBC1，得ABBC，即ABC90ABC是以点B为直角顶点的直角三角形2若已知直角三角形ABC的顶点A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值吗？提示若A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即eq f(m1,25)eq f(11,15)1，得m7；若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，即eq f(11,15)eq f(m1,21)1，得m3；若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1，即eq f(m1,25)eq f(m1,21)1，得m2综上可知，m7或m3或m2【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序

14、依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(12t,2t)，R(2t,2)，其中t0试判断四边形OPQR的形状思路探究利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直线的位置关系解由斜率公式得kOPeq f(t0,10)t，kQReq f(22t,2t12t)eq f(t,1)t，kOReq f(20,2t0)eq f(1,t)，kPQeq f(2tt,12t1)eq f(2,2t)eq f(1,t)所以kOPkQR，kORkPQ，从而OPQR，ORPQ所以四边形OPQR为平行四边形又kOPkOR1，所以OPOR，故四边形OPQR为矩形1将本例中的四个点，改为“A(4,3)，B(2,5)，C(

15、6，3)，D(3，0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状”解由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，由斜率公式可得kABeq f(53,24)eq f(1,3)，kCDeq f(03,36)eq f(1,3)，kADeq f(03,34)3，kBCeq f(35,62)eq f(1,2)所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD，由kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkADeq f(1,3)(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形2将本例改为“已知矩形OPQR中按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(12t,2t)

16、，试求顶点R的坐标”解因为OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R(x，y)，则由中点坐标公式知eq blcrc (avs4alco1(f(012t,2)f(1x,2)，,f(02t,2)f(ty,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2t，,y2.)所以R点的坐标是(2t,2)1利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤2判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标(2)证明两直线平行时，仅仅有k1k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他

17、的情况1本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直2本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线平行的步骤(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法(3)判断图形形状的方法步骤3本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论1直线xay70与直线(a1)x2y140平行，则a的值是()A1B2C1或2D1或2B由已知，得a(a1)20，解得a2或a1当a1时，两直线重合，a22如图，直线l1的倾斜角130，直线l1l2，则l2的斜率为()Aeq f(r(3),3) Beq f(r(3),3)Ceq r(3) Deq r(3)Ck1tan 30eq f(r(3),3)，又l1l2，k1k21，k2eq r(3)3已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则m的值为()A8 B0 C2 D10A由已知，得eq f(4m,m2)2，m84已知直线l的倾斜角为45，直线l2的斜率为km23，若l1l