例谈几何型综合题的解题策略

1、例谈几何型综合题的解题策略松江区立达中学庄士忠 卢栋才201600几何型综合题常以动态几何知识为背景，以考察数学知识、数学思想的综合运用能力为目标，所涉及的数学思想主要有方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等等。例1 :已知：/ MAN= 60 1点B是射线AM上的一点，AB= 4(如图).P为直线AN上一动点， 以BP为边作等边三角形 BPQ(点B、P、Q按顺时针排列)，0是4 BPQ勺外心. (1)当点P在射线AN上运动时，求证：点 0在/ MAN勺平分线上； (2)当点P在射线AN上运动(点 P与A不重合)时， A0与BP交于C,设AP= x, AC，AO = y，求y关于x的函数解析式

2、，并写出函数的定义域；(3)若点D是射线AN上，AD= 2时，O I是ABD的内切圆，当 BPQ的边BP或BQ与。I相切时，请直接写出点 A到点O的距离.分析：这类试题一般有三个小题，第一小题研究几何背景，为论证或计算；第二小题研究运动中图形的数量关系，建立函数关系；第三小题研究图形不确定性带来的分类讨论。我们一般可以采用化整为零、建立方程、分类讨论三个步骤，从复杂的背景中提取解题所需信息，使问题逐步解决。化整为零，注意特殊情况的补充要证AO平分/ MAN只要证明O到AM AN的距离相等，故作OGL AM于G, OHL AN于H, 故/ GOI+ 120。因此只要连结 BO PQ证/ BOP=

3、 120 ,把问题转化为研究等边三角形 外心的性质。这样，一个复杂的问题经过分拆，转化成我们熟悉的基本问题，从而寻找到解 题的途经。解：连 BO PO . O是等边 BPQ的外心BO=PO / BOP= 120作 OGL AMT G, OHL AN 于 H,故 Z GOH= 120 ./ BOG= / POH 可证 BOB POHOG= OHO在/ MAN勺平分线上但是这里的证明没有包括 OB垂直AM的情形，应该予以补充说明。建立方程，考虑建立函数的方法的多样性和唯一性的结合1建立几何图形间的数量关系，特别是动态几何图形间的数量关系，是这类试题的考察重点，函数关系式的建立实际上是探求两个变量y

4、与x之间未知函数类型的函数问题，如果我们把函数理解为关于 x、y的二元方程，不管是何种类型函数，都可以通过寻找y与x之间的等量关系，建立方程来解决。而建立等量关系常见的途经有：比例线段、勾股定理、等积 原理、线段和差等等。本题要建立y ( AC AO )与x (A?之间的函数关系，就是建立 y与x之间的方程，所涉及的线段有 AG AO AP三条，因此常要寻找第四条线段，根据题意只有A2 4是已知线段，故可以优先考虑，因此只要证ABS ACP.解：/ BAON OBP=30 ,/ ACP=Z ABC-+Z BAC= ABC吆 OBC= ABO又/ BAON CAP ABS ACPAB AO 5-

5、 = 故 y = 4x (x0)AC AP建立函数关系式一般可以运用相似法、勾月法或面积法，二这里因为已知Y=AC.AO,故基本考虑相似法，只是比例式的对角相乘的结果。分类讨论，注意结合不同图形分析或动态全过程操作演示分类讨论是这类试题的重点内容之一，不仅考察数学知识的把握能力，还考察动态图形的认知能力，对同学来说，是难点之一。不过，分类讨论也是有规律可循，比如这类试题所涉及的分类讨论知识主要是等腰三角形的底边不确定、直角三角形的直角不确定、图形的位置不确定(最常见是直线、射线与线段变化引起的)、相似三角形的对应边不确定等等。在分类讨论时首先要注意分类标准统一，其次要做到不重不漏。本题的第一小

6、题、第二小题考察点P在射线AN上的运动，而第三小题则考察 P在直线AN上的运动，由此带来分类讨论。 TOC o 1-5 h z 解：AB=4, AD=2 Z MAN= 60 ,可得/ BDA=90、1、当BP与。I相切时，P(1)当P与D重合时(如图1), AO=2j3工厂友下(2)当P与A重合时(如图2), AO上3人“入占片图3B.2 、当BQ5OI相切时(如图 3), AO=0/NN这里的图形很难画出来， 所以最好应该用不同的被用途分别画出，如果在一幅图形上很 难看清，或者说将圆进行全过程演示操作，观察解的不唯一性。例2.操作：将一把三角尺放在边长为 1的正方形ABCDt,并使它的直角顶

