2021年高考数学考点69不等式的性质及绝对值不等式必刷题理含解析

1、考点69不等式的性质及绝对值不等式1 .选修4-5 :不等式选讲已知函数.(1)求关于卜的不等式 口)成立，求实数d的取值范围【答案】(1)不| (2)46呜工解析】由题意得%)=I黑11十|1| + k+L| =3xr工31,出小仁：；7K公解得-2 x0,使得火打二瑞+-( 0)成立,等价于/。)必。 (配+三)m2萧0由(1而f。0=2,当0时，或#=芯+.3之事降L = 3月*-1-6* 口,1八n 乩孙% 3三旦仪当q二 j 即当 二 ,等三成所以Y 4解得出工罟,故实数口的取值范围为2 .(您修4-5 :不等式选讲)111+ -T + -之 3 ,求证：2a 3b 1c已知函数 f

2、=|r| - |x-3|(xe fi)|.(2)设口，b, ceRa,且2口 + ?8 + 4匚=小【答案】(1)m=3;(2). 2g 十：拈 4c = 3(凡b,c 0),11f 111 十 (2口 + 油 + 4c) | H十4$ 32a 3b 4。11 I + 十 丁= J 即.?_ 1。 4时取等号* ,(1)求证:(2)求函数f xab bc acb3 x - a3a 一的手点个数.c-3,x 0【解析】(1)由r0)= 2jt - 3,0 32)： .-2tr + 3I?4 4c = 3(tijc 0ij .+ 3+j 口 4 3b + 4u(G 十4j)= * + (三+今+

3、+ )+ (要十贵n3.当且仅当然= 33 = 4)即ti=；j=泗取等号上即土+ 1 +工上3.2a 加 4r【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由柯西不等式得号由C1；知J= b = e时，A=0,此时与刈仅有一个零点f当a K已不全相争寸J &C止恒寸/I零点个数为。解析！（1）由柯西不等式得ifc3口3 1十 + I + D C + (1C abc .1z 2 l2 小 b3 * ，旧十二十11 c +5 + 4 ) n + + 之。 b c口6 4- hr + 也 TOC o 1-5 h z t_2 J当且仅当r二J二即门二b二匚时，取等号.b*b* c* t

4、 -弓r.1h?-I2)时于二次图教/(#),= 4(crW + J) -4(帚+/一的)；一+-+一 LI abcJ由U）知，口 =*= 时，A = Oj此时力仅有一个零点;当m b、亡不全相等6寸，A0,此时外句零点个数为0.4 .设函数/=121-l|.（1）设联防+/5 + 1）道的解集为匡求集合A；1-a 1 -b 1 =匚口 m 口1 1a * A g（2）已知旧为（1）中集合力中的最大整数，且十%+ c = m （其中口.也工为正实数），求证：a b cr（5siA = x x-【答案】（1）1*；（2）见解析解析】1) /(x) + r(r + 1) w2x - 1| + |2

5、x + 1| 5当工 -，寸,不等式化为 l-_2r-l x 0是不等式的解；2当0 x 1时，不等式为1 x x 4,即1 4恒成立， 0 x 1是不等式的解；3当x1时，不等式为x 1 x 4,即x 3,231 x 一是不等式的解. 233综上所述，不等式的解集为(1) x| 士 x 3 .22(n)由(a-b)“N4(ab)得；一一一；4ab.fl 1V 41即；_ + _ _-4ab,从而曲+交2；苜ab=l时取等号， ab9.选修4 5:不等式选讲已知函数f x x 2 .(I)解不等式：f x 1 f x 2 4;(n)若x R,使得f ax a f x 4成立，求实数a的取值范围

6、 TOC o 1-5 h z 33【答案】(1) x| - x -.(1 a 322【解析】f x 1 f x 24,即 |x 1 冈 4,3当x 0时，不等式为1 x x 4,即x -,2f 2) vA)= |aT-2|+|fl| ,卜 - 2 .C A.V-2 + 2Z7-zir|=|2fl - 2| j/( m川如/(x)的最小值为口日-1又各毛&,使得/)+同/(万)W4成立j .|2f?-i| DR川工 + 2| 0）二口 + 2b + 翳=（口 + 2b + 3cq + 卷；蒙=3 +宓u 2b a 3c当且仅当日二*=箝即门=35=三5 = 1时取等号方法2n.4 = 1 （fl

