2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：热点探究课6概率与统计中的高考热点题型

1、热点探究课(六)概率与统计中的高考热 点题型命题解读1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容， 处理问题的方式、 方法表达了较高的思维含量.该类问题以应用题为载体，注重考察学生的应用意 识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其 中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列与组合是进展概率计算的工 具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析的考察.3.离散型随机变量 的分布列及其均值的考察是历年高考的重点， 难度多为中低档类题目，特别是与 统计内容渗透，背景新颖，充分表达了概率与统计的

2、工具性和交汇性.热点1统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出 估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考察， 考察学生的数据处理能力.卜例近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为了解“三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进展了问卷调查，得到了如下的列联表：患“二高疾病不患“二高疾病总计男630女总计36请将如图的列联表补充完整；假设用分层抽样的方法在患“三高疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？(2)为了研究“三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量声“三高疾病与性别有关.卜面的临界

3、值表供参考:P(i)X022n ad bc.、(参考公式 x= 2K 2c ri , 其中 n = a+b+c+d) a+b c+d a+c b+d【导学号：57962479】解(1)完善补充列联表如下:患“二高疾病不患“二高疾病总计男24630女121830总计3624604分一一 .91在患“三高疾病人群中抽9人，那么抽取比例为36=436 4 1,所以女性应该抽取12X4=3(人).(2)根据2X2列联表，那么，的值10分12分2 60X 24X186X12 2*=30X 30X36X 24 =107.879.“三高疾病与性别有关.规律方法1.将抽样方法与独立性检验交汇，背景新颖，求解的

4、关键是抓住统计图表特征，完善样本数据.2. (1)此题常见的错误是对独立性检验思想理解不深刻，作出无关错误判定.(2)进展独立性检验时，提出的假设是两者无关.对点训练1柴静？穹顶之下？的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活泼起来， 某研究机构对春节燃放烟花 爆竹的天数x与雾霾天数y进展统计分析，得出下表数据：x4578y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程v= bx+ a；(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为 9的雾霾天 数. n ,_. P/iyi n x y_

5、相关公式：b = -n, a = ybx一 c c百x2 n x2解(1)散点图如下图.(2)xiyi = 4X 2+ 5X 3+ 7X 5+ 8X 6= 106,4+5+7+ 82 + 3+ 5+ 6x =4=6，y=4=4,442 = 42 + 52 + 72 + 82= 154 , 6分4耳iy4x y 106-4X6X4那么 b=-42- = 1；2-2154-4X62山1xi 4 xa= y bx=4 6= 2,故线性回归方程为y= bx+ a=x2.(3)由回归直线方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为 9的雾霾天数为7.12分热点2常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与

6、互斥事件的概率是高考的热点， 几何 概型主要以客观题进展考察，求解的关键在于找准测度 (面积、体积或长度)；相 互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考察， 也是进一步求分布列、均值与 方差的根底，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰中选择概率 公式.例因 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃 圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000吨生活垃圾，数据 统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾箱“可回收物箱“其他垃圾箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾2020

7、60(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率.解(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾箱里厨余垃圾量4002厨余垃圾总量400+ 100+1003(2)设生活垃圾投放错误为事件 A,那么事件A表示生活垃圾投放正确.事 件反的概率约为“厨余垃圾箱里厨余垃圾量、“可回收物箱里可回收物量 与“其他垃圾箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(7)约为400+240+ 60不丽一=0.7,所以P(A)约为1 0.7 = 03规律方法1.此题求解的关键是从图表中提炼数据信息，理解第 (1),第(2) 问的含义.2.第(2)问可直接求解，也可间接求解，即求垃圾投放正确的

8、概率，然后通过1 P(A)求解.对点训练2现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可 供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自 己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人 去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X, Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 上X Y|,求 随机变量己的分布列. TOC o 1-5 h z 1，解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ,，去参加乙游3.，一一_ , 2.戏的概率为3.2

9、分3设”这4个人中恰有i人去参加甲游戏为事件Ai(i = 0,1,2,3,4).那么P(Ai)i 1i 2 4-i八= C4 3 34分(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率2 1 2 2 28八P(A2) = C4 3 3 =276 分(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数为事件B ,那么B = A3 + A4,且A3与人4互斥，7分所以 P(B)=P(A3+A4)=P(A3)+P(A4)1- 9 =41-3十2L331-304-分00依题设，士的所有可能取值为0,2,4.且Ai与A3互斥,A0与A4互斥.8那么 p（土o）=p（A2）=：27，P(卜 2) = P

10、(Ai + A3)= P(Ai)+ P(A3)3+ c4 33*3=4081，P( 4) = P(A。+ A4) = P(Ao) + P(A4)=消434T.10分所以己的分布列是024P8401727818112分热点3离散型随机变量的均值与方差（答题模板）离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均 有解答题，属于中档题.复习中应强化应用题的理解与掌握， 弄清随机变量的所 有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率确实定与转化是解题的根底，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的标准性训练.卜例同（本小题总分值12分）（2021河北名校联考）甲、乙两

11、人进展围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛， 假设赛完5局仍未出现连胜，那么判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为2,乙获胜的概率为，各局比赛结果33相互独立.（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求 X的分布列和均值（数学期望）.【导学号：57962480】标准解答用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛，Ak表示“第k一“一-21局甲获胜，Bk表小“第 k 局乙获胜，P(Ak)=a，P(Bk)=a，k=1,2,3,4,5.332分(1)P(A) = P(AiA2)+ P(BiA2A3)+ P(AiB2A3A4)=P(Ai)P(A2)+