7、点 P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线 DCf交于点Q探究：设A、P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得 到结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形 PBCQ勺面积为y,求y与x之间的函数解析式， 并写出函数的定义域；(3)当点P在线段AC上滑动时， PC德否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所 有能使 PC诫为等腰三角形的点 Q的位置，并求出相应的 x的值；如果不可能，试说明理 由.1、图1图2图3四、关注重点知识解答方法初中数学很多考点都是围绕重点知识点的，所以记住重点的、常见的知识和基本图形的解答策略对

8、解题很关键。 比如本体中角平分线上的一点到叫的两边的距离相等是重点知识，应该很容易想到向角的两边作垂线(引平行线等)。(1)解：PQ= PB证明如下：过点 P作MN BC分另1J交 AB于点M交CDT点N,那么四边形 AMND口四边形BCN嘟是矩形， AM而4CN嘟是等腰直角三角形(如图 1).NP= NC= MBZBPQ= 90 ,ZQPINF Z BPM= 90 .而/BPMb / PBM= 90 ,ZQPN= /PBM又. ZQNP= Z PMB= 90 ,AQNP PMB ， PQ= PB结合上下关系解答或求函数关系一般来说，综合题的每一部分都是相互关联的，有的第一步是特殊情况、特殊解

9、，或者证明一些为后续解答有用的工具性的题，所以后面的解答一般可以顺着前面的思维进行解答。比如本题第二问求面积， 我们只要将这个四边形的面积转化为一个特殊的四边形面积即可，二这个转化就是因为第一问证明中可以获悉的结论-等面积转化。由(1) QN良 PMB 彳导 NQ= MP TOC o 1-5 h z -2-2AP= x, . . AM= MP= NQ= DN= x , BM= PN= CN= 1- x , HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 222 CQ= CD- DQ= 1 2 , x = 1 2 2x .2/口 八 1 1, 212得 SaPB

10、C= BC, BM= x 1 x (1 x)= 一 x.rDC HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 22224SAPCQ= 1CQ- PN= 1 x (1-x) (1- x)1返 x + 1x2242S 四边形 pbcQ= SA PBc+ SAPCQ= -x _ 2 2x + 1 .2即 y= 1 x - J2x + 1 (0W x 上 ) 22六、验证方法有特征，结论一般都是特殊位置得到的般来说，分类讨论的结果一般都是有特征的，结果有相似又有特征，如果一个结论是&+1, 一定有另外一个根 2-1 （除非不满足定义域），而且基本都是在特殊位置取得

11、的，没有特殊位置，就不会有特殊解，这是数学的特点，所以很多分类讨论都是很明了的。（3） PC3T能成为等腰三角形当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ= QC PCO等腰三角形,此时x= 0当点Q在边DC勺延长线上，且 CP= CQ寸， PCB等腰三角形（如图 3）.一，,2此时，QN= PM=222 2C住 22 -x, CN=CA 1- x .22“入,2CQ= QN- CN=x -2当弋2 -x= J2x 1 时，得 x= 1.综合例题例3.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在原点，边AC在x轴的正半轴，AC= 16,ZBAC= 60 , AB= 10, OP分别与边AB AC

12、相切于D E（切点D、E不在边AR AC的端点）,ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求BC边的长和 ABC的面积;(2)设AE= x, DF= y,写出y与x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围;探索 ADC DBF能否相似？若能相似,请求出x的值，同时判断此时。P与边BC的位置关系，并证明之；若不能相似，请说明理由；（4）当。P与 ABC内切时，O P与边BC相切于G点，请写出切点 D E、G的坐标（不必写出 计算过程）.解、（1）过点A作AHL BC于H1. / BAC=90 , AB=AC=22BC=4 AH=2,S. AOC = AH CO = 4 X2即 y= x+4 （0 x4）（2）当点O与点H重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点 O与点H不重合时，在 Rt AOH 中， TOC o 1-5 h z 一 22_2_22_AO =AH OH =4 |2-x|=x -4x 8圆A的半径为1,圆O的半径为x,717.当圆 A与圆 O外切时，（x+1）2 =x2 4x+8 解得 x= , Saaoc =y= 6671当圆A与圆O内切时，（x1） =x 4x+8 解得x= , Saao