弹性力学基础课件

1、第2 章 弹性力学基础2.1 弹性力学概述 2.2 弹性体的基本假设 2.3 弹性力学的基本概念2.4 弹性力学的基本力学方程 2.5 弹性力学问题的求解方法2.6 弹性力学的基本原理和基本表达式返回第1页，共91页。2.1 弹性力学概述弹性力学是一门基础技术学科，在工程领域中，尤其是在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中发挥着重要的作用。弹性力学与材料力学在研究内容和基本任务方面是基本相同的，其研究对象也是近似的，但是二者的研究方法却具有较大的差别。弹性力学和材料力学研究问题的方法都是从静力学、几何学和物理学三方面入手的。但是材料力学的研究对象是杆状构件

2、，即长度远大于宽度和厚度的构件，并分析这类构件在拉压、剪切、弯曲和扭转等几类典型外载荷作用下的应力和位移。在材料力学中，除了从静力学、几何学和物理学三方面进行分析外，为了简化推导过程，还引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定（如平面截面的假定、拉应力在截面上均匀分布的假定等）。下一页返回第2页，共91页。2.1 弹性力学概述杆件横截面的变形可以根据平面假设来确定，因此，对其进行综合分析的结果，即问题求解的基本方程是常微分方程。对于常微分方程进行数学求解是没有困难的。而在弹性力学中研究杆状构件一般都不必引用那些假定，所以其解答要比材料力学中得出的解答精确得多。当然，弹性力学在研究板壳等一些

3、复杂问题时也引用了一些有关形变状态或应力分布的假定来简化其数学推导过程。但是由于弹性力学除了研究杆状构件之外，还研究板、壳、块，甚至三维物体等，因此，这类问题的分析只能从微分单元体入手，以分析单元体的平衡、变形和应力与应变关系，因此，对其进行问题综合分析的结果是满足一定边界条件的偏微分方程。上一页下一页返回第3页，共91页。2.1 弹性力学概述也就是说，问题的基本方程是偏微分方程的边值问题。从理论上讲，弹性力学能解决一切弹性体的应力和应变问题。但在工程实际中，一般构件的形状、受力状态和边界条件都比较复杂，所以除少数的典型问题外，对大多数工程实际问题而言，往往都无法运用弹性力学的基本方程直接进行

4、解析求解，有些只能通过数值计算的方法来求得其近似解。弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，因此，直接把解的困难性。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展起来的有限单元法为弹性力学的发展和解决工程实际问题带来了广阔的前景。上一页下一页返回第4页，共91页。2.1 弹性力学概述本章主要介绍弹性力学的基本概念，用解析法求解简单弹性力学问题的基础知识，其中主要包括弹性力学基本方程以及边界条件表达式等。掌握这些弹性力学的基础知识对后续有限单元法的学习非常重要。此外，为了更好地理解机械结构有限

5、元分析的基本原理以及将来能对分析结果更好地进行评价和理解，本章还介绍了应变能、虚位移、虚功及最小势能原理。上一页返回第5页，共91页。2.2 弹性体的基本假设在确定弹性体内应力与应变的分布规律时，若考虑所有方面的因素，则建立的方程会非常复杂，实际上也不可能求解。通常要按照研究对象的性质和求解的问题作出若干假设，且忽略次要因素，使方程的求解变为可能。具体假设包括以下几方面。1. 连续性假设物体是连续的，即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变和位移等才可以用坐标的连续函数来表示。下一页返回第6页，共91页。2.2 弹性体的基本假设2. 均匀

6、性假设这就是说，整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数（弹性模量和波桑系数）才不会随位置坐标而改变。3. 各向同性假设物体是各向同性的，也就是说，物体内每一点的各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。上一页下一页返回第7页，共91页。2.2 弹性体的基本假设4. 完全弹性假设物体是完全弹性的，即当使物体产生变形的外力除去后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全取决于它在这一瞬时所受到的外力，且与它过去的受力情况无关。5. 小变形假设物体的变形是微小的，即当物体受力以后，整个物体所有各

