新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第9讲 蒙日圆问题（解析版）

1、第9讲 蒙日圆问题一、解答题 1已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条

2、切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程.（1）由题意知，且有，即，解得，因此椭圆的标准方程为；（2）设从点所引的直线的方程为，即，当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，化简得，即，则、是关于的一元二次方程的两根，则，化简得；当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.综上所述，点的轨迹方程为.考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.

3、2给定椭圆C： (ab0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1l2，且线段MN的长为定值【答案】（1）椭圆方程为，“准圆”方程为x2y24；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知，进而可得椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，分别求出l1和l2，验证命题成立；当l1，l2斜率存在时，设点P(x0，y0)，其中，联立过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线

4、方程与椭圆方程，由0化简整理，可证得l1l2；进而得出线段MN为“准圆”x2y24的直径，即线段MN的长为定值【详解】（1）椭圆C的一个焦点为 其短轴上的一个端点到F的距离为.，椭圆方程为，“准圆”方程为x2y24.（2）证明：当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x，当l1：x时，l1与“准圆”交于点(，1)，(，1)，此时l2为y1(或y1)，显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x时，直线l1，l2垂直当l1，l2斜率存在时，设点P(x0，y0)，其中.设经过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线为yt(xx0)y0，由得(13t2)x26t(y0tx0)

5、x3(y0tx0)230.由0化简整理，得(3)t22x0y0t10，有(3)t22x0y0t(3)0.设l1，l2的斜率分别为t1，t2，l1，l2与椭圆相切，t1，t2满足上述方程(3)t22x0y0t(3)0，t1t21，即l1，l2垂直综合知，l1l2.l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其“准圆”于点M，N，且l1，l2垂直线段MN为“准圆”x2y24的直径，|MN|4，线段MN的长为定值【点睛】思路点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查新定义，考查椭圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系，有关平面解析问题一些基本解题思想总结如下：1.常规求值问题：需要找等式，范围问题需要找不等式

6、；2.是否存在问题：当作存在去求，不存在时会无解；3.证明定值问题：把变动的元素用参数表示出来，然后证明结果与参数无关，也可先猜再证；4.处理定点问题：把方程中参数的同次项集在一起，并令各项系数为，也可先猜再证；5.最值问题：将对象表示为变量的函数求解3给定椭圆 C : ，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆 C 的“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F1(, 0) ，其短轴上的一个端点到 F1 的距离为（1）求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程；（2）若倾斜角 45的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M .N 两点，求弦 MN 的的长；（3）点 P 是椭圆 C

7、的伴随圆上一个动点，过点 P 作直线 l1、l2，使得 l1、l2与椭圆 C 都只有一个公共点，判断l1、l2的位置关系，并说明理由.【答案】（1）椭圆方程：；伴随圆方程： x2 y2 1 ；（2） 2；（3）垂直，（斜率乘积为 1 ，分斜率存在与否）【分析】（1）直接由椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F1的距离为，求出，即可求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；（2）先把直线方程与椭圆方程联立，利用对应的判别式为0求出，进而求出直线方程以及圆心到直线的距离；即可求弦MN的长；（3）先对直线l1，l2的斜率是否存在分两种情况讨论，然后对每一种情况中的直线l1，l2与椭圆C都只有一个公共点进

8、行求解即可证：l1l2（在斜率存在时，是先设直线方程，把直线与椭圆方程联立，利用斜率为对应方程的根来判断结论）【详解】解：（1）因为，所以b1所以椭圆的方程为，伴随圆的方程为x2+y24（2）设直线l的方程yx+b，由得4x2+6bx+3b230由（6b）216（3b23）0得b24圆心到直线l的距离为所以（3）当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1方程为时，此时l1与伴随圆交于点，此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是y1（或y1），即l2为y1（或y1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直当l1

9、，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y024，设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为yk（xx0）+y0，由，消去y得到x2+3（kx+（y0kx0）230，即（1+3k2）x2+6k（y0kx0）x+3（y0kx0）230，6k（y0kx0）24（1+3k2）3（y0kx0）230，经过化简得到：（3x02）k2+2x0y0k+1y020，因为x02+y024，所以有（3x02）k2+2x0y0k+（x023）0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以k1，k2满足方程（3x02）k2+2x0y0k+（x023）0，因而

