平差(教学课件)第3章条件平差

1、主讲：成晓倩 河南理工大学测绘学院条件平差Adjustment with Conditions第1页，共85页。内容安排一、条件平差原理二、精度评定三、不同几何模型的条件方程四、公式汇编条件平差Adjustment with Conditions第2页，共85页。一、条件平差原理数学模型条件平差函数模型随机模型在数学中就是求函数的条件极值问题第3页，共85页。一、条件平差原理独立观测值，权阵，改正数，平差值必要观测数t,多余观测数为rr=n-t平差值线性条件方程第4页，共85页。一、条件平差原理条件方程改正数条件方程闭合差函数模型第5页，共85页。构造拉格朗日函数一、条件平差原理乘系数一阶导数

2、改正数方程第6页，共85页。一、条件平差原理基础方程法方程法方程纯量形式第7页，共85页。一、条件平差原理平差值条件平差法方程的个数=多余观测个数r第8页，共85页。内容安排一、条件平差原理二、精度评定三、不同几何模型的条件方程四、公式汇编条件平差Adjustment with Conditions第9页，共85页。二、精度评定单位权中误差的计算的计算：观测值独立时纯量形式推导过程：第10页，共85页。二、精度评定的协因数阵及互协因数阵矩阵形式：系数阵K第11页，共85页。的协因数阵及互协因数阵二、精度评定与 不相关 第12页，共85页。二、精度评定单独求解第13页，共85页。二、精度评定平差

3、值函数的权倒数（协因数）平差值函数：全微分：全微分式系数阵：协因数传播律：平差值函数的协因数阵平差值函数的协方差阵第14页，共85页。解题步骤总结1.根据实际问题，确定n、t、r = n - t，列出平差值条件方程并转化为改正数条件方程2.组建法方程3.解算法方程，计算联系数K4.计算观测值改正数V及平差值第15页，共85页。解题步骤总结5.计算单位权中误差6.检核：平差值代入平差值条件方程式，看是否满足方程关系7.列出平差值函数关系式并进行精度评定第16页，共85页。例题赏析例：如图所示，A点和P点为等级三角点，PA方向的方位角已知，在测站P上等精度测得的各方向的夹角观测值如下：用条件平差法

4、计算各观测值的平差值、PC方向的方位角 及 的精度解：（1）确定n，t，r：n=4;t=3;r=1（2）列立平差值条件方程：第17页，共85页。例题赏析解：（3）列立改正数条件方程：（4）建立法方程：等精度观测第18页，共85页。例题赏析解：（5）通过改正数方程求解改正数：（6）计算平差值：（7）检核：第19页，共85页。例题赏析解：（8）求单位权中误差：（9）平差值函数式：第20页，共85页。Review条件平差数学模型函数模型随机模型几种方程形式：平差值条件方程第21页，共85页。改正数条件方程改正数方程法方程Review几种方程形式：第22页，共85页。单位权中误差观测值独立时与 不相关

5、 Review第23页，共85页。平差值函数：全微分：系数阵：平差值函数协因数阵平差值函数方差表达式系数转置阵：Review第24页，共85页。内容安排一、条件平差原理二、精度评定三、不同几何模型的条件方程四、公式汇编条件平差Adjustment with Conditions第25页，共85页。不同几何模型的条件方程Condition Equations of Different Geometrical Models1. 高程控制网条件方程 Condition Equations of Height Control Network 2. 导线控制网条件方程 Condition Equatio

6、ns of Traverse Control Network3. 测角三角网条件方程 Condition Equations of Triangulation Network4. 测边三角网条件方程 Condition Equations of Trilateration Network第26页，共85页。1.高程控制网条件方程Conditions Equations of Height Control Network平差的目的求待定点高程平差值，并进行精度评定。高程网水准网三角高程网至少需要一个已知点为起算数据条件方程个数的确定条件方程个数等于多余观测个数r=n-t关键在于确定必要观测个数

7、t必要起算数据第27页，共85页。1.高程控制网条件方程Conditions Equations of Height Control Network必要观测个数 t的确定（1）当网中含有一个或一个以上已知水准点时t = 网中待定点数（2）当网中没有已知水准点时t = 网中待定点数 -1水准网条件方程的列立（1）要求：足数、独立、最简（2）条件方程的形式闭合条件方程附合条件方程第28页，共85页。1.高程控制网条件方程Conditions Equations of Height Control Network水准网条件方程的列立小窍门：1.先列“附合条件”，再列“闭合条件”2.附合条件按“测段少