7、点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于 1。这样，在尺寸来代替变形后的尺寸，而不致出现显著的误差。上一页下一页返回第8页，共91页。2.2 弹性体的基本假设并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都能成为线性方程。满足前4 条假设的物体为理想弹性体，其应力与应变的关系为线性关系，符合胡克定律。5 条假设全都满足的弹性力学称为线弹性力学。上一页返回第9页，共91页。2.3 弹性力学的基本概念2.3.1 外力与内力在多个物体组成的系统中，由系统外的物体对该系统或系统中的某一部分所作用的力称为外力。物体在外界因素作用下，物体内部

8、各个部分之间将产生相互作用，物体内部相互作用的力称为内力。其研究对象通常是由几个物体组成的一个系统，那么系统内每个物体之间的力就是内力，而系统外针对系统的力就是外力。作用于物体的外力可以分为两种类型，即体积力与表面力。1. 体积力体积力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力，例如物体的重力、惯性力和电磁力等。下一页返回第10页，共91页。2.3 弹性力学的基本概念为了表明物体在x、y、z 坐标系内任意一点P 所受体积力的大小和方向，可在P 点的邻域取一微小体积元素V，如图2.1 所示。设V 的体积力合力为Q，令微小体积元素V 趋近于0，则可以定义一点P 的体积力为：一般来讲，物

9、体内部各点处的体积力是不相同的。物体内任一点的体积力用Fi 来表示，称为体积力矢量，其方向由该点的体积力合力方向决定。体积力沿三个坐标轴的分量用Fi（i=1, 2, 3）或者Fix、Fiy 和Fiz 来表示，称为体积力分量。规定体积力分量的方向与坐标轴方向一致时为正，反之为负。应该注意的是：在弹性力学中，体积力是指单位体积的力。上一页下一页返回第11页，共91页。2.3 弹性力学的基本概念2. 表面力表面力是指分布在物体表面上的外力，包括集中力和分布力，例如风力、水压力和物体之间的接触力等。在通常情况下，表面力是物体表面各点位置坐标的函数。在物体表面上任意取一点P，在P 点处取微小面积S，如图

10、2.2 所示。假设S 上作用的表面力合力为Q，则P 点所受的表面力定义为：上一页下一页返回第12页，共91页。2.3 弹性力学的基本概念表面力矢量是单位面积上的作用力，表面力是弹性体表面坐标的函数。一般条件下，表面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。表面力矢量用FS 表示，其分量用FSi（i=1，2，3）或者FSx、FSy 和FSz 来表示。规定表面力的方向与坐标轴方向一致时为正，反之为负。应该注意的是，在弹性力学中，虽然体积力和表面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体积力是指单位体积的力，表面力是指单位面积的作用力。体积力和表面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致时为正，反之为负

11、。上一页返回第13页，共91页。2.3 弹性力学的基本概念2.3.2 应力一点处某个截面上的应力（Stress）就是指该截面上的“附加内力”，即内力在该点处的集度。图2.2 所示中，一点P 处在截面mn 上，在该点处取一微小面积A，假设作用于A 上的内力为G，则有：T 就是P 点处的应力。通常将应力沿截面A 的法向和切向进行分解，相应的分量就是正应力 n 和剪应力 n ，它们满足以下条件：上一页下一页返回第14页，共91页。2.3 弹性力学的基本概念在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力（正应力 和剪应力 ）是不同的。只有同时给出该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面上应力的大小和

12、方向。在弹性力学中，为了描述弹性体内任一点P 的应力状态，可以从弹性体的连续性假定出发，即将整个弹性体看作由无数个微小正方体元素组成。在该点处切取一微小正方体，正方体的棱线与坐标轴平行，如图2.3 所示。正方体各面上的应力可按坐标轴方向分解为一个正应力和两个剪应力，即每个面上的应力都用三个应力分量来表示。由于物体内各点的内力都是平衡的，则作用在正方体相对两面上的应力分量大小相等、方向相反。这样，用9 个应力分量写成矩阵的形式来表示正方体各面上的应力，即：上一页下一页返回第15页，共91页。2.3 弹性力学的基本概念式中 i 正应力，下角标表示作用面和作用方向； ij 剪应力，第一下角标表示与截