7、, ft, r 0），由柯西不攀式得3二行七十 V%之整理得曰+ 2fr + 3c 9时取等号当且仅当12.选修4-5 :不等式选讲若不等式出+ 2|-2一？|口|方+ 2| + |2-5|对于任意bwR都成立.(1)求口的值；茨-+ ,1- 1(2)设4 y0,求证：/-Zry+j/ .【答案】(I ) 0=4 (II)详见解析【解析】试题分析(I)由绝对值三角不等式可得巾+ Z| - |Z-例M M + 2 - 2-川二4.4 = | + 2 + 2 - 2| + 2| + |2 - b|, 314 a 4,因此口 =4,当且仅当匕=2取等号利用基本不 等式证明不等式，关键在于所：2万十陵

8、,1 = a 一对+泛一田+展三3)*一卅 飞一4. 士 = %即得结论试题解析：CI)解；| + 2|-|2-&|? + 2 4 2 -| = 4,当且仅当勤之2时等号成立，4=|h+2 + 2-|p+2|+|2-bb当且仅当一2 MbgZ时等号成立，7对任意实数b,不等式|& + 2|-|b-2|ayf (#) + (-y) + V万-3加-力-J -，日7=3r当且仅当x =) + 1时等号成立；/2 2y 3,艮1212y H, fl L./x-2xyy2.选修4-5不等式选讲已知瞋常数，对任意实数4,不等式Im2rlM口1与十II十自7|都成立.【答案】（i） 口=3； （n）见解析

9、【解析】(D |x+l|-|2-| |i + l + 2-r| = 3,3 = |i + L + 2-iJ 3,f r英=力I Hi = n *. (m n) + (m n) + :7 W 3 (m- k)(wi n)艮12m H=之2麓+ 口(10 分)m1-1rnn.4nH.已知函数於;:臼（I）解不等式：/士陵-M；（n）当史Z-1时，函数阴X）=/l（冷+忧-加的图象与卜轴围成一个三角形，求实数 0的取值范围, K4 u-1)【答案】(I) 1-4-划 uZ + 5)；(II)2 )【解析】（I）由题意知，原不等式等价于； x -1 Jl I2x 25 之 112K 十 2 5 之 1

10、 一1 l2工十 2 5 之工一1 解得工 2f综上所述不等式fG) k- 1的解集为一 s,2-切一(U)当m = 一寸J 则gCO= I2x + 2| - 5 + |x + 11 =3lx + 11- 5,此时以灯的图象与碍山围成一个三角形,涧是题意：j -31 + m-7.xs-l当？n 一如寸j gQ) = |2a +2| - 5 + |x - ?i | =卜 + m - 3, -1工 w m j(3a - jn - 3, i ;n则函麴且在f.-1)上单调递机 在(-L +向上单调递增.要便函娄如的图象与工轴围成一个三角形,叱媪黑土综上所述,其毅阳的取值范围为白4)U -居.已知函数

11、 O = |3jt+2|.(1)解不等式 t)(2)已知m + m=l(m=H0).若m n,恒成立，求实数值的取值范围 TOC o 1-5 h z 5110,( - - )(0 ,【答案】(I)42；(n)丹【解析】(.1)解：不等式度国4-“可化为：|3r + 21+r- 1|4V m 5 2当 ,时，式为-&-2-H+154,解得4,；2I 21当3，式为包+2-工十工 1时，式为：钮+ 2+-1 4,无解.综上所述，不等式， 4 - |不一 1|的解集为(一 解；=冗)=2+十1之4与 g() = x-a1- f(#)=区 一 口| 一 3* + 2 =，工=一浊g2 = 口甘要使不等

12、式恒成X,只需gOJmdK =二/口且4f*,女教/取值姐围是(0,争. ?)2x 2 a f x a靠 0 4 ci M V(2)由 C1)知0 a 2 TOC o 1-5 h z 因为口- -G+ 1-=，d口口当Q n I时,10j 所以屋一口 十 1 13*)=眄所以二-口 + 1 = ) a中当时，nd + G0j所以小自+ 1 = a口综上所逑1当。1时,-fl4 1 a当口二1时，江二一 tr + L =二； 口当I 门二.q17.已知函数 )=卜+ 1|+烂工+叫若的最小值为1.(1)求实数的值;(2)若口 0,且成n均为正.实数，且满足 2|,求m +门的最小值.【答案】(1

13、) 口二殳(2)瓦【解析】11)麻正区+订+1 +同当口二时，即fx =?a2x + a - Ip x 一3-lx + & + L - 1 v jc则争=-声寸 p f mln = T - 1 一口 二 1，二口 = 6.14彳1 小注三1当口 3时，即_ /W = J-2r- n + l,-l j: /(-2)则当工=-争寸En = 4(U)+十31 /.a = 0.当 ti = 301,即一1 =-匕/G) = 4 |x + 113当耳=一不寸,/()仙口 = o不再足题意.踪上门=口或0 - 6 .(2)由题意如，血一儿二m 0? n 0,，(m +置尸=m2 + n= + 2mn 7(