8、”的路线列立，附合条件个数=“已知点个数-1”3.闭合条件按“小环”列立（保证最简）4.检核第29页，共85页。高程控制网示例n=8 t=3 r=5附合条件方程闭合条件方程平差值条件方程改正数条件方程条件方程闭合差第30页，共85页。高程控制网示例n=8 t=4 r=4平差值条件方程第31页，共85页。高程控制网示例n=8 ，t=5-1=4 ，r=4平差值方程改正数条件方程条件方程闭合差第32页，共85页。高程控制网示例ABCDn=6 ，t=4-1=3，r=3平差值方程式改正数方程式闭合差第33页，共85页。例题赏析例:如图为一水准网，A、B为两个高程已知点，C、D、E、F分别为待定点。已知高

9、程值和高差观测值如表所示，试计算各待定点的高程平差值。已知高程值高差观测值第34页，共85页。例题赏析n=8 t=4 r=4条件方程条件方程闭合差第35页，共85页。例题赏析已知高程值高差观测值权逆阵 C=1法方程系数阵联系数K第36页，共85页。例题赏析观测值改正数观测值平差值第37页，共85页。水准网示例第38页，共85页。水准网示例第39页，共85页。水准网示例第40页，共85页。不同几何模型的条件方程Condition Equations of Different Geometrical Models1. 高程控制网条件方程 Condition Equations of Height

10、Control Network 2. 导线控制网条件方程 Condition Equations of Traverse Control Network3. 测角三角网条件方程 Condition Equations of Triangulation Network4. 测边三角网条件方程 Condition Equations of Trilateration Network第41页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control NetworkT0Tn+1单一附合导线条件平差1.目的： 求各待定点平面坐标（Xi，Yi）的平差值

11、，并精度评定。2.条件方程个数的确定：观测边数：n观测角数：n+1待定点数：n-1必要观测个数：t=2 (n-1)=2n-2多余观测个数：r=n+n+1-(2n-2)=3单一附合导线的条件方程数恒等于 3第42页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network单一附合导线条件平差3.条件方程的列立已知值：AB边坐标方位角： 或CD边坐标方位角：B点坐标：C点坐标：T0Tn+1条件方程类型：1个方位角符合条件；2个坐标符合条件计算值：计算值：或：第43页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equat

12、ions of Traverse Control Network单一附合导线条件平差3.条件方程的列立T0Tn+11.方位角符合条件平差值条件方程：方位角符合条件方程第44页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network单一附合导线条件平差3.条件方程的列立2.纵坐标符合条件平差值条件方程：第i边的坐标增量：泰勒公式展开：第45页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network2.纵坐标符合条件按 合并同类项第46页，共85页。2.导

13、线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network2.纵坐标附合条件纵坐标附合条件方程第47页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network3.横坐标附合条件横坐标附合条件方程实际运算中S、x、y常以米为单位，w、vS以厘米为单位，改正数条件方程如下：纵坐标条件：横坐标条件：第48页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network单一附合导线条件平差3.条件方程的列立条件方程

14、汇总方位角符合条件纵坐标附合条件横坐标附合条件第49页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network单一附合导线的平差计算的基本程序：(1)计算各边近似方位角Ti和各点近似坐标增量值xi、yi；(2)参照上式写出方位角条件式、纵横坐标条件方程式；注意单位统一，决定 的取值。W的计算见上面。(3)按照条件平差计算程序，计算最或是值并进行精度评定。条件方程汇总第50页，共85页。Review高程控制网的必要起算数据一个高程基准，即一个已知点的高程高程网必要观测个数 t的确定（1）当网中含有一个或一个以上已知水准点时t

15、 = 网中待定点数（2）当网中没有已知水准点时t = 网中待定点数 -1第51页，共85页。Review单一附合导线的条件方程数恒等于 3单一附合导线的条件方程条件方程汇总第52页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network单一闭合导线条件平差将B和C、A和D点分别重合，即可得到闭合导线。1.条件方程个数的确定：观测边数：n观测角数：n+1待定点数：n-1必要观测个数：t=2 (n-1)=2n-2多余观测个数：r=n+n+1-(2n-2)=3单一闭合导线的条件方程数恒等于 3第53页，共85页。2.导线控制网条

16、件方程Condition Equations of Traverse Control Network单一闭合导线条件平差2.条件方程的列立条件方程汇总内角和条件方程第54页，共85页。边角权的确定及单位权中误差的计算2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network权的确定：一般取：单位权中误差：测边中误差：第55页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network如图为一四等附合导线，测角中误差 ,测边所用测距仪的标称精度公式 ，已知数据和观测值见下