13、面外法线方向一致的坐标轴，第二下角标表示剪应力的方向。应力分量的符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，则该面上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。相反，如果应力作用面的外法线是指向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。根据材料力学的基本概念（下一节中也将进一步证明），从图2.3 所示的微小正方体的平衡条件（力矩平衡方程）出发，上一页下一页返回第16页，共91页。2.3 弹性力学的基本概念则作用在正方体各面上的剪应力存在互等关系，即作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的，不仅大小相等，而且

14、其正负号也相同，即：这就是所谓的剪应力互等定理。2.3.3 一点的应力状态一般而言，弹性体内各点的应力状态都是不同的。假定已知弹性体内任一点P 的6 个应力分量 x 、 y 、 z 、 xy、 yz 、 zx ，按下述方法可以求得经过P 点的任一斜面上的应力。上一页下一页返回第17页，共91页。2.3 弹性力学的基本概念如图2.4 所示，在P 点附近取一平面ABC 与给定斜面平行，且该平面与经过P 点而垂直于坐标轴的三个平面形成一个微小四面体PABC。当平面ABC 无限接近于P 点时，平面ABC 上的应力就无限接近于斜面上的应力。2.3.4 主应力1. 主应力的相关概念在过一点的所有截面中，存

15、在着三个互相垂直的特殊截面，在这三个截面上没有剪应力，而仅有正应力。这种没有剪应力存在的截面称为过该点的主平面，主平面上的正应力称为该点的主应力，主应力的方向总是与主平面的法线方向平行，称为该点应力的主方向。上一页下一页返回第18页，共91页。2.3 弹性力学的基本概念2. 主应力的性质可以证明，特征方程有三个实数根，如用 1、2 、 3 分别表示这三个根，则它们代表某点的三个主应力。对于应力主轴方向的确定，可以将计算所得的 1、 2、 3 分别代入齐次方程组式（2.16）的任意两式，并且利用关系式联立求解，则可以求得应力的主方向。应力具有以下几方面的性质：上一页下一页返回第19页，共91页。

16、2.3 弹性力学的基本概念1）不变性由于一点的正应力和应力主轴方向取决于弹性体所受的外力和约束条件，而与坐标系的选取无关。因此对于任意一个确定点，其特征方程的三个根是确定的，因此 I1, I2 , I3 的值均与坐标轴的选取无关。坐标系的改变会导致应力张量的各个分量发生变化，但该点的应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。2）实数性特征方程的三个根，就是一点的三个主应力，根据三次方程根的性质，容易证明三个根均为实根，所以一点的三个主应力均为实数。上一页下一页返回第20页，共91页。2.3 弹性力学的基本概念3）正交性任一点的应力主方向，即三个应力主轴是正交的。下面证明主应力的正交性：

17、（1）若 1 2 3，则特征方程无重根，因此，应力主轴必然相互垂直。（2）若 1= 2 3，则特征方程有两重根， 1 和 2 的方向必然垂直于 3 的方向；而 1 和 2 的方向可以是垂直的，也可以不垂直。（3）若 1= 2= 3，则特征方程有三重根，三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直。这就是说，任何方向都是应力主轴。上一页下一页返回第21页，共91页。2.3 弹性力学的基本概念2.3.5 应变物体在外力的作用下，其形状要发生改变，变形指的就是这种物体形状的变化。这种物体形状的改变不管多么复杂，对于其中的某一个单元体来说，也只包括棱边长度的改变和各棱边的夹角的改变两类。因此，为了考察物体内某一

18、点处的应变（Strain），同样可在该点处从物体内截取一单元体，研究其棱边长度和各棱边夹角之间的变化情况。对于微分单元体的变形，将分为两部分讨论：棱边长度的伸长（或缩短）量即正应变（或线应变，Linear Strain），以及两棱边间夹角的改变量（用弧度表示）即剪应变（或角应变）。图2.5 所示为对这两种应变的几何描述。在每个图例中，单元体的初始位置和变形后的位置分别由实线和虚线来表示。上一页返回第22页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程2.4.1 平衡方程一般情况下，物体内不同的点将会有不同的应力。这就是说，各点的应力分量都是点的位置坐标（x, y, z）的函数，而且在一般情况下，它

