直线的倾斜角与斜率知识点及练习

1、直线的倾斜角与斜率自主归纳、自我查验1、自主归纳（1）倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，与直线1 方向之间所成的角 a叫做直线1的倾斜角。（2）倾斜角的取值范围当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0。因此，直线l的倾斜角a 的取值范围为（3）斜率的定义我们把一条直线的倾斜角a的 叫作这条直线的斜率，通常用小写K表示，即k=tan a倾斜角为90。的直线没有斜率。（4）过两点的直线的斜率公式过两个定点P (x ,y ) , P (x ,y )的直线：k = 2一匕3。x ) TOC o 1-5 h z 111222x X 12（5）.两条直线平行与斜率的关系a对于

2、两条不重合的直线l，1，其斜率分别为k、k，有l l。k1=k2.121212-b如果直线l、l的斜率都不存在，并且l与l不重合，那么它们都与_x轴垂直，故 ll.12（6）两条直线垂直与斜率的关系a如果直线l、l的斜率都存在，并且分别为k、k，那么l Ll。k1k2= 1b如果两条直线L、l2中的一条斜率不存在，另 _垂直 .个斜率是零，那么七与l2的位置关系121212 自我查验（1）判断正误 TOC o 1-5 h z 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率。（X）直线的倾斜角越大，其斜率就越大。（X ）直线的斜率为tana，则其倾斜角为a。（ X ）（2）已知直线l的倾斜角为a-15

3、，则下列结论中正确的是（D ）A. 0Wa18015a18015Wa18015Wa195（3）.有以下几种说法：（l、l不重合）若直线l，l都有斜率且斜率相等，M l ;若直线ll：，则它们的斜率互为负倒赛；2两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；只有斜率相等的两条直线才一定平行.以上说法中正确的个数是（B ）1 B. 2 C. 3 D. 0二、典型例题题型一、求直线的倾斜角例1、若直线l过原点和（-1,1）,则它的倾斜角是（）A.45B.135C.45 或 135D.-45破题思路：作出直线l的图像，根据图像得答案答案：B方法与规律：主要考察对直线倾斜角的理解和图形的结合，由点的坐标来计算

4、倾斜角的大 小。变式训练：设直线l过原点，其倾斜角为a,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45,得到直线11，则11的倾斜角为（）A.a+45 B. a-135C.135 -aD.当 0Wa135。时为 a+45 ;当 135Wa180。时为 a-135破题思路：由倾斜角的定义与倾斜角的取值范围可得。答案：a范围不定，分两种情况讨论可知，选D方法与规律：本题需注意倾斜角的取值范围，不然易错选成A。题型二、求直线的斜率则直线l的斜率为（）2v3CTv3d.- 3例2、已知直线l的倾斜角a=30A. ：3B.-、3 破题思路：由l2 l1，知12的倾斜角为120，所以l的斜率为tan120 =r3

5、答案：B方法与规律：对求解直线的斜率的考察变式训练：已知坐标平面内 ABC的三个顶点坐标分别是A（-l，l），B（1，1），C（1，-1），求直线 AB，BC，AC 的斜率。破题思路：已知点的坐标可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标 是否相等。1 1 1 1解析：直线AB的斜率k=0，直线AC的斜率k= =-11 一（一1）1 一（一1）,/B，C两点的横坐标相等.直线BC的斜率不存在方法与规律：当两点的横坐标相等时直线斜率不催在。错例分析：数形结合的应用例3：直线1过点p（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，求直线1的斜率和倾斜角的范围。破题思

6、路：运用数形结合的思想求解。 03 0解析：AP斜率K=1，BP斜率K= = v 3 10 1.kWf 3 或 kN14 5WaW120易错分析：本题易忽略斜率不存在的情况，易错解为-。3 WkW1应用体验1、直线x= 1的倾斜角和斜率分别为（） A.45，1答案：CB.135，-1C.90，不存在D.180，不存在2、若过点M（-2,0），N4）的直线的斜率为-1则 a=()A.-8答案：BB.10C.2D.43、若 A (-2,3)，B (3,-2),C（号，m）三点共线，则m的值为（）1B.- 21A 2答案：A4、已知两点A （-3,4）， 的斜率k的取值范围. 答案：kW-1或kN3

