新高考数学二轮专题《立体几何》第7讲 外接球与内切球（解析版）

1、第7讲 外接球与内切球一选择题（共14小题） 1在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，且直线与平面所成角的正切值为2若三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为ABC6D12【解答】解：如图，过点作，垂足为，为的中点，设的外接圆的圆心为，半径为，连接，由正弦定理得，则为的中点，且，平面平面，直线与平面所成角为，则，即，设，则，故三棱锥的外接球的表面积为，得设三棱锥的外接球的球心为，连接，过作，垂足为，则外接球的半径满足，由，解得，即，代入，得，解得故三棱锥的体积故选：2已知四棱锥，平面，若四面体的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为ABCD【解答】解：由于，则四边形四点共圆，由

2、于平面，平面，所以，在中，所以，所以，四边形的外接圆直径为，因此，四面体的外接球直径为，所以，该球的表面积为故选：3已知四棱锥，平面，二面角的大小为若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为ABCD【解答】解：如下图所示，由于，所以，则、四点共圆平面，平面，又，且，平面，平面，则二面角的平面角为，即在中，所以，直角的外接圆直径为，即四边形的外接圆直径为平面，所以，四棱锥的外接球直径为，因此，该球的表面积为故选：4三棱柱的侧棱垂直于底面，且，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为ABCD【解答】解：取的中点，的中点，的中点，依题意可得，所以该球的表面积为故选：5三棱柱的侧棱

3、垂直于底面，且，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为ABCD【解答】解：三棱柱的侧棱垂直于底面，三棱柱扩展为长方体，体对角线为外接球的直径，设外接圆的半径为，则，外接球的半径为，球的表面积等于故选：6张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于10，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，利用张衡的结论可得该球的表面积为A8BC12D【解答】解：根据题意，棱柱外接球即为以，为长宽高的长方体外接球，该长方体的半径为，所以该球的表面积为故选：7如图，四面体中，面和面都是等腰，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为AB

4、CD【解答】解：分别取，的中点，所以可得，因为面和面都是等腰，所以可得，且，所以为二面角的平面角，所以由题意可得，过作面交于点，连接，则，所以，且，三点共线所以，因为是以为斜边的等腰三角形，所以为底面的外接圆的圆心，设半径为，则，过作直线面的垂线，则外接球的球心在直线上，取球心，连接，则，过作于，则四边形为矩形，所以，在三角形中，即，在三角形中，即，联立可得，所以外接球的表面积故选：8如图，四面体中，面和面都是等腰，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为ABCD【解答】解：取中点，中点，连结、，四面体中，面和面都是等腰，且二面角的大小为，是二面角的平面角，则点为外接圆的圆心，

5、点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，且直线与直线交于点，则点为四面体外接球的球心，如下图所示，易知，所以，所以，则四面体的外接球半径为，因此球的表面积为，故选：9在棱长为1的正方体内有两个球，相外切，球与面、面、面相切，球与面、面、面相切，则两球表面积之和的最大值与最小值的差为ABCD【解答】解：设球与球的半径分别为，球和的表面积之和为当其中一个圆是正方体的内切球时，两球表面积之和的最大值，即，球和的表面积之和为两球表面积之和的最大值与最小值的差为故选：10已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，为球的直径且，则点到底面的距离为ABCD【解答】解：三棱锥的所有顶点都在球的球

6、面上，为球的直径且，球心是的中点，球半径，过作平面，垂足是，满足，是中点，且，点到底面的距离为故选：11如图，半径为的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为ABCD【解答】解：设球的半径为，圆锥底面半径为，上面圆锥的高为，则下面圆锥的高为，在中，有，得两个圆锥体积和为，球的体积由题意，即下面的圆锥的高为则这两个圆锥高之差的绝对值为故选：12已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，底面是以为直角顶点的直角三角形，则球的表面积为ABCD【解答】解析：设中点为，则为的外心，因为，易证面，所以球心在直线上，又，算得，设球半径为，则中，可得：则球的表面积，

