771多元函数的极值及其应用课件

1、7-7 多元函数的极值及其应用第1页，共39页。1复 习1. 隐函数求导公式公式法：谁看成变量.时把谁看成常量，注意求直接法：两边求导,这时若对x求导,把z看成x和y的函数2.求隐函数 偏导的两个方法第2页，共39页。2一、多元函数的极值 二、多元函数的最值 三、条件极值 第七章 第七节多元函数的极值及其应用第3页，共39页。3一、多元函数的极值第4页，共39页。4一、多元函数的极值第5页，共39页。5一、多元函数的极值第6页，共39页。6一、多元函数的极值第7页，共39页。7一、多元函数的极值第8页，共39页。8一、多元函数的极值第9页，共39页。9一、多元函数的极值第10页，共39页。10

2、一、多元函数的极值第11页，共39页。11一、多元函数的极值第12页，共39页。12一、多元函数的极值第13页，共39页。13一、多元函数的极值第14页，共39页。14一、多元函数的极值第15页，共39页。15一、多元函数的极值第16页，共39页。16一、多元函数的极值第17页，共39页。171、二元函数极值的定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点如果都适合不等式则称函数在点有极大值如果都适合不等式则称函数在点有极小值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.第18页，共39页。181、二元函数极值的定义说明：1. 从几何上看，二元函数的极大值点是其图形的局部峰点

3、，极小值点是其图形的局部谷点.2. 由定义知：极值点应在定义区域内部取得，而不能在边界上取得.第19页，共39页。19例1(1)（椭圆抛物面）例(2)（圆锥曲面）例（双曲抛物面或称马鞍面）(3)第20页，共39页。202、多元函数取得极值的条件回顾：一元函数取得极值的条件定理(必要条件)(费马定理)处取得极值设函数在点处可导，且在点即：可导函数在极值点处导数必为零.多元函数取得极值也有相似的必要条件第21页，共39页。212、多元函数取得极值的条件定理1(必要条件)设函数在点可导，且在点处有极值，则在该点的偏导数必然为零，证不妨设在点处有极大值，则对于的某邻域内任意的点都有故当时，有说明一元函

4、数在处有极大值，必有类似可证即第22页，共39页。22推广：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，驻点极值点(可导函数)均称为函数的驻点.（具有偏导数的函数的极值点才是驻点）第23页，共39页。23驻点极值点(可导函数)问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：又如,因函数在该点的偏导不存在.1.驻点2.偏导中至少有一个不存在的点.所以，xyzo如,点(0,0)是函数z=xy的驻点，但不是极值点.点(0,0)是函数的极值点.但点(0,0)并不是函数的驻点，极值点可能是：第24页，共39页。24定理2(充分条件)设函数在点的某邻域内连续，且有一阶二阶偏导数，又令则在点处是否取得极值的条件如

5、下：(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2)时没有极值；(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论.注意该定理只适用于二元函数,不能推广到三元函数.第25页，共39页。25求出在定义区域内部的实数解,求函数的极值的一般步骤：第一步:解方程组第二步:求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步:定出的符号，再判断是否为极值.得驻点.对于每一个驻点第26页，共39页。26例1.求函数解: 第一步 求驻点.得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数第27页，共39页。27在点(3,

6、0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;第28页，共39页。28例2：求函数解解方程组得驻点(1,1),(0,0)故所求函数的极值为:对驻点对驻点所以函数在 处无极值.的极值所以，第29页，共39页。29注意：(1)偏导数不存在的点也可能是极值点,不可导,则极值点可能是驻点,也可能是偏导数不存在的点.(2)驻点要同时满足:第30页，共39页。30所以，(0,0)点不是函数的极值点.又因函数处处可微，所以该函数没有极值点.例3：第31页，共39页。31例4:所以，函数不可能在原点取得极值.第32页，共39页。32解第33页，共39页。33求最值的一般方法：与一元

7、函数相类似，二、多元函数的最值求函数的最大值和最小值.为最大值，边界上的最大值和最小值相互比较，将所有驻点处的函数值及在D的如:求函数在区域上的最大值和最小值.其中最大者即最小者即为最小值.我们可以利用函数的极值来第34页，共39页。34有界闭区域D上连续函数的最值的步骤： （1）找最值可疑点 D内的驻点及不可导点边界上的可能极值点 （2）比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为所求的最大（小）值 . 求二元函数在闭区域D上的最值,值就是所求的最值.又知函数在D内可微,但如果根据问题的实际意义,知道函数在D内存在最值,且只有唯一驻点,则该点处的函数往往比较复杂.第35页，共39页。35解方程组例6解第36页，共39页。36第37页，共39页。37求出在定义区域内部的实数解,求函数的极值的一般步骤