7、C.-2D.2B（3,2），过点 P（2-1）的直线l与线段AB有公共点，求直线l5、已知实数x，y满足y=-2x+8，且2WxW3求的最大值和最小值.x2答案：最大值为2，最小值为3 .复习与巩固一、选择题.1.（2014 -上饶高一检测）直线l的倾斜角是斜率为；的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率 为（A.1【解析】选B.因为tana=：，0故 2a=60，所以 k=tan60 = .故选 B.Wa 180，所以 a=30，2.(2014 新余高一检测)若 A(3，-2)，B(-9,A.1B.-1C.04)C（x，0）三点共线D.722则 x=()1kAC=乂- 3，令乂- =-2 得 x=-

8、1【解析】选B.利用任意两点的斜率相等，kAB=-23 已知三点 A（1-a，-5），B（a，2a），C（0，-a）共线，则 a=.【解题指南】当三点共线时，若直线斜率存在，则kAB=kBC，若斜率不存在，则三点横坐标 相同.【解析】当过A，B，C三点的直线斜率不存在时， 即1-a=a=0，无解.当过A，B，C三点的直线斜率存在时，有(二) 2 a-(-a)则 kAB三一，1 * =kBC=,12.3+5-即3-=3,解得a=2.综上，A, B, C三点共线，a的值为2.答案：2(2013 济南高一检测)直线l过定点C(0, -1),斜率为a且与连接A(2, 3), B(-3, 2) 的线段相

9、交，则a的取值范围是()A.-1, 2B.(-8, -1 u 2, +8)C.-2, 1D.(-8, -2 U 1, +8)【解析】选B.直线l过定点C(0, -1).当直线l处在AC与BC之间时，必与线段AB相交，3.+ 12.+ 1应满足aN 2或aW-；，即aN2或aWT.(2014 济源高一检测)直线l经过A(2, 1), B(1, m2)(mR)两点，那么直线l的斜率的 取值范围是( )A.1,+8)B.(-8,+8)C.(-8,1)D.(-8,1【解析】选D.由于直线l经过点A(2，1)，B(1，m2)(mGR)，根据两点的斜率公式可知： m3-lkAB= 1=1-m2,因为 mE

10、R, m2N0,所以-m2W0,即 1-m2W1,则有 kABW1,所以直线l的斜率的取值范围是(-8,1.二、填空题.(2014 扬州高一检测)若直线(a2+2a)x-y+1=0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是 【解析】因为直线(a2+2a)x-y+1=0的倾斜角为钝角，所以k=a2+2a0, -2a0.答案：(-2, 0)(2014 铜川高一检测)若直线的斜率为k,并且k=a2-1(aER),则直线的倾斜角a的范围 是.【解析】因为a2-1N-1，即kN-1.所以l的倾斜角a的范围是0Wa90。或135Wa 180 .答案：0Wa90 或 135Wa1801 1 若三点 A(3, 3)

11、, B(a, 0), C(0, b)(ab/0)共线，贝胆+b=.【解析】由于点A, B, C共线，则kAB=kAC,0-3 b-3111所以； = ：-；.所以 ab=3a+3b.即二 +：=.答案：:三、解答题.(2014 南昌高一检测)过两点M(a2+2, a2-3), B(3-a-a2, 2a)的直线l的倾斜角为45, 求a的值.【解析】由题意得：直线l的斜率k=tan45 =1,2a- a3 +3故由斜率公式得k三-：-二-1，解得a=-1（舍去）或a=-2.10已知直线l的倾斜角为30，且过点P（1，2）和Q（x，0），求该直线的斜率和x的值.【解析】该直线的斜率扼k=tan30

12、=；.又 l 过点P（1，2）和 Q（x，0），2-o Va厂则 1-:;二：，解得 x=1-2、I11.从M（2, 2）射出的一条光线，经x轴反射后过点N（-8, 3），求反射点P的坐标.【解题指南】根据入射光线与反射光线之间的关系，找到直线MP与NP的斜率间的关系即可.【解析】如图.设P（x，0），因为入射角等于反射角2 a所以 kMP=-kPN，即解得x=-2，所以反射点P（-2, 0）.B组一、选择题.关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是（）所有的直线都有倾斜角和斜率所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率直线的倾斜角和斜率有时都不存在所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角【解析】选B.

