材料力学第十三章-能量方法(1)课件

1、王 培 荣 材料力学课堂教学课件Friday, August 5, 2022第1页，共72页。1掌握计算应变能、熟练掌握功能原理及其应用。2.熟练掌握功的互等定理和位移互等定理及其应用。3.掌握余能计算、卡氏定理及其应用。教学要求第2页，共72页。第十三章 能量方法 Energy method第3页，共72页。131 概述 General introduction第4页，共72页。能量法固体力学中，把一个功的概念和应变能的概念有关的理论和方法统称为能量法 根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能U等于外力在物体变形过程中所做的功W。 U=W第5页，共72页。132 杆件应变能的计算 第6页，共7

2、2页。1、外力功的计算(1)力（P）和位移（）是广义的，即：集中力、集中力偶矩和相对作用力位移含线位移、角位移、相对位移External forces work第7页，共72页。(2) 力和位移的关系可以是线性的或非线性的（如图）功 W=Pd余功 WC=dP功+余功=常力功第8页，共72页。外力功的计算PPP 广义力； 广义位移材料线弹性；几何线性；小变形。注意：常力做功与变力做功区别。P第9页，共72页。静载（由零逐渐增加到最终值）作用下，外力在弹性体上所作的功，等于力的最终值与相应位移的最终值的乘积之半。 当弹性体上作用有几个外力P1、P2、Pn，这时所有外力作的总功等于这些力分别与其相应

3、位移乘积之和的一半，即：第10页，共72页。 由零逐渐增加到最终值的力是变力；已经加在杆件上不变的力是常力。当外力为变力时， （线弹性）功的表达式中的系数为1/2；而当外力为常力时，功的表达式中的系数为1。第11页，共72页。 力对由自身产生对应位移所作的功 （线弹性） 力对其它因素引起对应位移所作的功。 第12页，共72页。2.应变能（用U或V表示）在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能。在弹性范围内，当卸载时，变形能全部释放出来而使物体弹性恢复。因此，弹性变形能是可逆的。当超过弹性范围后，物体将发生塑性变形，并消耗一部分能量，这部分能量是不可

4、逆的。第13页，共72页。du=d应变比能 u=du=d应变能 U=vudv=v(d)dv第14页，共72页。功能原理：物体在外力作用下发生变形，根据能量守恒定律，当忽略其它能量损耗时，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所的做功，即U=W第15页，共72页。(1) 轴向拉伸和压缩第16页，共72页。(2) 扭转第17页，共72页。(3) 弯曲纯弯曲：第18页，共72页。 横力弯曲的梁，其横截面上既有弯矩，又有剪力，应该分别计算弯曲变形能和剪切变形能，再求和。 但是对于细长梁，剪切变形能与弯曲变形能相比，一般很小，可以略去不计，所以只计算弯曲变形能。横力弯曲：第19页，共72页

5、。矩形：圆形： 薄壁管：第20页，共72页。对右图矩形截面 细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。第21页，共72页。133 应变能的普遍表达式第22页，共72页。(4) 组合变形第23页，共72页。变形能的性质第24页，共72页。(1)变形能只与荷载的最终值有关，而与加载的中间过程或加载的先后次序无关。(2)一般说来，变形能不能简单叠加。但是如果杆件受到两种荷载作用，其中任何一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作功，则可以把这两种荷载单独作用时的变形能进行叠加，从而得到它们共同作用时杆件的变形能。第25页，共72页。利用功能原理计算加力点的位移第26页，共72页。 利用U=W可以计算杆件或结构的

6、位移。但是只限于单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点（或作用面）沿着荷载的作用方向与荷载对应的位移。第27页，共72页。例：等截面直杆AB和BC组成的构架受力如图所示。若两杆的抗拉(压)刚度均为EA设P 、l、EA都已知，试求B点的竖直位移B。第28页，共72页。解：由节点B的静力平衡条件求得各杆内力:构架的变形能等于 AB和 BC两杆变形能之和:第29页，共72页。第30页，共72页。例：悬臂梁受集中力偶矩M。的作用如图所示。若EI、l 均已知，试求自由端B截面的转角。第31页，共72页。解：M(x)=-M0第32页，共72页。 B为集中力偶作用处B截面的角位移。这里计算所得的B是正号，