19、都是坐标的单值连续函数。当弹性体在外力作用下保持平衡时，可根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式，即平衡微分方程。假定有一物体在外力作用下处于平衡状态。由于整个物体处于平衡，其内部各部分也都处于平衡状态。为导出平衡微分方程，可从中取出一微小正六面体进行研究，其棱边尺寸分别为dx、dy、dz。为清楚起见，图中仅画出了在x 方向有投影的应力分量。下一页返回第23页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程需要注意的是，两对应面上的应力分量，由于其坐标位置不同，而存在一个应力增量。例如，在AADD 面上作用有正应力x，那么由于BBCC 面与AADD 面在x 坐标方向上相差了dx，由泰勒级

20、数可知，舍弃高阶项，可导出 BBCC 面上的正应力可表示为 其余情况可依此类推。由于所取的六面体是微小的，其各面上所受的应力可以认为是均匀分布的，且作用在各面的中心。另外，若微小六面体上除应力之外，还作用有体积力，那么也假定体积力是均匀分布的，且作用在微元体的体积中心。这样，在x 方向上，根据平衡方程Fx = 0，有：上一页下一页返回第24页，共91页。第25页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程整理得：上一页下一页返回第26页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程上述这组微分关系是弹性力学中的基本关系之一。凡处于平衡状态的物体，其应力分量函数都应满足这个方程。再列出三个力矩方程。在

21、将各面上的应力分量全部写出后，首先列出 M AA = 0，得：上一页下一页返回第27页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程展开式（2.30），略去四阶微量，整理后得到：用同样的方法列出另外两个力矩平衡方程 MA B =0 M A D =0 。这样将得到任意一点处应力分量的另一组关系式：这个结果表明，任意一点处的6 个剪应力分量成对相等，即所谓的剪应力互等定理。由此可知，上一节所说的一点的9 个应力分量中，独立的只有6 个。上一页下一页返回第28页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程对于处于运动状态的物体，只要加上惯性力，也可以用列平衡方程的方法来得到运动方程。这时，所得方程的形式仍

22、如式（2.30）一样，但在等式左边的最后一项中，应加有单位体积内的惯性力在响应方向上的分量。2.4.2 几何方程弹性体受到外力作用时，其形状和尺寸会发生变化，即产生变形。在弹性力学中所考虑的几何学方面的问题实质上就是研究弹性体内各点的应变分量与位移分量之间的关系。应变分量与位移分量之间存在的关系式一般称为几何方程，或叫作Cauchy 几何方程。 上一页下一页返回第29页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程xx 、 yy 和 zz 是任意一点在x、y 和 z 方向上的线应变（正应变）， xy、 yz 和 zx 分别代表在xy、yz 和zx 平面上的剪应变。类似于应力矩形分量，上面6 个应变

23、分量可定义为应变矩形分量。考察研究物体内任一点P(x, y, z) 的变形，与研究物体的平衡状态一样，也是从物体内P点处取出一个正方微元体，其三个棱边长分别为dx、dy、dz，如图2.7 所示。当物体受力变形时，不仅微元体的棱边长度会随之改变，各棱边间的夹角也要发生变化。为研究方便起见，可将微元体分别投影到Oxy、Oyz 和Ozx 三个坐标面上，如图2.8 所示。上一页下一页返回第30页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程在外力的作用下，物体可能发生两种位移：一种是与位置改变有关的刚体位移；另一种是与形状改变有关的形变位移。在考虑物体的变形时，可以认为物体内各点的位移都是坐标的单值连续函

24、数。如图2.8 所示，若假设A 点沿坐标方向的位移分量为u、v，则B 点沿坐标方向的位移分量应分别为 ，而 D点的位移分量分别为上一页下一页返回第31页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程代入式（2.34），得：上一页下一页返回第32页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程由于只是微小变形的情况，可略去式（2.36）中的高阶微量（即平方项）。这样，就有：当微元体趋于无限小时，即AB 线段趋于无限小时，AB 线段的正应变就是P 点沿x 方向的正应变。用同样的方法考察AD 线段，则可得到P 点沿y 方向的正应变为：上一页下一页返回第33页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程现在再来

