四章节群论在固体物理中应用教学课件

1、第四章 群论在固体物理中的应用 在固体物理中，对晶体的研究占据了相当大的比重。晶体：“三维空间中的一种规则排列无限重复的原子、分子、离子或原子集团的集合”。晶体具有高度的对称性，从而形成了一系列对称群、对称群对晶体的能级分裂，能带形成等起主导作用。第1页，共51页。4.1 点群晶体的对称性可以用三种形式的几何变换或操作描述：其中，反演+（真）转动 非真转动（转反轴）第2页，共51页。例： n重旋转轴 ，n为某些整数 n=4对称性的阶等于4=h（即对称群的阶）对称面 ODCABC4 h=2 第3页，共51页。对称中心旋转反演轴（转反轴） 旋转和反演的复合操作A是A的转反像以上四种对称要素相应的操

2、作中，空间中至少有一个点保持不动。 对称中心OABA第4页，共51页。定义：由真转动和非真转动的各种组合都可保持一个点（原点）的位置不动，称之点群操作，它们的集合称为点群。定义：由平移操作和点群操作的各种组合叫作空间群操作，它们的集合称为空间群。注意：严格讲：空间群操作，空间每一点都要动，因此，空间对称操作只有对无限延伸的物体才能进行。 一般采用周期性边界条件解决此类问题。 第5页，共51页。4.1.1 晶体点群的对称操作晶体具有平移对称性，因此，晶体中的点群操作受到严格限制。晶体中的真转动是绕某一轴正向（逆时针）转动某一角度。 即 =360，180，120，90，60以及它们的组合： 240

3、，270，300。 证明 n =1,2,3,4,6A和B是 （晶格常数）方向上的两点阵设绕A点转动角，则B点转到B点设绕B点转动角，则A点转到A点AABB第6页，共51页。转动后原子点阵应重合，故 是一点阵矢量即： ，m整数由图可知： ，n=1,2,3,4,6在非真转动中的角度转动部分也是如此。 第7页，共51页。4.1.2 立方晶系的群（Cubic Crystal System）立方晶系的群T群（T，Td，Th）O群（O，Oh）1、O群（Octahedron Group) 正八面体群对称元素：3个四度轴：x,y,z轴4个三度轴：oA1，oA2，oA3，oA4轴6个二度轴：oa，ob，oc，o

4、d，oe，of不变操作xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef第8页，共51页。总操作数为: 33（四度轴有三个操作）=9 42（三度轴有二个操作）=8 61（二度轴有一个操作）=6 不变操作 =1 共有24个真转动操作。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef1C1，不动，群元E第9页，共51页。6C 2，绕对边中点连线转动180o（2-度对称）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第10页，共51页。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第11页，共51页。8C3，绕对角线转动120o 和240o （3-度对称）xyzA1A8A7A6A5

5、A4A3A2oabcfdg第12页，共51页。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第13页，共51页。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第14页，共51页。6C4，绕xyz轴转动90o （4-度对称）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第15页，共51页。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第16页，共51页。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第17页，共51页。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg3C2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）第18页，共51页。O群有5类，24个群元，有5个不

6、可约表示O群有两个1-维表示，一个2-维表示，两个3-维表示。上述表示是O群的个3-维表示第19页，共51页。2、Oh群 8个全同原子位于立方体的8个顶点O群的24个真转动，加上中心反演，又有24个非真转动，因此共有48个操作。共分为10个类。1C1，不动，群元E6C2，绕对边中点连线转动180o（2-度对称）8C3，绕对角线转动120o 和240o （3-度对称）6C4，绕xyz轴转动90o （4-度对称）3C2，绕xyz轴转动180o （2-度对称） i，关于中心反演6iC2，绕对边中点连线转动180o，接着中心反演8iC3，绕对角线转动120o 和240o，接着中心反演6iC4，绕xyz

7、轴转动90o，接着中心反演3iC 2，绕xyz轴转动180o，接着中心反演xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef第20页，共51页。3、T群（Tetrahedton Group，正四面体群) A2A1A3A4与O群比，少6C4， 6C 2两种对称性1C1，不动，群元E4C3，绕对角线转动120o （3-度对称）3C2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）4C23，绕对角线转动240o （3-度对称）T群有4类，12个群元，有4个不可约表示T群有三个1-维表示，一个3-维表示。第21页，共51页。4、Th群 T群的12个真转动，加上中心反演，又有12个非真转动，因此共有24个操作