10、k1k21，即l1，l2垂直【点睛】本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力4已知抛物线：（），圆：（），抛物线上的点到其准线的距离的最小值为. （1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）如图，点是抛物线在第一象限内一点，过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A，B（A，B异于点P），问是否存在圆使AB恰为其切线？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）的方程为，准线方程为.（2）存在，【分析】（1）由得到p即可；（2）设，利用点斜式得到PA的的方

11、程为，由到PA的距离为半径可得，同理，同理写出直线AB的方程，利用点到直线AB的距离为半径建立方程即可.【详解】解：（1）由题意得，解得， 所以抛物线的方程为，准线方程为.（2）由（1）知，. 假设存在圆使得AB恰为其切线，设，则直线PA的的方程为，即. 由点到PA的距离为r，得，化简，得，同理，得.所以，是方程的两个不等实根，故，.易得直线AB的方程为，由点到直线AB的距离为r，得，所以，于是，化简，得，即.经分析知，因此.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，直线与圆、抛物线的位置关系等，考查运算求解能力、数形结合思想.5已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上.（1）求

12、椭圆的标准方程；（2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，切点分别，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）因为点在椭圆上，所以，然后，利用，得出，进而求解即可（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为，分别联立方程：和，利用韦达定理，再利用，即可求出的值【详解】（1）由椭圆的长半轴长为，得.因为点在椭圆上，所以.又因为，所以，所以（舍）或.故椭圆的标准方程为.（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为.据得.据题意，得，得，同理，得，所以.又可求，得，所以.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题，联立

13、方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参，属于中档题6已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；若直线AB交椭圆C1于C，D两点，SPAB，SPCD分别是PAB，PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.【答案】(1) 抛物线的标准方程为,椭圆的方程为:,(2)证明见解析,有,最小值为【分析】(1)利用可得抛物线的标准方程

14、,根据和点在椭圆上列方程组可求得和,从而可得标准方程;(2)利用=0以及韦达定理可得结论;先求出直线过定点,将问题转化为,即求得最小值,当直线的斜率存在时,联立直线与抛物线,利用弦长公式求出和,然后求比值,此时大于,当直线的斜率不存在时,直接求出和可得比值为.从而可得结论.【详解】(1)因为抛物线C2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以,所以,所以抛物线的标准方程为,设椭圆方程为,则且,解得,所以椭圆的方程为:.(2)证明:设,过点与抛物线相切的直线为,由,消去得,由=,得,则.设 由得,则,所以直线的方程为,所以,即,即直线恒过定点,设点到直线的距离为,所以,当直线的斜率存在时,设直线

15、的方程为,设,由,消去得,时,恒成立, ,由消去得,恒成立,则 .所以,当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,所以的最小值为.【点睛】本题考查了求抛物线和椭圆的标准方程,考查了直线与抛物线相切,考查了直线与椭圆相交的问题,考查了三角形的面积公式,考查了分类讨论思想,考查了弦长公式,属于难题.7已知椭圆的方程为.（1）设是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为，点在直线上的射影为点，求点的坐标；（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1

16、）当时，符合题意；当时，联立直线与椭圆的方程，得判别式为0，从而方程组只有一组解，进而可得答案；（2）设，得出A，B的坐标满足直线方程，推出直线AB的方程为，联立NQ的方程解得Q点坐标；（3）设，分两种情况：当直线与有一条斜率不存在时，当直线与有一条斜率存在时，讨论点P的轨迹，即可得出答案.【详解】（1）当时，直线，即直线，与椭圆只有一个公共点.当时，由得，又，有，从而方程组只有一组解，直线与椭圆的有且只有一个公共点.（2）设，.由（1）知两条直线为，又是它们的交点，从而有，的坐标满足直线方程，所以直线：.直线的方程为，由解得，即，（3）设.当直线与有一条斜率不存在时，.当直线与的斜率都存在时