25、分析AB 和AD 两线段之间夹角（直角）的变化情况。在微小变形时，变形后AB 线段的转角为：上一页下一页返回第34页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程式中，上一页下一页返回第35页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程把AB 和AD 两线段之间直角的改变量 xy 称为P 点的角应变（或称剪应变），它由两部分组成，一部分是由y 方向的位移引起的，而另一部分则是由x 方向的位移引起的；并规定角度减小时为正，增大时为负。至此，讨论了微元体在xOy 投影面上的变形情况。如果再进一步考察微元体在另外两个投影面上的变形情况，还可以得到P 点沿其他方向的线应变和角应变。在三维空间中，变形体内部任

26、意一点共有6 个应变分量，即x、y、z、xy、yz、zx，这6 个应变分量完全确定了该点的应变状态。也就是说，若已知这6 个应变分量，就可以求得过该点任意方向的正应变及任意两垂直方向间的角应变，也可以求得过该点的任意两线段之间的夹角的改变。上一页下一页返回第36页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程可以证明，在形变状态下，物体内的任意一点也一定存在着三个相互垂直的主应变，对应的主应变方向所构成的三个直角在变形之后仍保持为直角（即剪应变为零）。上一页下一页返回第37页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程其几何方程完整地表示为：上一页下一页返回第38页，共91页。2.4 弹性力学的基本

27、力学方程不难看出，当物体的位移分量完全确定时，应变分量就被完全确定。反之，当应变分量完全确定时，位移分量却不能完全被确定。这是因为应变的产生是由于物体内点与点之间存在相对位移，而具有一定形变的物体还可能产生不同的刚体位移。2.4.3 物理方程研究应力与应变关系的方程式即物理方程（Physical Equation）。物理方程与材料特性有关，它用来描述材料抵抗变形的能力，也叫本构方程（Constitutive Law）。本构方程是物理现象的数学描述，它建立在实验观察以及普遍的自然原理之上。上一页下一页返回第39页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程对物理现象进行准确的数学描述一般都十分复杂

28、，甚至不可行，本构关系则是对一般真实行为模式的一种近似。另外，本构方程只描述材料的行为而不是物体的行为，所以，它描述的是同一点的应力状态与它相应的应变状态之间的关系。1. 广义胡克定律1）广义胡克定律的一般表达式和Lame 系数在进行材料的简单拉伸实验时，从应力应变关系曲线上可以发现，在材料达到屈服极限之前，试件的轴向应力 正比于轴向应变 ，通常把这个比例常数定义为杨氏模量 E，则有如下表达式：上一页下一页返回第40页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程在材料拉伸实验中还可以发现，当试件被拉伸时，它的径向尺寸（如直径）将减少。当应力不超过屈服极限时，其径向应变与轴向应变的比值也是常数，将

29、这个比例常数定义为泊松比。实验证明，弹性体的剪切应力与剪应变也成正比关系，其比例系数称为剪切弹性模量，用G 表示。对于理想弹性体，可以设6 个直角坐标应力分量与对应的应变分量呈线性关系，如下式：上一页下一页返回第41页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程式（2.45）即为广义胡克定律的一般表达式。按照广义胡克定律，三个主应力1 、 2 、 3 与三个主应变1 、 2 、 3 之间同样也是线性关系。以2. 用位移表达的平衡微分方程应力分析中推导出的平衡微分方程是用来描述弹性体内某一点6 个直角应力分量与体积力分量之间的关系。本节研究的物理方程描述了应力和应变之间的关系，综合这两组基本方程，

30、可以推导出用应变表示的平衡微分方程，更进一步，考虑描述应变与位移关系的几何方程，则可以推导出用位移表示的平衡微分方程，即位移平衡微分方程，具体推导过程如下。上一页下一页返回第42页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程由0 x F = 推导出的平衡微分方程为：上一页下一页返回第43页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程整理得：式（2.67）即为位移平衡微分方程中的第一式。上一页下一页返回第44页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程考虑由另外两式 Fy =0 ， Fz =0 导出的平衡微分方程，经过类似的推导可得到另外两个用位移表示的平衡微分方程。定义拉普拉斯算子 ,最后得到用位

