多元函数微分学的几何应用(444)课件

1、第9章 多元函数微分法及其应用第1页，共55页。2空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线9.6 多元函数微分学的几何应用全微分的几何意义小结 思考题 第9章 多元函数微分法及其应用 一元向量值函数及其导数第2页，共55页。引言： 在多元函数部分，我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切线和空间曲面的切平面。 在一元函数微分学中，我们可以利用导数确定曲线上某点处的切线斜率，并求出其切线和法线方程。第3页，共55页。设空间曲线的参数方程为一、一元向量值函数及其导数若记则 方程成为：第4页，共55页。1、一元向量值函数的定义：其中D叫函数的定义域，t为自变量，r 叫因变量。说明：（1）向量值函数是数量

2、值函数的推广（2）在R3中，若向量值函数的三个分量依次为 f1(t)、 f2(t)、 f3(t)则可表示为第5页，共55页。（3）向量值函数的图像设向量 r 的起点在坐标原点，则终点M随t的改变而移动，点M的轨迹称为向量值函数 r=f(t) 的终端曲线，也称为该函数的图像，记作反过来，向量值函数称为曲线 的向量方程。第6页，共55页。2、一元向量值函数的极限：第7页，共55页。说明 计算方法 等价条件 第8页，共55页。3、一元向量值函数的连续性：说明：（1）向量值函数连续等价于它的分量函数都连续；（2）若在某个区域内每一点都连续，则称该函数是该区域上的连续函数第9页，共55页。4、一元向量值

3、函数的导数：记作：第10页，共55页。说明（1）向量值函数可导等价于它的分量函数都可导，且（2）若在某个区域内每一点都可导，则称该函数是该区域上的可导函数；（3）向量值函数的导数与数量值函数的导数运算法则形式相同（教材P92）.（4）向量值函数导向量的几何意义：第11页，共55页。得切线的方向向量：第12页，共55页。结论：注意：该切向量指向与t 的增长方向一致！ 第13页，共55页。（5）向量值函数导向量的物理意义：小结求向量值函数的极限：各分量取极限求向量值函数的导数：各分量求导数第14页，共55页。例 解：第15页，共55页。例 设空间曲线的向量方程为求曲线在与t0=2相应点处的单位切向

4、量.解：所求单位切向量一个是：其指向与t的增长方向一致另一个是：其指向与t的增长方向相反第16页，共55页。17设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导. 1. 空间曲线的方程为参数方程二、空间曲线的切线与法平面第17页，共55页。18考察割线趋近于极限位置上式分母同除以割线 的方程为切线的过程第18页，共55页。19曲线在M处的切线方程切向量法平面切线的方向向量称为曲线的切向量.过M点且与切线垂直的平面.平面的点法式方程第19页，共55页。20解切线方程法平面方程例即第20页，共55页。21设曲线直角坐标方程为法平面方程为2. 空间曲线的方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0,

5、 y0, z0)处,令切线方程为x为参数,两个柱面的交线第21页，共55页。22例 在抛物柱面 与 的交线上, x为参数,于是 解所以交线上与对应点的切向量为:交线的参数方程为取求对应 的点处的切向量.第22页，共55页。23设空间曲线方程为3.空间曲线的方程为确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组:表示.)两个曲面的交线利用2. 结果, 切线方程为法平面方程为在M(x0, y0, z0)处, 两边分别对x求导:下面求出.第23页，共55页。24 利用2.结果, 两边分别对x求全导数:第24页，共55页。25法平面方程为切线方程为在点 M(x0, y0, z0)处的第25页，共55页。26解例

6、切线方程和法平面方程.法一 直接用公式.令代入公式, 得切线方程令第26页，共55页。27代入公式, 得法平面方程法平面方程公式:第27页，共55页。28切线方程 解 将所给方程的两边对x求导, 得法平面方程例 切线方程和法平面方程. 推导法法二即第28页，共55页。29设曲线练习证因原点(0,0,0)在法平面上,即于是证明此曲线必在以原点为中的法平面都过原点,在任一点心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为故有任取曲线上一点第29页，共55页。30今在曲面上任取一条1. 设曲面的方程为F(x, y, z) = 0的情形隐式方程三、曲面的切平面与法线函数F(x, y, z)的偏导数在该点连续且不