17、，设为和，由得，由，整理得，和是这个方程的两个根，有，得，所以点的轨迹方程是.【点睛】关键点点睛：解决第一问主要是通过联立直线与椭圆所构成的方程组有一个解；解决第二问主要是通过第一问中的结论得出的方程；解决第三问主要是依据两直线的关系得到.8已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上运动，若面积的最大值为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作圆：，的两条切线，分别与椭圆交于两点，(异于点)，当变化时，直线是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线恒过定点.【分析】（1）首先列出关于的等式，再求椭圆的标准方程；（2）首先设出过点的切线方程，利

18、用，得到关于斜率的一元二次方程，得到根与系数的关系，再与椭圆方程联立求得点的坐标，写出直线的斜率，并写出直线的方程，说明直线过定点.【详解】（1）由题可知当点在椭圆的上顶点时，最大，此时，椭圆的标准方程为.（2）设过点与圆相切的直线方程为，即，直线与圆：相切，即得.设两切线的斜率分别为，则，设，由，即，；同理：，；，直线的方程为.整理得，直线恒过定点.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与圆，直线与椭圆的位置关系，重点考查转化思想，计算能力，逻辑推理能力，属于难题.9如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：y21，椭圆C2：1(ab0)，C2与C1的长轴长之比为1，离心率相同(1) 求椭圆C2

19、的标准方程；(2) 设点P为椭圆C2上的一点射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1k2为定值【答案】(1)1；(2)证明见解析，证明见解析【分析】(1)根据已知条件，求出a，b的值，得到椭圆C2的标准方程(2)对直线OP斜率分不存在和存在两种情况讨论，当OP斜率存在时，设直线OP的方程为ykx，并与椭圆C1的方程联立，解得点A横坐标，同理求得点P横坐标，再通过弦长公式，求出的表达式，化简整理得到定值设P(x0，y0)，写出直线l1的方程，并与椭圆C1联立，得到关于x的一元二次方

20、程，根据直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即0，整理得2x0y0k110，同理得到2x0y0k210，从而说明k1，k2是关于k的一元二次方程的两个根，运用根与系数的关系，证得定值【详解】(1)设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a2，解得b，因此椭圆C2的标准方程为1.(2)1当直线OP斜率不存在时，PA1，PB1，则32.2当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为ykx，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k21)x24，所以，同理所以，由题意，xP与xA同号，所以xPxA，从而32.所以32为定值设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为yy0k1(xx0)，即yk1xk1

21、x0y0，记tk1x0y0，则l1的方程为yk1xt，代入椭圆C1的方程，消去y，得(41)x28k1tx4t240，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以(8k1t)24(41)(4t24)0，即4t210，将tk1x0y0代入上式，整理得，2x0y0k110，同理可得，2x0y0k210，所以k1，k2为关于k的方程(4)k22x0y0ky10的两根，从而k1k2.又点在P(x0，y0)椭圆C2：1上，所以，所以k1k2为定值【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的定值问题，椭圆中的定值问题，一种方法是直接计算，即由直线与椭圆相交求出交点坐标，求出直线斜率等，然后计算题中要证定

22、值的量即可得，一种不直接计算，像本题（2）中通过直线与椭圆相切，得出两直线斜率满足的关系式，从而确定这两个斜率是某个二次方程的根，由韦达定理直接得证，即建立参数之间的联系，然后推导出定值10已知抛物线上一点到焦点的距离.（1）求抛物线的方程；（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析【分析】（1）由题意确定p的值即可确定抛物线方程；（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得是方程的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点的横坐标 .结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可.【详解】（1）由抛物线定义

23、,得，由题意得：解得所以，抛物线的方程为.（2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，.设切线的方程为,同理可得.所以，是方程的两根，.设，由得，由韦达定理知，所以，同理可得.设点的横坐标为，则 .设，则，所以，对称轴，所以【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11如图，已知是椭圆:上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点、（1）若直线，的斜率存在，并记为，求证：为定值；（2）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由【答案】（1）见解析；（2）为定值【解析】试题分析：（1）设直线的直线方程分别为、，由圆心到直线的距离等于半径可以得到、，由此可得是方程的两个不相等的实数根,由违达定理可知，由点在椭圆上可得