31、移表示的平衡微分方程如下：上一页下一页返回第45页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程上述用位移表达的平衡微分方程涉及应力、应变以及应力和应变关系，反映了弹性体的力学特征、几何特征和物理特征，该方程在弹性力学问题求解中较为重要。3. 圣维南原理在求解弹性力学问题时，不仅要使应力分量、应变分量和位移分量在求解域内（物体内）完全满足前述的基本方程，而且在边界上还要满足给定的边界条件。但是，在工程实际中物体所受的外载荷往往比较复杂，一般很难完全满足边界条件。当所关心的并不是载荷作用区域内的局部应力分布时，可以利用圣维南原理对其加以简化。上一页下一页返回第46页，共91页。2.4 弹性力学的基本

32、力学方程1855 年，针对等截面长杆的弯曲和扭转问题，圣维南发表了他的著名理论。圣维南原理一般可以这样来叙述：如果把物体的一小部分边界上的表面力变换为分布不同但静力等效的表面力（即主矢量相同、对同一点的主矩也相同），那么，其近处的应力分布将有显著的改变，但其远处所受的影响可以不计。圣维南原理还可以表述为：如果物体的一小部分边界上的表面力是一个平衡力系（即主矢量及主矩都等于零），那么，这个表面力就只会使得其近处产生显著的应力，而其远处的应力可以不计。应该特别注意的是，应用圣维南原理不能离开“静力等效”的条件上一页下一页返回第47页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程2.4.4 边界条件若物

33、体在外力的作用下处于平衡状态，那么物体内部各点的应力分量必须满足前述的平衡微分方程式（2.30）。该方程是基于各点的应力分量，并以点的坐标函数为前提导出的。现在，如果考察位于物体表面上的点，即边界点，显然，这些点的应力分量（代表由内部作用于这些点上的力）应当与作用在该点处的外力相平衡。这种边界点的平衡条件称为用表面力表示的边界条件，也称为应力边界条件。在应力边界问题中，可以建立表面力分量与应力分量之间的关系。弹性体边界上的点同样满足柯西应力公式，上一页下一页返回第48页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程设弹性体上一点的表面力为 ，由柯西应力公式有：式（2.69）即为物体应力边界条件的表

34、达式。但是，如果用S 来表示整个弹性体的表面积，则往往只在其中一部分面积S 上给定了外力，而另一部分面积属于 Su 上，则给定的是位移。当然， S = S + S u 。上一页下一页返回第49页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程例如一根矩形截面的悬臂梁，其固定端部分的面积属于 Su 部分，它们给定了位移，而未给定外力；其余五个面都属于S 部分，它们的外力已给定（包括外力等于零）。根据上面的推导方法，显然，在S 部分的各点都应满足用表面力表示的边界条件，即式（2.69）。但与此同时，在 Su 部分上的各点还应满足用位移表示的边界条件，也即几何边界条件。现设u 、v 、w 表示给定的S u

35、 上的点在x、y、z 轴方向的位移，则其几何边界条件为：在S u 上：上一页下一页返回第50页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程应当注意的是，边界条件是求解弹性力学问题的重要条件。它表明，应力分量函数不仅在物体内部的各点应满足平衡的微分方程，即式（2.61），在S 部分的边界点上还应满足边界条件式（2.69）；在 Su 部分的边界上，其位移还要满足几何边界条件式（2.70），否则就不能认为其是该问题的解。这一点也正是弹性力学问题求解的困难之一。2.4.5 变形协调方程变形协调方程也称变形连续方程，或叫作相容方程。它是一组用来描述6 个应变分量之间存在关系的表达式。上一页下一页返回第51

36、页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程在弹性力学中，认为物体的材料是一个连续体，它是由无数个点构成的，这些点充满了物体所占的空间。从物理意义上来讲，物体在变形前是连续的，那么它在变形后仍然是连续的。对于假定材料是连续分布且无裂隙的物体，其位移分量应是单值连续的，即u、v、w 是单值连续函数。这就是说，当物体发生形变时，物体内的每一点都有确定的位移，且同一点不可能有两个不同的位移；无限接近的相邻点之间的位移之差是无限小的，故其变形后仍为相邻点，物体内不会因变形而产生空隙。对于前面所讨论的6 个应变分量，它们都是通过三个单值连续函数对坐标求偏导数来确定的。因而，这6 个应变分量并不是互不相关