13、当直线的倾斜角为直角时，不存在斜率.但所有的直线都有倾斜角，故选B.12.（2014 商洛高一检测）已知直线l过A（-2，（t+】）2） 率和倾斜角分别为（）A.1，135C.-1，135B.-1，-45D.1，45B(20矛世专户【解析】选C.因为k=-1所以直线的倾斜角是钝角，又tan45 =1,所以直（t-：）2）两点，则此直线的斜线的倾斜角为180 -45 =135 .3.（2014 西安高一检测）直线l经过A（2, 1），B（1，-m2）（mGR）两点，则直线l的倾斜角 a的范围是（）A.0WaW45B.90 a180C.45Wa90D.90 aW135L+m3【解析】选C.直线l的

14、斜率k=tana= =m2+1N1，所以45Wa90.1 14若ab0，则过点P（0，上）与Q（I 0）的直线PQ的倾斜角a的取值范围是.【解析】因为kPQ二一-=，又因为ab0，所以kPQ0.所以a为钝角，即90 a 180 .答案：90 a 0，若为钝 角，则k0，根据斜率公式得kAB二二二二0， 所以a1；同理，当倾斜角为钝角时，kAB0，-0，所以a7 时，；-0,即 k0, 0 a90；1当 m7 时，】二-0,即 k0, 90 a180 10已知A(2, 4),B(3, 3),点P(a, b)是线段AB(包括端点)上的动点，试结合斜率公式|血一戏b-lk=W T- (x2/x1).

15、求二的取值范围.b- 1【解析】设k二T，则k可以看成点P(a, b)与定点Q(1, 1)连线 的斜率.如图，当P在线段AB上由B点运动到A点时，PQ的斜率 由kBQ增大到kAQ,3141因为 kBQ= =1, kAQ=-1=3,b-1所以1 WkW3,即土-二的取值范围是1, 3.C组已知 A(m,3), B(2m, m+4), C(m+1,2), D(1,0)，且直线 AB 与直线 CD 平行，则m 的值 为( )A. 1 B. 0C.0 或 2D.0 或 1解析：D 当AB与CD斜率均不存在时，m=0,此时ABCD，当kAB=kCD时，m=1,此时 ABCD. 若直线11、12的倾斜角分

16、别为a1、a2，且1112，则有()B.a2a1 = 90D.a1+a2 = 180A.a1a2 = 90C. |a2a1|=90解析：C顺次连接A(4,3)A.平行四边形C.等腰梯形解析：B kAB=kDC,二、填空题如果直线11的斜率为a,11L12，则直线12的斜率为.B(2,5)B.D.解析：-或不存在C(6,3), D( 3,0)所构成的图形是()直角梯形以上都不对kAD/kBC, kADkAB= 1,故构成的图形为直角梯形.5直线11, 12的斜率k1, k2是关于k的方程2k2 3kb = 0的两根，若1112，则b = ；若1112，则 b=.9b解析：2 若 1112，则 k

17、1k2= 1,Ab = 2.829 若 1112，则 k1=k2,A=9+8b = 0,b=一打.86已知直线11的倾斜角为60，直线12经过点A(1, 由)，B( 2,2*),则直线11, 12的位置关系是解析：平行或重合 由题意可知直线11的斜率k1 = tan 60=3,直线12的斜率k2 = _2。一耳，因为k1 = k2，所以1112或11, 12重合.2 1三、解答题7.已知 ABC的顶点坐标为A(5,1), B(1,1), C(2, m),若 ABC为直角三角形，试求m 的值. 1 11 , 1 m m+1解 kAB= , kAC= ,512523kBC =m 12 1=m1.若ABAC，则有一?乙=1所以m=7.若 ABXBC，则有一?(m1)= 1, 乙所