7、表示 B的转向与 Mo的转向一致（为什么？）。按照本书的规定，这样的转角为负。值得指出的是，本例只能应用变形能法来计算B截面的转角，而不能计算B截面的挠度。（为什么？）第33页，共72页。 例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。第34页，共72页。解：第35页，共72页。 例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。第36页，共72页。解：第37页，共72页。例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。第38页，共72页。解：第39页，共72页。 例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P垂直于轴线所在的平面。试

8、求A点的垂直位移。已知GIp、EI为常量。第40页，共72页。解：第41页，共72页。134 互等定理 第42页，共72页。载荷作用点位移发生点第43页，共72页。第44页，共72页。功的互等定理:位移互等定理:数量关系数量关系第45页，共72页。 在推证上面两个定理时,虽然我们以梁为例,却没有用弯曲变形的特点。所以对服从虎克定律且变形很小的其它结构,如刚架、拱、桁架、板、壳等，这两个定理都是适用的。第46页，共72页。用功（位移）互等定理关键1. 找出状态，使状态的外力在（状态）所求的位移上做功；2. 状态的外力作用下，（状态）外力作用点、(状态）外力相应位移容易求出。第47页，共72页。

9、例：求图示简支梁C截面的挠度。第48页，共72页。第49页，共72页。 例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移C。第50页，共72页。第51页，共72页。例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠度 。求梁在中点集中力P作用下 (见图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积 。第52页，共72页。第53页，共72页。例：长为 l、直径为d的圆杆受一对横向压力 P作用，求此杆长度的伸长量。已知E和。第54页，共72页。第55页，共72页。135 卡氏定理第56页，共72页。余应变比能 uc=d余应变能 Uc=vvdv=v(d)dv注意：若为线性应力-应变关系时 u=uc U=Uc 第57页，

10、共72页。所示关系，卡斯提里阿诺（A Castigliano）推导出了计算弹性杆件的力和位移的两个定理，通常称之为卡氏第一定理和卡氏第二定理。利用公式:第58页，共72页。卡氏第二定理这个定理是一个适用于非线性弹性杆件的普遍定理在线弹性情况下的特例第59页，共72页。设梁上有n个集中荷载作用，这些集中力作用点的最后位移分别为1、2、n。为计算方便起见，假定这些荷载都是同时作用在梁上并按同一比例逐渐从零增加到其最后值P1、P2、Pn（通常称之为简单加载)。第60页，共72页。 外力所作总余功就等于每个集中力的余功总和。可写出UC的表达式如下：表明梁内的余能是作用在梁上一系列外力Pi的函数.第61

11、页，共72页。现假设第i个外力Pi有一微小增量dPi，则梁内余能的变化dUC应为外力总余功的变化为此式可用来计算非线性弹性杆件或杆系在外力Pi作用点处与Pi相应的位移i第62页，共72页。在线弹性杆件或杆系U=UC线弹性杆件或杆系的应变能U对于作用在该杆件或杆系上的某一外力之变化率就等于该力作用点沿作用线方向的位移。卡氏第二定理第63页，共72页。(1) 轴向拉伸和压缩(2) 扭转(3) 弯曲(4) 组合变形第64页，共72页。注意Pi应理解为作用在杆上的广义力而i则为与Pi相应的广义位移卡氏第二定理则仅适用于线弹性体对于非线性弹性体则只能按余能的变率来计算克罗第-恩格塞定理第65页，共72页。讨论与思考题EIEIaaABCPP第66页，共72页。例题:用卡氏第二定理计算图示等截面开口圆环的张开位移。此环的材料为线弹性的。第67页，共72页。 解：由于材料是线弹性的，故可按卡氏第二定理计算此开口圆环两施力点间的相对位移。两力P大小相等而指向相反，在这里可视为一个广义力，与之