37、的，它们之间必然存在着一定的内在关系。上一页下一页返回第52页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程可以设想把一个薄板划分成许多微元体，如图2.11（a）所示。如果6 个应变分量之间没有关联，则各微元体的变形便是相互独立的。那么，变形后的微元体之间有可能出现开裂和重叠现象，这与实际情况是不相符的，如图2.11（b）和图2.11（c）所示。要使物体变形后仍保持连续，即如图2.11（d）所示的情况，那么各微元体之间的变形必须相互协调，即各应变分量之间必须满足一定的协调条件。6 个应变分量之间的关系可以分两组来讨论。由几何方程上一页下一页返回第53页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程若式

38、（2.71）的前两式分别对y、x 求二阶偏导数，并考虑到位移分量是坐标的单值连续函数，则有：上一页下一页返回第54页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程进行类似的推导可得到另外两个关系式。对于几何方程的剪切应变与位移关系式：上一页下一页返回第55页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程再求式（2.75）对z 的偏导，即：同样可以得到另外两个与上式相似的关系式。上一页下一页返回第56页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程综上式（2.75）和式（2.76）将得到应变分量之间如下所示的6 个微分关系式，即变形协调方程：上一页下一页返回第57页，共91页。2.4 弹性力学的基本力学方程

39、上述方程从数学上保证了物体变形后仍保持为连续，各微元体之间的变形相互协调，即各应变分量之间满足一定的相容性协调条件。上一页返回第58页，共91页。2.5 弹性力学问题的求解方法根据前面的讨论可知，弹性力学问题中共有15 个待求的基本未知量，即6 个应力分量、6 个应变分量和3 个位移分量，而基本方程也正好有15 个，即平衡微分方程3 个、几何方程或变形协调方程6 个（几何方程和变形协调方程实质上是等效的，两者只能应用其中之一）和物理方程6 个。于是，15 个方程中有15 个未知函数，加上边界条件用于确定积分常数，从原则上看，这些方程足以求解各种弹性力学问题。这可以证明，当这些方程的解答存在时，

40、只要不考虑刚体位移，则所求得的解将是唯一的。但是，在实际求解时，其数学上的计算难度仍然是很大的。事实上，我们只能对一些简单的问题进行解析求解，而对于大量的工程实际问题，一般都要借助于数值的方法来获得数值解或半数值解。下一页返回第59页，共91页。2.5 弹性力学问题的求解方法求解弹性力学问题主要有两种不同的途径。一种是按位移求解，另一种是按应力求解。按位移求解就是先以位移分量为基本未知函数，求得位移分量之后，再用几何方程求出应变分量，继而用物理方程求得应力分量。从原则上讲，按位移求解可以适用于任何边界问题，不管是位移边界问题还是应力边界问题，或者是混合边界问题，所以对某些重要问题，虽然不能按位

41、移求解方式得到具体的、详尽的解答，但却可以得出一些普遍的重要结论，这是按应力求解时所不能达到的。事实上，在很多情况下，按位移求解也比较方便，只要所确定的位移函数是单值连续的，那么用几何方程所求得的应变分量就必定满足相容方程。但是，关键的问题在于由位移分量和应变分量所确定的应力分量还必须满足平衡微分方程，所以，按位移求解弹性力学问题时，往往要比按应力求解更难处理。上一页下一页返回第60页，共91页。2.5 弹性力学问题的求解方法这是按位移求解的缺点所在，也就是按位移求解尚不能得到很多有用的解答的原因。然而，值得指出的是，在有限单元法中，按位移求解则是一种比较简单而又普遍适用的求解方式，本书中所介

