2021-2022学年湖南省衡阳市衡南县高一下学期期末数学试题（A卷）【含答案】

1、2021-2022学年湖南省衡阳市衡南县高一下学期期末数学试题（A卷）一、单选题1已知集合，则下列判断正确的是（）ABCDD【分析】用列举法写出集合，再根据集合间的关系与集合的交集运算求解即可【详解】解：，故选：D2从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3个球，若事件“所取的3个球中至少有1个红球”，则事件的对立事件是（）A1个白球2个红球B3个都是白球C2个白球1个红球D至少有一个红球B【分析】至少有一个的反面是至多有0个，即全不是，由此可得对立事件【详解】3个球中至少有1个红球的对立事件是3个球中至多有0个红球，即没有红球或全是白球故选：B3若，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长

2、为（）ABC2D4C【分析】利用在的方向上的投影即可求得在的方向上的投影向量的模长【详解】，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为故选：C4在中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件B【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】时，充分性满足，当时，不必要所以应为充分不必要条件故选：B5为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D纵坐标缩短到原来的，横坐标不变A【分析】根据函数的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得

3、结论【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数的图象故选：6设，为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则D【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可【详解】解：对于A：若，则或，故A错误；对于B：若，则或，故B错误；对于C：若，则或或与相交（不垂直），故C错误；对于D：由线面垂直的性质定理可知，若，则，故D正确；故选：D7某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走”学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍

4、，两类书籍合计共6本.现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）ABCDC【分析】先求出从6本书中随机抽取2本的总取法，再求出两本书来自同一类书籍的取法，再根据古典概型公式即可求出答案.【详解】解：从6本书中随机抽取2本，共有种取法，若两本书来自同一类书籍则有种取法，所以两本书恰好来自同一类书籍的概率是.故选：C.8在中，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若，()，则的最小值为（）ABCDD【分析】利用平面向量共线定理的推论得到的关系，进而利用均值定理即可求得的最小值【详解】由三点共线，可得存在实数t，使又由三点共线，可得

5、存在实数m，使得则，解之得，则又，()，则，由三点共线，可得则（当且仅当时等号成立）则的最小值为故选：D二、多选题9下列命题为真命题的是（）A复数的虚部为B在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限C若i为虚数单位，n为正整数，则D复数z是方程的一个根，则ACD【分析】求得复数的虚部判断选项A；求得复数的共轭复数对应的点所在象限判断选项B；求得的值判断选项C；求得复数z的模的值判断选项D.【详解】选项A：复数的虚部为.判断正确；选项B：在复平面内，复数的共轭复数为，对应的点的坐标为，位于第二象限.判断错误；选项C.判断正确；选项D：复数z是方程的一个根，则，或，则.判断正确.故选：ACD10

6、已知，给出下列不等式正确的是（）ABCDBD【分析】根据已知条件，结合作差法和特殊值依次判断，即可求解【详解】解：对于A：，因为，所以，所以，即，故A错误，对于B：，因为，所以，所以，即，故B正确，对于C：当，时，所以，故C错误，对于D：，因为，所以，所以，即，故D正确，故选：BD11已知函数，下列说法正确的是（）A的最大值为1B2是的周期C关于，对称D在上单调递增ABD【分析】求得的最大值判断选项A；依据周期定义判断选项B；举反例否定选项C；依据复合函数单调性判定规则判断选项D.【详解】定义域为，选项A：的单调递增区间为，单调递减区间为，则在，时取得最大值.判断正确；选项B：由可得2是的周期

7、.判断正确；选项C：由定义域为可得点在图象上，但关于的对称点不在图象上，则不关于，对称.判断错误；选项D：当时，单调递增，且，则单调递增，则当时，单调递增.判断正确.故选：ABD12如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，DAB=60，AB=2，PB=，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是（）A平面PAD平面ABCDB异面直线AD与PB所成的角为60C二面角PBCA的大小为45D三棱锥PABD外接球的表面积为ACD【分析】取中点，连接，可得是二面角的平面角，再求得此角为直角，得直二面角，从而得面面垂直，判断A，说明是异面直线AD与PB所成的角或其补角，求出此角后判断B，证明是二面角

8、的平面角，并求得此角判断C，设分别是和的中心，如图，作，与交于点，得是三棱锥外接球的外心，求出球半径后得球表面积判断D【详解】取中点，连接，和都是等边三角形，则，是二面角的平面角，又，所以，即，所以二面角是直二面角，所以平面PAD平面ABCD，A正确；，所以是异面直线AD与PB所成的角或其补角，由此可得平面，而平面，所以，所以，B错；由知，所以是二面角的平面角，在中，可得，C正确；以上证明有平面，同理平面，设分别是和的中心，如图，作，与交于点，则平面，平面，所以是三棱锥外接球的外心，由于，是正方形，而，所以即为外接球半径，三棱锥PABD外接球的表面积为D正确故选：ACD三、填空题13有10种不

9、同的零食，每100克可食部分包含的能量(单位：J)如下：100，120，125，165，430，186，175，234，425，310.这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为_.210【分析】10个数从小到大顺序排列，计算出，求出第6个和第7个数的平均值即得【详解】10个数据从小到大顺序排列为：，而第6个数据为186，第7个数据为234，所以第60百分位数为210故21014已知向量=(1，0)，=(2，2)，=(1，)，若，则=_.0.5【分析】由向量平行的坐标表示计算【详解】由已知，因为，所以，故15已知点P到平面的距离为2，过点P的动直线l与所成夹角为60，则l与交点的轨