7、故选：13已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，两两垂直，则球的体积为ABCD【解答】解：是边长为的正三角形，两两垂直，由三棱锥的所有顶点都在球的球面上，故球相当于棱长为1的正方体的外接球，故，故球的体积，故选：14已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径若平面平面，三棱锥的体积为，则球的体积为ABCD【解答】解：如下图所示，设球的半径为，由于是球的直径，则和都是直角，由于，所以，和是两个公共斜边的等腰直角三角形，且的面积为，为的中点，则，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，所以，三棱锥的体积为，因此，球的体积为，故选：二填空题（共11小题）15有下列命题：边长为1的

8、正四面体的内切球半径为；正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径之比为；棱长为1的正方体的内切球被平面 截得的截面面积为其中正确命题的序号是（请填所有正确命题的序号）；【解答】解：边长为1的正四面体的高为，可得正四面体的体积为，设内切球的半径为，由等积法可得，为正四面体的全面积）解得，故正确；设边长为1的正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径分别为，可得，即有，故正确；棱长为1的正方体的内切球的半径为，设内心为，可得，在截面的射影为等边三角形的中心，可得，由球的截面的性质可得截面圆的半径为，可得截面圆的面积为，故正确故答案为：16已知正方体的棱

9、长为1，给出下列四个命题：对角线被平面和平面三等分；正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为；以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是；正方体与以为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为其中正确命题的序号为【解答】解：正方体的棱长为1，故对角线，棱锥的体积为：平面的面积为：故到平面的距离为：，故对角线被平面和平面 三等分，即正确；正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为：，故正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为，故正确；以正方体的顶点为顶点的四面体的体积为或；故错误；以为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积为故正方体与以为球心，1为半径

10、的球在该正方体内部部分的体积之比为故正确；故答案为：17已知四面体满足：，则四面体外接球的表面积为【解答】解：因为，所以，则，均为直角三角形，故该四面体外接球的球心为公共斜边的中点，半径，故表面积，故答案为：18在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为【解答】解：如图，在等边三角形中，取中点，设其中心为，由，得是以为斜边的等腰直角三角形，为的外心，则为棱锥的外接球球心，则外接球半径该三棱锥外接球的表面积为故答案为：19已知，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，平面平面，则球的表面积为【解答】解：如图，为，平面平面，取中点，在平面内，过

11、作的垂线，则四棱锥的外接球的球心在该垂线上，又，求得，过作的垂线，两垂线相交于，则为外接圆的圆心，也是四棱锥的外接球的球心，则外接圆的半径即为四棱锥的外接球的半径，设为，由，得球的表面积为故答案为：20在平行四边形中，沿把翻折起来，形成三棱锥，且平面平面，则该三棱锥外接球的体积为【解答】解：由题意将折起放在图3的长方体中，长宽高分别为：，2，2，可得长方体的对角线为：，再由长方体的对角线等于外接球的直径，所以，所以外接球的体积为，故答案为：21一个三棱锥内接于球，且，则球心到平面的距离是【解答】解：三棱锥可以视为长方体的面对角线构成的三棱锥，（如图）三棱锥的外接球就是长方体的外接球，设长方体的

12、棱长分别为，可得，棱锥的外接球的半径为设的外接圆半径为，球心到平面的距离故答案为：22如图为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体相切，则两球半径之和为【解答】解：如图，作出正方体的体对角面，易知球心和在 上，过点，分别作， 的垂线交于， 两点由，得，故答案为23已知正方体的棱长为1，正方体内衣球与面，均相切，正方体内另一球与面，均相切，且两球外切，那么两球表面积之和的最小值是【解答】解：根据题意，得，设球、的半径分别为、，根据正方体的性质和球与平面、球与球相切的性质，得，得由基本不等式，得，当且仅当时等号成立因此，两球表面积之和故答案为：24一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，圆锥圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为则两个圆锥的体积之和与球的体积之比为【解答】解：球的半径为：；则球的表面积为：，圆锥的底面积为：，两个圆锥的体积和为：，球的体积为：，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：故