自动控制原理：第3讲（第二章 控制系统时域数学模型）0

1、2022/8/21要正确地对控制系统分析和设计，必须根据系统所依据的物理规律或化学规律，分析系统各部分的运动机理，列写相应的运动方程，亦即数学模型。 控制系统的数学模型是描述系统内部物理量之间关系的数学表达式。模型静态数学模型动态数学模型建模方法分析法实验法变量各阶导数为零时，描述变量之间关系的代数方程描述变量各阶导数之间关系的微分方程数学模型时域模型：微分方程、差分方程、状态方程复域模型：传递函数、结构图频域模型：频率特性2022/8/222022/8/23 一、控制系统的时域数学模型二、控制系统的复域数学模型三、控制系统的结构图信号流图和梅森公式四、控制系统建模实例第二章 控制系统的数学模

2、型2022/8/24系统原理图系统结构图信号流图微分方程组传递函数数学物理规律拉普拉斯变换数学模型时域模型复域模型第3讲 控制系统的时域数学模型2022/8/251、典型元件的数学模型2、控制系统的数学模型3、线性系统的基本运动特性4、非线性元件微分方程的线性化2022/8/26主要内容：拉普拉斯（简称拉氏）变换 拉氏变换是分析和求解常系数线性性微分方程的常用方法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路)的运动过程，在工程上有着广泛的应用。 控制系统数学模型有时域、复域和频域模型。而时域和复频域之间使用拉氏变换和反变换进行转换。拉氏变换时间域复频域2022/8/27预备知识 为收敛因子，收

3、敛因子中的 是一个复数形式的频率，称为复频率拉氏变换定义：令 在区间0, 有定义，则有其中， 为复域函数。 2022/8/28时域复域例 求正弦函数 的拉氏变换2022/8/29常用变换：2022/8/210拉氏反变换定义：记作， 如果复域函数 已知，要求出与它对应的原函数 ，要用到拉氏反变换，即2022/8/211复域时域常用反变换：2022/8/212复杂系统反变换：工程实践中，求复杂象函数的原函数时，通常先用部分分式展开法将复杂函数展成简单函数的和，再应用拉氏变换对照表。令分母写成因子乘积形式，即2022/8/213 无重根， 化简为 有重根， 化简为拉氏变换的性质：（1）线性性质F1

4、(s) = L f1 (t )F2 (s) = L f 2 (t )Laf1 (t ) + bf2 (t )2022/8/215= aL f1 (t ) + bL f2 (t ) = aF1 (s) + bF2 (s)（2）微分定理一阶系统：二阶系统：高阶系统：2022/8/216证明：2022/8/217分部积分法，令 ， ，则（3）积分定理一阶系统：二阶系统：高阶系统：2022/8/218证明：2022/8/219分部积分法，令 ， ，则（4）初值定理（5）终值定理2022/8/220（6）位移定理（7）相似定理时域位移定理复域位移定理 为复数时域图形变宽，频域变窄2022/8/221 电

5、容 电感 弹簧弹性力1、典型元件数学模型2022/8/222 阻尼器（不储存能量，吸收能热能）平动阻尼器旋转阻尼器 牛顿定律K: 阻尼系数F: 阻尼力y：位移K: 阻尼系数: 旋转角速度：旋转角度T ：阻尼力矩2022/8/223 机械齿轮转速 齿数 半径粘性摩擦系数 转动惯量 原动转矩 负载转矩2022/8/224线速度相同齿轮运动方程：传送功率相同齿数与半径成正比2022/8/225 测速发电机 运算放大器虚短：运放正相与反相输入端电位相等虚断：运放正相与反相端输入到运放内部的电流为零，可视为断开虚地：当运放正相输入端接地时，运放的反相输入端可视为虚地输入：输出：比例系数：传递特性：非电电

6、2022/8/226输入量： 输出量：例2-1: R-L-C无源网络消去中间变量 i(t)，得：2022/8/227例2-2: 机电系统微分方程：电枢控制直流电动机SM负载解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压 在电枢回路中产生电枢电流 ，再由电流 与激磁磁通相互作用产生电磁转矩 ，从而拖动负载运动。输入量： 输出量：2022/8/228 其中， 为负载转矩 为受转动惯量影响的力矩 为系统摩擦力矩电机在启动或电机转速发生变化时要考虑系统的转动惯量和系统的摩擦力力矩。 考虑了摩擦和转动惯量后的电磁转矩平衡方程为（2-1）2022/8/229 其中， 为

7、粘性摩擦系数，或阻尼系数 为电动机轴的转速 转动惯量既要考虑电动机转动惯量，也要考虑负载的转动惯量，令折合到电动机轴上总的转动惯量为 ，则 电动机在转动过程中，由于受到摩擦力的作用，电动机受到相当于阻尼的作用，此时摩擦力矩相当于阻尼力矩，考虑到润滑条件下的摩擦作用，则（2-2）（2-3）2022/8/230电枢回路电压平衡方程SM负载（2-4）电磁转矩方程（2-5）其中， 为反电势 ，与 相反为电机转矩系数为反电势系数2022/8/231 消去中间变量 ，直流电动机的微分方程为由公式（2-1）（2-5），则电动机轴上转矩平衡方程2022/8/232（2-6）2022/8/233由于电枢电感 较