10、迹长度为_.【分析】先确定交点的轨迹为圆，由已知计算圆的半径，算出圆周长即为轨迹长度.【详解】由题知：则l与交点的轨迹为圆，圆的半径为 则l与交点的轨迹长度为.故 .16已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为_.【分析】先化简函数的解析式，再利用两函数图象的交点去判断函数有4个零点时t的取值范围.【详解】设，则，则设，则则则，则函数图象如下：由，可得，或由，可得，或，或则仅有一根，又，则，解之得故四、解答题17如图，在中，与相交于点，设，.(1)用向量，表示，；(2)求.(1)，(2)【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）根据数量积的定义求出，再根据数量

11、积的运算律求出，即可得解.【详解】(1)解：依题意，.(2)解：因为，所以所以即，所以.18如图：正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，E，F分别为DD1，BB1的中点.(1)求证：CF/平面A1EC1；(2)过点D做正方体截面使其与平面A1EC1平行，请给以证明并求出该截面的面积.(1)证明见解析(2)证明见解析， 【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明CF/平面A1EC1；（2）先利用面面平行判定定理作出截面，再去求其面积即可.【详解】(1)取中点M，连接由，可得四边形为平行四边形，则由，可得四边形为平行四边形，则则，又平面，平面，则平面；(2)取AA1，CC1中点G，H，连接DG，C

12、B1，B1H，HD，因为四边形ADHF为平行四边形，所以AF/DH因为四边形AFB1G为平行四边形，所以GB1/AF，所以GB1 /DH所以GDHB1即为过点D长方体截面，DG/A1E，平面AEC1，平面AEC1，DG/平面AEC1DH/ C1E，平面AEC1，平面AEC1，DH/平面AEC1又，平面DHB1G/平面AEC1.19在中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知在，且.(1)求角A大小；(2)若面积为，求的长.(1)(2)【分析】（1）利用向量垂直充要条件及两角和的正弦公式即可求得的值，进而求得角A大小；（2）先利用题给条件求得的值，再利用向量的数量积求得，进而得到的长【详解】

13、(1)，且，则，则，则又， ，又，.(2)由，可得又由，可得联立，解之得或又，则因为，所以所以所以，即20某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取n名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分(满分100分)从低到高将满意度分为四个等级：调查评分40，50)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100满意度等级不满意一般良好满意并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在70，80)的顾客为40人.(1)求n的值及频率分布直方图中t的值；(2)据以往数据统计，调查评分在60，70)的顾客购买该公司新品的概率为，调查评分在(70，80)的顾客购买该公司新品的概率为，若每个顾客

14、是否购买该公司新品相互独立，在抽取的满意度等级为“一般”的顾客中，按照调查评分分层抽取3人，试问在抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为多少?(3)该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整、根据你所学的统计知识，判断该公司是否雷要对旗下产品进行调整，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替)(1)n=200，t=0.004(2)(3)不需要对该公司旗下产品进行调整，理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形的面积之和为1求得t，再根据调查评分在70，80)的顾客为40人，且评分在70，80)的频率为

15、0.0210=0.2求n；（2）由分层抽取3人，得到评分在60，70)的人数为1，评分在70，80)的人数为2，再利用独立事件的概率求解；（3）根据频率分布直方图求得，顾客满意度评分的均值即可.【详解】(1)0.2n=40，10t+0.06+0.1+0.2+0.24+90t=1所以n=200，t=0.004；(2)调查评分在60，70)的人数与评分在70，80)的人数之比为1：2，因为按照调查评分分层抽取3人，所以评分在60，70)的人数为1，评分在70，80)的人数为2，没有一人购买该公司新品的概率为：，故在抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为；(3)由频率分布直方图得，顾客满意度

16、评分的均值为：450.04+550.06+650.1+750.2+8590.04+950.24=80，由题意知不需要对该公司旗下产品进行调整.21在四棱维P-ABCD中，点E为PA中点，BEPD，PA=PB=PD，AB=AD=CD=2，DAB=60.(1)求证：PDAB；(2)求BE与平面ABCD所成角的正弦值；(3)若CD/AB，求四棱锥P-ABCD的体积.(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证明AB面PFD，进而即可证明PDAB；（2）先求得E点到底面ABCD的距离，进而求得BE与平面ABCD所成角的正弦值；（3）利用锥体体积公式即可求得四棱锥P-ABCD的体积.【详解】(1)取AB中点F，连接FD，FP因为PA=PB，所以ABPF，因为AB=AD，DAB=60，所以AB=AD=BD，所以ABFD又因为，所以AB面PFD，又因为面PFD，所以ABPD；(2)因为BEPD，ABPD，所以PD面PAB，因为面PAB，面PAB，所以PDPB，PDPA，又AB=AD=BD=2，PD=PB=PA所以PD=PB=PA=，所以，设BE与平面ABCD所成角为，则；(3)22在中，若点分别为上的点，且为等边三角形.(1)若点为线段中点，求的边长；(2)若点为线段上一动点，求面积的取值范围.(提示：)(1)(2)