17、表。试按条件平差法对此导线进行平差，并评定3号点的点位精度。= 2.5= 5mm+5ppmD k m已知坐标(m)已知方位角B (187396.252 , 29505530.009)C (184817.605 , 29509341.482)TAB = 1614407.2TCD = 2493027.9导线边长观测值(m) 转折角度观测值S1 = 1474.444S2 = 1424.717S3 = 1749.322S4 = 1950.4121 = 8530 21.12 = 25432 32.23 = 13104 33.34 = 27220 20.25 = 24418 30.0第56页，共85页。2

18、.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network解：未知导线点个数n 1 = 3，导线边数n = 4，观测角个数n + 1 = 5 近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表中近似坐标(m)近似方位角2 (187966.645 , 29506889.655)3 (186847.276 , 29507771.035)4 (186760.011 , 29509518.179)5 (184817.621 , 29509341.465)T1 = 67 14 28.3T2= 141 47 00.5T3 = 92 51 33.8T4=

19、185 11 54.0T5 = 249 30 24.0(1)组成改正数条件方程及第3点平差后坐标函数式=3.9= -1.6cm= 1.7cm改正数条件方程闭合差项：第57页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network改正数条件方程：即：第58页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network系数阵：改正数向量：闭合差向量：第59页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Con

20、trol Network第3点坐标平差后函数式：全微分：第60页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network(2)确定边角观测值的权：设单位权中误差：根据标称精度公式计算测边中误差：测角观测值权：测边观测值权：第61页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Network(3)组成法方程：点坐标：点2：点3：点4：第62页，共85页。2.导线控制网条件方程Condition Equations of Traverse Control Ne

21、twork(4)精度评定：单位权中误差：点位中误差：权倒数：第63页，共85页。不同几何模型的条件方程Condition Equations of Different Geometrical Models1. 高程控制网条件方程 Condition Equations of Height Control Network 2. 导线控制网条件方程 Condition Equations of Traverse Control Network3. 测角三角网条件方程 Condition Equations of Triangulation Network4. 测边三角网条件方程 Condition

22、 Equations of Trilateration Network第64页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Network三角网平差的目的求待定点平面坐标平差值，并进行精度评定。三角网的种类测角网、测边网、边角同测网无论网型多么复杂，都是由三角形、大地四边形和中点多边形相互邻接或重叠而组成。仅具备必要起算数据的控制网，称为自由网或独立网。将具有多余起算数据的控制网，称为非自由网或附合网。第65页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Network三

23、角网的必要起算数据测角控制网位置元素（1个已知点坐标）方位元素（1个坐标方位角）边长元素（1条已知边长）4个两个已知点坐标第66页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Network三角网的必要起算数据测边网/边角网（1个已知点坐标）方位元素（1个坐标方位角）3个三角网的必要观测个数t测角控制网位置元素无起算数据起算数据刚够必要起算数据不够且不存在多余起算数据起算数据存在多余起算数据网中点数起算数据个数第67页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Netw

24、ork三角网的必要观测个数t测边网/边角网无起算数据起算数据刚够必要起算数据不够且不存在多余起算数据起算数据存在多余起算数据第68页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Network测角网：n=23 t=12 r=11测边网：n=14 t=12 r=2边角网：n=37 t=12 r=25测角网：n=12 t=26-4=8 r=4测边网：n=9 t=26-3=9 r=0边角网：n=21 t=9 r=12第69页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Netw

25、orkn=16，t=8，r=8n=12，t=6，r=6测角网第70页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Networkn=13t=6r=7n=12t=6r=6n=13t=5r=8n=21t=9r=12第71页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Networkn=5，t=3，r=2n=21，t=9，r=12测边网边角网第72页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Network测角网条

26、件方程的类型图形条件（内角和条件）、水平条件（圆周条件）、极条件、方位角条件，边长附合条件，坐标条件n=15 t=8 r=7一、图形条件（内角和条件）三角形内角平差值和等于180平差值条件方程改正数条件方程第73页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Network测角网条件方程的类型二、水平条件（圆周条件）中点多边形中心点角度平差值之和等于360注意:圆周条件一般只在中点多边形中出现第74页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Network测角网条件方

27、程的类型三、极条件（边长条件）注意：中点多边形和大地四边形存在极条件中点多边形：从中心点的任一边开始，依次推算其它边的长度，最后回到起始边，则起始边长度的平差值应该与推算值相等。（从极点出发各边之比为1）列立规律：列出从极点P出发的各条边之比，把边长比换为正弦的比，即可列出第75页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Network测角网条件方程的类型三、极条件（边长条件）极条件的线性化第76页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Network测角网条件方程的类型三、极条件（边长条件）极条件的线性化记忆规律Sin 变 cot分子取+; 分母取- ;常数项颠倒第77页，共85页。3.测角三角网条件方程Condition Equations of Triangulation Network测角网条件方程的类型三、极条件（边长