42、绍的有限单元法都是以这种位移解法作为出发点的。求解弹性力学问题的另一种方式是按应力求解，即先以6 个应力分量为基本未知量，求得满足平衡微分方程的应力分量之后，再通过物理方程和几何方程求出应变分量和位移分量。需要特别注意的是，应使所求得的应变分量满足相容方程，否则将会因变形不协调而导致错误。此外，应力分量在边界上还应当满足应力边界条件。由于位移边界条件一般是无法改用应力分量来表示的，所以，对于位移边界问题和混合边界问题，一般都不可能按应力求解得到精确的解答。上一页下一页返回第61页，共91页。2.5 弹性力学问题的求解方法因此，用弹性力学求解某一具体问题，就是设法寻求弹性力学的基本方程的解，并使

43、之满足该问题的所有边界条件。然而，要在各种具体条件下寻求问题的精确解答，实际上是很困难的。研究发现，对一些重要的实际问题，只要对其应力或应变的分布做若干的简化，就会使求解变得将具体问题简化为平面问题（可进一步分为平面应力问题和平面应变问题）、轴对称问题和板壳问题等。上一页返回第62页，共91页。2.6 弹性力学的基本原理和基本表达式在弹性力学中，对于弹性变形体，基本上均采用能量原理进行分析。在本节中，主要讨论弹性力学问题的能量法的基本原理和基本表述方式。2.6.1 应变能如果材料是理想弹性体，且作用过程没有能量损失，那么外力所做的功将以一种能的形式积累在弹性体内，一般把这种能称为弹性变形势能或

44、应变能。考虑轴向拉伸的情况，设在拉伸试件中有一很小的单元，它承受单轴拉伸应力 x 。如果材料是线性的，力和 x 有关，即作用力为F x =x yz 。下一页返回第63页，共91页。2.6 弹性力学的基本原理和基本表达式力产生的位移和应变有关，它们的关系为：上一页下一页返回第64页，共91页。2.6 弹性力学的基本原理和基本表达式由能量守恒原理可知，外力所做的功应与弹性体的应变能相等。因此，单位体积的应变能可表示为考虑单独剪应力作用的情况，假设弹性体内一微小单元仅受剪应力 xy作用，如图2.12 所示。图2.12 所示的剪力 F =xy xz，位移 = xy y ，则所做的功为：上一页下一页返回

45、第65页，共91页。2.6 弹性力学的基本原理和基本表达式则单位体积的应变能为：分析更一般的情况，这时弹性体既受正应力又受剪应力的作用。设一点的应力状态为 x, y, z 和 xy , yz, xz ，将其写成矩阵形式，上一页下一页返回第66页，共91页。2.6 弹性力学的基本原理和基本表达式上一页下一页返回即：第67页，共91页。2.6 弹性力学的基本原理和基本表达式根据能量守恒原理，材料在弹性范围内工作时，微元三对面上的力（其值为应力与面积之乘积）在由各自对应应变产生的位移上所做的功全部转变为一种能量储存于微元内。这种能量称为弹性应变能，简称应变能，用dv 表示。若以dV 表示微元的体积，

46、则定义 应变能密度，用v 表示。当材料的应力应变满足广义胡克定律时，在小变形的条件下，相应的力和位移方面也存在线性关系，见图2.12。这时力所做的功为：对于弹性体，此功将转变为弹性应变能v 。上一页下一页返回第68页，共91页。2.6 弹性力学的基本原理和基本表达式设微元的三对边长分别为 dx、dy、dz，则与力1 dydz 、 2dxdz 、 3 dxdy 相对应的位移分别为1 dx、 2 dy 、 3dz 。这些力所做的功为：上一页下一页返回第69页，共91页。第70页，共91页。2.6 弹性力学的基本原理和基本表达式2.6.2 虚功原理虚功原理是弹性力学中各种能量原理（如弹性力学最小势能原理和弹性力学最小余能原理）和能量方法（如单位载荷法和布勃诺夫伽辽金法）的核心。弹性力学中的虚功原理可表述为：在弹性体上，外力在可能位移上所做的功等于外力引起的可能应力在相应的可能应变上所做的功。其中，可能位移是指满足变形连续条件和位移边界条件的位移；可能应力是指满足平衡方程和力的边界条件的应力。由这一原理还可导出下列两个重要原理：上一页下一页返回第71页，共91页。2.6 弹性力学的基本原理和基本表达式（1）虚位移原理。若有一组内、外力，它们和各种可能位移及其对应的应变都能使下式成立，则这组内、