8、小，通常可忽略不计，上式可简化为：如果忽略 和 ，上式可进一步简化为：测速发电机！（2-7）（2-8）2022/8/234式中 ：F1(t)是阻尼器的阻尼力 F2(t)是弹簧反力例2-3: 弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统，试列写 质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程解：输入量： 输出量：相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系 便于用简单系统去研究相似的复杂系统比较： R-L-C电路运动方程 弹簧-质量-阻尼器S-M-D机械系统运动方程2022/8/236 列写元件微分方程的步骤：（1）确定元件的输入量、输出量；（2）由物理或化学规律，列写微分方程；（3）消去中间变

9、量，得到输入、输出之间关系的微分方程。2022/8/2372022/8/238建立系统的数学模型的目的是什么？如果自己想做一个小型无人驾驶飞机，该如何开始呢？基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基 本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（3）消去中间变量（4）标准化。将输入各项放在等号右侧，输出项放在等号的左侧。2、控制系统微分方程的建立2022/8/239输入量： 输出量：例2-5: 速度控制系统的微分方程2022/8/240控制系统的主要部件（元件）?： 给定电位器、运放1、运放2、功率放

10、大器、直流电动机、减速器、测速发电机运放1运放2功放直流电动机2022/8/241减速器（齿轮系）测速发电机消去中间变量得微分方程如下：（其中系数由已知参数构成）2022/8/242i=n1/n2=z2/z1微分方程有什么用？微分方程的解反映了系统的运动特性！以线性系统为例研究系统的运动特性2022/8/243什么是线性系统？线性系统具有什么性质？如何解线性微分方程？线性系统解与系统运动特性的关系？3、线性系统的运动特性2022/8/244要点：线性系统的性质线性微分方程的求解系统运动模态线性系统是指用线性微分方程描述的系统，其重要性质是可以应用叠加原理。 叠加原理具有可叠加性和齐次性（均匀性

11、）例如：线性微分方程若 时，解为：若 时，解为：线性系统的性质2022/8/245可叠加性： 当 时， 微分方程的解为齐次性： 当 时，A为常数， 微分方程的解2022/8/246 直接求解法：变换域求解法：Laplace 变换方法 线性定常微分方程的求解2022/8/247例2-6 在例2-1中，若已知L=1H，C=1F，R=1，且电容上初始电压 ，初始电流i(0)=0.1A，电源电压 ，试求电路突然接通电源时，电容电压 的变化规律。 2022/8/248解：在例2-1中已求得网络微分方程为2022/8/249分别对各项求拉氏变换并整理后有（P640：21和23）2022/8/250如果输入

12、电压是单位脉冲量 ，（P640：20和21）2022/8/251利用拉氏变换的初值定理， 的初值为利用拉氏变换的终值定理， 的终值为2022/8/252用拉氏求解线性定常微分方程的过程可归结如下： （1）考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程； （2）由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式； （3）对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。 2022/8/253 运动的模态：是由n阶微分方程的特征根所决定的，代表自由运动的振型函数。从数学上讲，即是 n 阶齐次微分方程的通解所包含的振型函数。 1）如果n阶微分方程

13、的特征根无重根，分别为 则运动的模态为：齐次通解：系统运动模态 在数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根所决定，它代表自由运动。2022/8/254 2） 如果n阶微分方程的特征根中有多重根 则运动的模态为： 等函数 3） 如果n阶微分方程的特征根中有共轭复根则运动的模态为： 和 ，或写成 和2022/8/255如果方程特征根为p,则x=C1ept+C2tept+C3t2ept可以这样理解当方程有两个不同的特征根p,p时,C1ept+C2ept也是方程的解,令C1=-C2=1/(p-p)当p趋于p时得tept也是方程的解.这是二重根的处理,三重根是同样的

14、道理故其共轭复模态是 与 在例2-6中，微分方程的特征根是微分方程的齐次通解是或与2022/8/256与例2-6中 的零输入响应是一致的给定的初始条件 可求得代入齐次通解方程，则所以，模态反映的是初始条件下的运动特性。2022/8/257例：设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，模态:2022/8/258特征方程：运动模态：切线法或小偏差法： 在一个很小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。特别适用于具有连续变化的非线性特性函数。4、非线性元件微分方程的线性化2022/8/259 设连续变化的非线性函数 ，取某平衡状态A为工作点 ，对应有当 时，有 设函数 在A点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开单个自变量的非线性函数的线性化2022/8/260当增量 很小时，略去其高次幂项，则有略去增量符号 ，则函数y在工作点A附近的线性化方程为2022/8/261增量线性方程两个自变量的非线性函数的线性化2022/8/262略去增量符号，则函数y在工作点附近的线性化方程为2022/8/263【本讲小结】根据系统所依据的物理规律或化学规律，分析