第7讲插值与拟合

1、数学(shxu)建模算法与应用共五十八页第5章 插值与拟合(n h)数学建模算法(sun f)与应用共五十八页5.4 曲线拟合与函数(hnsh)逼近共五十八页共五十八页共五十八页共五十八页共五十八页共五十八页共五十八页共五十八页共五十八页共五十八页黄河(hun h)小浪底调水调沙问题共五十八页共五十八页共五十八页2004 年6 月至7 月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。整个试验期为20 多天，小浪底从6 月19 日开始预泄放水，直到7 月13 日恢复正常供水结束。小浪底水利工程按设计拦沙

2、量为75.5 亿m3，在这之前，小浪底共积泥沙达14.15 亿t。这次调水调沙试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积(chnj)的泥沙，在小浪底水库开闸泄洪以后，从6 月27 日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后到达小浪底，7 月3 日达到最大流量2700m3/s，使小浪底水库的排沙量也不断地增加。表7 是由小浪底观测站从6 月29 日到7 月10 检测到的试验数据。共五十八页实验(shyn)观测数据（表一）日期 6.29 6.30 7.1 7.2 7.3 7.4 时间 8:00 20:00 8:00 20:

3、00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 水流量 1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2650 2700 2720 2650 含沙量 32 60 75 85 90 98 100 102 108 112 115 116 日期 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 时间 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 水流量 2600 2500 2300 2200 2000 1850 1820 1800 17

4、50 1500 1000 900 含沙量 118 120 118 105 80 60 50 30 26 20 8 5 表1 试验观测(gunc)数据表 单位：水流为立方米/秒，含沙量为公斤/立方米共五十八页试根据(gnj)实验数据建立模型解决下面问题：给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法；确定排沙量与水流量的变化(binhu)关系。共五十八页问题(wnt)分析 假设水流量和含沙量都是连续的，那么某一时刻的排沙量V=v(t)S(t)，其中s(t)为t时刻的水流量，而v(t)为t时刻的含沙量。通过观察数据，这些数据是每个12小时采集一次，所以我们可以将时间设为时间点t，依次为1，2，3，24，

5、单位时间为12h。 为了(wi le)找到排沙量与时间的关系，我们就要先找到水流量和含沙量与时间的关系，一但找到水流量和含沙量与时间的关系，那么所要求的问题也就不难解决了。共五十八页根据时间与含沙量的关系图以及时间与水流量的关系图我们可以看出其没有特定(tdng)的表现出服从某种分布的趋势。共五十八页我们利用多项式分别进行二次，三次，四次，五次拟合(n h)，当多项式次数越高拟合(n h)也越准确。共五十八页误差(wch)分析 我们(w men)计算1次，2次，9次，10次拟合的误差，这里误差我们取均方根误差形式。 通过计算，我们可以得出含沙量与时间的二次拟合的误差为2.0382,三次拟合误差

6、为1.9062，四次拟合误差为1.6260，五次拟合误差为1.0715。这里我们可以看出二次拟合误差较大，而三次，四次，五次拟合之间误差程度并不太大。考虑到计算的复杂度，我们还是取三次拟合进行多项式拟合。共五十八页下图从左到右分别为进行二次，三次，四次，五次拟合(n h)的图像共五十八页误差(wch)分析共五十八页拟合(n h)曲线共五十八页误差(wch)分析同理，水流量与时间(shjin)的关系亦采用三次多项式拟合。 共五十八页从左到右，分别(fnbi)对时间和水流量进行二次，三次，四次，五次多项式拟合为:共五十八页 拟合(n h)曲线共五十八页 含沙量拟合(n h)函数共五十八页 流水量拟

7、合(n h)函数共五十八页任意(rny)时间的排沙量与总排沙量ans =170164350000即总含沙量为1.702亿吨。共五十八页任意(rny)时间的排沙量与总排沙量ans =184398480000即总含沙量为1.843亿吨。共五十八页任意(rny)时间的排沙量与总排沙量ans =184398480000即总含沙量为1.843亿吨。共五十八页两个结果(ji gu)，那个更精确？ 为什么？共五十八页共五十八页共五十八页在数学的子学科数值分析里，B-样条是样条曲线一种特殊的表示(biosh)形式。它是B-样条基曲线的线性组合。搜索B-样条是贝兹曲线的一种一般化，可以进一步推广为非均匀有理B样

8、条，使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。共五十八页共五十八页对于问题（2），研究排沙量与水量的关系，从试验数据可以看出，开始排沙量是随着水流量的增加而增长，而后是随着水流量的减少而减少。显然，变化规律并非是线性的关系，为此，把问题分为两部分，从开始水流量增加到最大2720m3/s（即增长的过程）为第一阶段，从水流量的最大值到结束(jish)为第二阶段，分别来研究水流量与排沙量的关系。画出排沙量与水流量的散点图（见图2）共五十八页共五十八页共五十八页共五十八页共五十八页共五十八页另一种(y zhn)方法共五十八页水流量和时间(shjin)的关系排沙量和时间(shjin)的关系共五十八页共

9、五十八页共五十八页共五十八页 通过观察可以(ky)看出，其关系是分段的，所以我们按时间进行分段拟合，从而可以(ky)得到分段前后的拟合多项式。共五十八页共五十八页共五十八页样条函数，根据前缀，分为(fn wi)4类：cs* 三次样条pp* 分段多项式样条，系数为tn的系数sp* B样条， 系数为基函数B_ni(t)的系数rp* 有理B样条 共五十八页三次样条函数csapi 插值生成三次样条函数csape 生成给定约束条件下的三次样条函数csaps 平滑生成三次样条函数cscvn 生成一条内插参数的三次样条曲线getcurve 动态生成三次样条曲线2. 分段多项式样条函数ppmak 生成分段多项

10、式样条函数ppual 计算(j sun)在给定点处的分段多项式样条函数值样条工具箱函数(hnsh)共五十八页3. B样条函数spmak 生成B样条函数spcrv 生成均匀划分的B样条函数spapi 插值生成B样条函数spap2 用最小二乘法拟合生成B样条函数spaps 对生成的B样条曲线进行光滑处理(chl)spcol 生成B样条函数的配置矩阵4. 有理样条函数rpmak 生成有理样条函数rsmak 生成有理样条函数共五十八页5. 样条操作函数fnval 计算在给定点处的样条函数值fmbrk 返回样条函数的某一部分（如断点或系数等）fncmb 对样条函数进行算术运算fn2fm 把一种形式的样条

11、函数转化成另一种形式的样条函数fnder 求样条函数的微分(即求导数(do sh)fndir 求样条函数的方向导数fnint 求样条函数的积分fnjmp 在间断点处求函数值fnplt 画样条曲线图fnrfn 在样条曲线中插入断点。fntlr 生成tarylor系数或taylor多项式共五十八页6. 样条曲线端点和节点处理函数augknt 在已知节点数组中添加一个或多个节点aveknt 求出节点数组元素的平均值brk2knt 增加节点数组中节点的重次knt2brk 从节点数组中求得节点及其重次knt2mlt 从节点数组中求得节点及其重次sorted 求出节点数组的元素在另一节点数组中属于第几个分量aptknt 求出用于生成样条曲线的节点数组newknt 对分段(fn dun)多项式样条函数进行重分布optknt 求出用于内插的最优节点数组chbpnt 求出用于生成样条曲线的合适节点数组共五十八页内容摘要数学建模算法与应用。第5章 插值与拟合(n h)。5.4 曲线拟合(n h)与函数逼近。2004 年6 月至7 月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。小浪底水利工程按设计拦沙量为