12、 P(Bi)P(A2)P(A3)+P(Ai)P(B2)P(A3)P(A4)2 21 2 22 1 2 2 56=3 + 3 3 + 3 3 3 =8?(2)X的可能取值为2,3,4,5,P(X = 2) = P(AiA2) + P(Bi B2)= P(Ai)P(A2)+P(Bi)P(B2)P(X= 3) = P(B1A2 A3) + P(A1 B2B3)=P(Bi)P(A2)P(A3)+P(Ai)P(B2)P(B3) =1 2 22 1 2 23 3 + 3 3 =9，P(X = 4)= P(A1B2A3A4)+ P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) + P(B1

13、)P(A2)P(B3)P(B4) =2122+12 32 瑞8 P(X= 5) = 1 P(X = 2) P(X= 3)- P(X = 4) =81.4分5分7分8分10分故X的分布列为X2345P5210899818111分EX= 2X5J+ 3x9+ 4x81+ 5xJL=？8：4.12 分答题本K板求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值.第二步：求第一个可能值所对应的概率.第三步：列出离散型随机变量的分布列.第四步：求均值和方差.第五步：反思回忆.查看关键点、易错点和答题标准.温馨提示1.(1)求解的关键在于理解“甲在4局以内赢得比赛的含义， 进而将

14、事件转化为“三个互斥事件的概率和.(2)第(2)问中利用对立事件求P(X= 5)的概率.步骤要标准，善于进展文字符号转化.如第(1)问，引进字母表示事件，或用文字表达正确，得 2分；把事件拆分 成A=A1A2 + B1A2A3 + A1B2A3A4,就得2分，计算概率值正确，得 1分.第(2)问 求出X的四个值的概率，每对一个得1分，列出随机变量X的分布列得1分.解题过程中计算准确，是得总分值的根本保证.如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否那么不得分，分布列中计算 四个概率的和是否为1,假设和不为1,就有概率值出现错误了，不得分.对点训练3某网站用“ 10分制调查一社区人们的治安满

15、意度.现从调 查人群中随机抽取16名，如图1茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点 前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶).7 3 0R 6后冉67TER999 7655图1假设治安满意度不低于9.5分，那么称该人的治安满意度为“极平安.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极平安的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据， 假设从Ig社区(人数很 多)中任选3人，记X表示抽到“极平安的人数，求X的分布列、均值与方差.解(1)设A表示所取3人中有i个人是“极平安，且i ”极平安记为 事件A,那么A= A0 + A1,所以 p（A）=p（A0）+p（A1）=C2+Cc

16、C4=121.（2）由茎叶图可知，16人中任取1人是“极平安的概率411p=16=4，依题息，xb 3, 4，那么 P（X=k）=c31 4, k=0,1,2,3.所以 p（x=0）= 4 =64，1 13 2 27p（x=1）=c3x4x 4 =64，212 3 91 31P（X=2）=C2X 4 X4=64, p（x=3）= 4 =64.10分12分X的分布列为X0123P2727_9164646464八 2727913EX= 0 X 64+1X64 + 2 X 64+ 3 X 64=4.或 EX= np=4.119DX=np(1-p) = 3X4X 1-4热点4概率与统计的综合应用概率与

17、统计作为考察考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键, 复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此根底上掌握 好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算.例 (2021济南调研)2021年底，某城市地铁交通建立工程已经根本完成, 为了解市民对该工程的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取假设干市民对该工 程进展评分(总分值100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为 四个等级：满怠度评分60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不泓忠根本泓忠酒思非常泓忠满意度

18、等级为卞g本满意的有680人.(1)假设市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度.现 从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；1(2)在等级为不满意市民中，老年人占 1.现从该等级市民中按年龄分层抽取315人了解不满意的原因，并从中选取 3人担任整改督导员，记 X为老年督导员 的人数，求X的分布列及数学期望EX;(3)相关部门对工程进展验收，验收的硬性指标是：市民对该工程的满意指数不低于0.8,否那么该工程需进展整改，根据你所学的统计知识，判断该工程满意程度的平均分能否通过验收，并说明理由.注：满意指数=图2解(1)由频率分布直方图可知那么 10X (0.035+

19、a+0.020+ 0.014+ 0.004+ 0.002)= 1,所以 a= 0.025,1 X10 = 4.又市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率p=i-c4 4 4 -c4 4 3 =1259=悬.4分 256 256按年龄分层抽样抽取15人进展座谈，那么老年市民抽15X1 = 5人， 3从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为 C35,由题知X的可能取值为0,1,2,3,C30 24P(X=0户C5=赤C5C20 452=百C2c1。20C52P(X=3)F=彳,X分布列为X0123P2491459120912912445202所以 ex= 0 x 91+1 x 91+2x91+ 3x 91=1.(3)由频率分布直方图，得(45X 0.002+ 55 X 0.004+ 65X 0.014+ 75X 0.02+85X 0.035+ 95X 0.025) 乂 10= 80.7,所以估计市民满意度程度的平均得分为80.7.因此市民满意度指数为 错误！ =0.8070.8,12分所以该工程能够通过验收.规律方法1.此题将频率分布直方图结合古典概型与均值，立意新颖、构思巧妙.考察学生的识图能力和数