8、。共分为8个类。1C1，不动，群元E4C3，绕对角线转动120o （3-度对称）3C2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）4C23，绕对角线转动240o （3-度对称）i，关于中心反演4iC3，绕对角线转动120o ，接着中心反演3iC2，绕xyz轴转动180o ，接着中心反演4iC23，绕对角线转动240o ，接着中心反演Th群有6个1-维表示，2个3-维表示。第22页，共51页。4、Td群 (两种原子组成的四方晶体)除T群的12个操作外。还有12个操作： 6iC2和6iC4。共24个操作，分为5个类。1C1，不动，群元E8C3，绕对角线转动120o 和240o （3-度对称） T群中4

9、C3和4C23合并成一类3C 2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）6iC 2，绕对边中点连线转动180o ，接着中心反演 将T群中4C3和4C23合并成一类6iC4，绕对角线转动90o和270o ，接着中心反演Td群有2个1-维表示， 1个2-维表示， 2个3-维表示。第23页，共51页。5个立方体群的相互关系第24页，共51页。4.1.3 点群的符号和图示 点群的符号有两种：IS制（也叫Hermann-Mauguin）符号：简写IS符号，H.M符号Schoenflies（熊夫利斯符号）符号，简写Sch符号 第25页，共51页。注意：四度反轴 不等于四度轴加反演中心C3h六重转反轴六重轴

10、加垂直于它的对称面 S4四重转反轴 C3i三重转反轴三重轴加对称中心 S2 = CS同对称面 二重转反轴垂直于轴的对称面 Ci=S11无 一重转反轴对称中心 C66六重旋转轴 C44 四重旋转轴 C33 三重旋转轴 C22 二重旋转轴 C11无 一重旋转轴 CS=S2 m直线或圆圈 对称面 Ci=S1 1无 对称中心 Sch.I.S 图示（标记） 对称要素 第26页，共51页。晶体具有的对称操作：Cn：绕晶体主轴作 角度的转动，n1，2，3，4，6Dn ：具有Cn的对称晶体，同时存在n根与主轴垂直的2-度轴， n2，3，4，6Cnh：具有Cn的对称晶体，同时具有一个与主轴垂直的水平面作为反射镜

11、面，n1，2，3，4，6，n为偶数时， Cnh还具有反演操作Cnv：具有Cn的对称晶体，同时具有包含主轴的竖直平面作为反射镜面，n2，3，4，6Sn ：具有n重非正当转动的对称晶体， n2，3，6 n3时， S3 C3h第27页，共51页。晶体具有的对称操作：Dnh：具有Dn的对称晶体，同时具有一个水平面反射镜面， n2，3，4，6Cnv：具有Dn的对称晶体，同时具有包含主轴的竖直平面作为反射镜面， n2，3立方晶系5种点群：T，Td，Th，O，Oh第28页，共51页。立方系晶体和六方系晶体等可能具有的最多操作可以查表。一般，对称性较低的晶体具有的对称操作要少一些。晶体可能具有的点群操作可构成

12、一个群晶体的点群，它决定晶体的宏观对称性。 可以证明：独立的点操作对称要素有： （IS）1，2，3，4，6，I，m， 这8个点对称要素共有32种组合（见书）。相应地，每种组合的操作构成一个点群，因此，共有32个点群。例如：不可能有垂直于三重轴或六重轴的四垂轴（因为垂直于四重轴的三重轴或六重轴都将“破坏”四重轴的对称性） 第29页，共51页。32个晶体点群第30页，共51页。第31页，共51页。32个晶体点群不可约表示的特征标表三斜晶系：单斜晶系：第32页，共51页。正交晶系：第33页，共51页。四角晶系：第34页，共51页。第35页，共51页。第36页，共51页。第37页，共51页。六角晶系：第38页，共51页。第39页，共51页。第40页，共51页。立方晶系：第41页，共51页。第42页，共51页。第43页，共51页。4.1.4 晶格对称性对固体性质的影响各向同性物体中：物理性质与空间方向无关，可用一标量来描述，如电导率，介电常数，极化系数等晶体中：物理性质量通常是各向异性的，一般用二阶张量来描述，如电导率张量不同固体的电导率相差很大，其原因是与晶格的对称性有关。第44页，共51页。abc长方晶体：以x，y，z为基矢的表示矩阵为第45页，共51页。电导率张量在对称操作的作用下，有关系式：第46页，共51页。对称操作第47页，共51页。第48页，共51页。对