7、同点M 对应于参数 不全为零.过点M 的曲线,设其参数方程为时为零.过点M 的曲线,过点M 的曲线,第30页，共55页。31 由于曲线在曲面上, 所以 在恒等式两端对t 求全导数, 并令 则得 若记向量 曲线在点M处切线的方向向量记为 则式可改写成即向量 垂直. 第31页，共55页。32 因为曲线是曲面上过点 M 的任意一条所有这些曲线在点 M 的切线都与同一向量垂直,因此这些切线必共面,称为曲面在点M的过点M且垂直于切法线,又是法线的方向向量.向量称为曲法向量.切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面在点M的面在点M的曲线,第32页，共55页。33曲面在M(x0, y0 , z0)处

8、的法向量:切平面方程为法线方程为所以曲面上在点M的第33页，共55页。34解令切平面方程法线方程 例切平面方程为法线方程为曲面在M处的法向量:第34页，共55页。35上求一点的坐标,使此点处的切平面平行于yOz平面.解设所求点为(x, y, z),则切平面的法向量为练习由题意,由此得所求之点:第35页，共55页。36曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令或显式方程2. 曲面方程形为z = f (x, y)的情形第36页，共55页。37 例 证则法向量为切平面方程为设(x0, y0, z0)是曲面上任一点,第37页，共55页。38所以这些平面都过原点.第38页，共55页。39考研数学(

9、一), 3分的切平面的方程是( ).练习 解则法向量为切平面方程为即平行设(x0, y0, z0)是曲面上一点,第39页，共55页。40 例 证的所有切平面都与一常向量平行.则曲面在任一点处的法向量:则即所以, 所有的切平面均与平行.曲面在M处的法向量:取第40页，共55页。413. 曲面方程为参数方程的情形(u,v为双参变量)求(u0, v0 )对应的点M0(x0, y0 , z0)处的法向量 固定v = v0, 让u变,它在M0处的切向量为曲面的参数方程为 得到曲面上一条所谓的u 曲线双切线法第41页，共55页。42(u,v为双参变量)求(u0, v0 )对应的点M0(x0, y0 , z

10、0)处的法向量 它在M0处的切向量为曲面的参数方程为 同样, 固定u = u0, 让v变,得到另一条所谓的v曲线,曲面的法向量 同时与 垂直, 故有公式 双切线法第42页，共55页。43 例求马鞍面 对应点处的切平面方程.解u = 1 , 得曲线, 即v = 1, 它们在点(u , v) = (1, 1)处的切向量分别为马鞍面在曲面上分别令 切平面的法向量为切平面方程为双切线法第43页，共55页。44 例求马鞍面 对应点处的切平面方程.解将每个方程的两端求微分, 得切平面方程为全微分法第44页，共55页。45令 解 切线方程和法平面方程.垂直于曲线在点 例 当空间曲线方程为一般式时,求切向量曾

11、采用了推导法.处切线向量 再用向量代数法做此题.应同时第45页，共55页。46令 切线方程和法平面方程. 例第46页，共55页。47 切线方程和法平面方程. 解双切平面法由于两曲面的交线的切线等于两曲面的切平面的交线,所以求出两曲面在点P0处的切平面方程,再将两切平面方程联立即为所求.第47页，共55页。48一元函数微分的(如图)四、全微分的几何意义对应的增量.增量时;当y是曲线的纵坐标dy就是切线纵坐标回忆几何意义第48页，共55页。49因为曲面在M处的切平面方程:全微分的几何意义表示平面上的点的竖坐标的增量.切平面上点的竖坐标的增量曲面z = f (x, y)在点(x0, y0, z0)处

12、的切z = f (x, y)在点(x0, y0)的全微分,切平面曲面z = f (x, y)0P函数z = f (x, y)在点(x0, y0)的全微分第49页，共55页。50其中法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与z 轴的正向所成的角是锐角,则法向量的方向余弦为第50页，共55页。51思考求旋转抛物面因为(第三个分量为负),解而为向下的法向量故向上的法向量应为:在任意点在任意点P(x, y, z)处向上的法向量(即与z轴夹角为锐角的法向量).法向量第51页，共55页。52研究生考题,填空,3分解令练习的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为( ).旋转面方程为第52页，共55页。53空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线 小 结注意: 向量的方向余弦