14、m + n)=,Im = rt - 当且仅当*时取“=”，22 9m + n - ?9|.陋) + /的最小值为218.设函数/三IH,必)二W.(1)解不等式(2)若2f8)+血冷口父+ 1对任意卜七/?恒成立，求实数 a的取值范围.1(?2)1.1【答案】(1) T(2) -4,1)【解析】(1)不等式7(工) SO即为|2工-2| 国.则(2工一产我工一即(2工-疗-/ 0,故有 0工一2)3一2)0,解得；-Y2 .则所求不等式的解集为后，). *(2) 2/(x) + tf(r)= 2|jc|+|2x-2|当土生(M寸；只需不等式一2艾2x P 2、曰出+ 1怛成立，艮|1日艾 一4

15、十三!成立j此时口 N 一4.当。 工 1时，只需不等式2万2,1恒成立j即口 :恒成立，可得口 时)只需不等式2工+2工一2 二门工十恒成立;即口 4 -3亘成立?可得口 。，不等式又可恸Q0或J；。解得%泛-1 1.所以不等式，(工41) 疗任+ 3)的解集为GT - L 十口)一(2)设&(*) = f(x + 3+f(x)-.则= k - 2| + |x + 1| - 2a.因为I，一 2| + (x + l)-2a3-席当且仅当工e 一 L2JB寸取等号,所以h向 = 3-20.因为函数9晨)=1邛：/(工+ 3)+/W - 2句的值域为比BrOffa + 3)+f(x) -2a 0

16、有解，即反一2| 十 比 + il w 2tL因为|超一 2| 4汉+ 112 3P所以励之3?即门所以实数确取值范围是区+村20,已知，二|2%-3|十口工-6 (a是常数，口 ER).(i)当里三1时，求不等式/也)2的解集；(n)如果函数V = /i?)恰有两个不同的零点，求 a的取值范围.【答案】(I) |工23或-3(11)1-2,2)1 TOC o 1-5 h z 【解析】 733算932彳 f(x) = |2x-3| + x- 6彳I 3 XfX. V (I)当口二 1时，I2I I X1 I _则原不等式等价于 -AO或37，解得.Q?或Y-3,则原不等式的解集为31N 3翰W

17、 -3令卜=|2x-3b y =供+ 6乍出它们的图象；可以知道，当-2 口 2时，这两个函数的图象有两个不同的交点j所以四锵二出怡有两个不同的零点时，a的取值范围是（T2）.21.设函数f= |r-可十2/其中a。（1）当日=R时，求不等式/（工）之勿+ 4的解集；（2）若不等式附好的解集为国空二引，求a的值。【答案】（1）占了或”；卜二7。【解析】（1）当区三时，（22N+4可化为七3|二4, 所以”花-4或.3，解得卜上 口或工27,故不等式/W+4的解集为益工土 1成工二”.（2）由月劝0,得1上皂%, I 1（ 工珥此不等式等价于上二1十自V。或5- +2三口,_声2 口.因为幺理，

18、所以不等式组的解集为 肛卜一封， 故不等式改人的解集为由题意得一二=2, 解得& 二2 .已知函数，（公二 |x-3|-2,矶，）=-|工 + 1|+ 4.（i）求不等式画Mj的解集;（2）若不等式汽幻-。（0之巾+1的解集为R,求阴的取值范围.【答案】（1）2的取值，范围是忖向； W的取值范围是（-00.-31.【解析1 （1）原不等式即为“工）=|r-3|-2 1,-|a-3| |（3 - x） +1）| = 42当且仅当（3-丈）口 +D N Op即T s X 那寸等号成立.|x - 3| + lx + 1| - 6 29由题意得出一1V -乙解得m三一3）二m的取值范围是（一8，- 3

19、1.若直线J： - y 2（a 0,b 0）经过点（2,4）,则a b的最小值是 . a b【答案】3 2 2【解析】由题意得1 212c 2abec 2ab2ab口厂& 1 a b a b - -3-3 2#3 2V2当且仅当即a babbabab ab J2a时等号成立，即所求的最小值为3 272 .24.若直线底+坡二1| （4都是正实数）与圆 巴应三1相交于两点，当（0是坐标原点）的面积最大时，口 +”的最大值为.【答案】2E解析】根据题意画出图形，如图所示:由的面积为河得2d工。日为直角三角形，= 901则点。到直线皿的距离为容却d = -U=二=M +犷=2,那么只有当且仅当出二曲=1时,n + b职最大值工25.已知平面向量$忌:满足L 0$二八=1, *2 = 2,则值+ +3的最小值是.【答案】4【解析】不妨设“ 二 (1,01方二O卜立 2 =(凡 则m=1, p=2,J3 = 2 + Mg=l5l=-l，I - p -Ifl= B = (