新高考数学二轮专题《立体几何》第20讲 立体几何综合问题（解析版）

1、第20讲 立体几何综合问题一解答题（共14小题）1如图，直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，分别是与的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【解答】【答案】（1）连接，底面为平行四边形，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，平面平面，平面，平面；（2）由平面，平行四边形平面底面，四边形为矩形，且底面，过作，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系（如图）由，知，设平面的法向量，则，取，即，设平面的法向量，则，取，即，二面角的平面角的余弦值2如图，四边形为菱形，是平面同一侧的两点，平面，平面，证明：平面平面；求二面角的余弦值【解答】证明：连接，设，连接，在菱形中，不妨设，由，

2、可得由平面，可知，又，在中，可得，故在中，可得在直角梯形中，由，可得，平面，面，平面平面解：如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，由（）可得，0，0，0，设平面、平面的法向量分别为，则，可得面与面的法向量，即面面，所以二面角的余弦值为03如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，（1）证明：平面（2）求与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：取中点，连结，则四边形为矩形，连结，则又，故所以为直角，所以，由，得平面，所以因为，所以平面分（2）解：由平面知，平面平面作，垂足为，则平面，作，垂足为，则连结，则又，故平面，平面平面，作，为垂足，则平面，即到平面的距离为

3、由于，所以平面，到平面的距离也为设与平面所成的角为，则分4如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，（）证明：是侧棱的中点；（）求二面角的余弦值【解答】（）证明：作交于点，则，平面，连接，则四边形为直角梯形，作，垂足为，则为矩形，设，则，由，得，解得，即，从而，为侧棱的中点（）解：，又，为等边三角形又由（）知为中点，取中点，连结，取中点，连结，则，由此知为二面角的平面角，连结，在中，二面角的余弦值为5如图，四棱锥的底面为直角梯形，且，为等边三角形，平面平面；点、分别为、的中点（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：设的中点为，连结，为

4、中点，为的中位线，且，在梯形中，且，且，四边形是平行四边形，平面，平面，平面（2）解：四棱锥的底面为直角梯形，且，为等边三角形，平面平面，点是的中点设的中点为，则，到平面的距离，三棱锥的体积（3）平面平面，交线为，平面，平面，又，两两垂直，以为原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，0，0，设平面的法向量，则，取，得，直线与平面所成角的正弦值为6如图，在平行四边形中，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动，且（1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）设平面与平面所成二面角的大小为，求的取值范围【解答】解：（1）在中，则，四边形为菱形，平面平面，平面平面，平面，平面，以为原点

5、，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，0，当时，0，异面直线与所成角的大小为（2）平面的一个法向量，1，设，由，得，设平面的法向量，则，取，得，7如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，其中，点在棱上且，点为棱的中点在棱上且，点位棱的中点（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值的大小【解答】证明：（1）在中，由，得，同理在中，由，得，所以，即（亦可通过勾股定理来证明）在中，在，所以，即解：（2）由（1）知，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，0，设平面的法向量为则：不妨设，则设平面的法向量为则，不妨设，则记二面角为（

6、应为钝角）故二面角的余弦值为8如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，（）证明：平面平面；（）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是【解答】证明：（）几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，又，平面，又平面，平面平面解：（）以 为原点，、的正方向为，轴，建立空间直角坐标系设正四棱棱的高为，则，0，2，0，设平面的一个法向量，2，0，则，取，得，设平面的一个法向量，则，取，则，1，二面角的余弦值，解得9如图，在四棱锥中，四边形为梯形，且，是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值【解答】证明：（1）由顶点在上投影为点，可知，取

7、的中点为，连结，在中，所以在中，所以所以，即，面又面，所以面面解：（2）由（）知，且所以 面，且面以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，设平面，的法向量分别为，则，即，取，得，即，取，得，设二面角的平面角为则所以二面角的余弦值为10如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，求证：；若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值【解答】证明：取中点为，连结，解：由及知，又，以，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，1，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，取，设平面与平面所成锐二面角为，则平面和平面所成锐二面角的余弦值为11在如图所示的空间几何体中，平面平面，

8、与是边长为2的等边三角形，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上（1）求证：平面；（2）求二面角【解答】证明：（1）由题意知，都是边长为2的等边三角形取中点，连接，则，（2分）又平面平面，平面，作平面，那么，根据题意，点落在上，和平面所成的角为，（4分）四边形是平行四边形，不包含于平面，平面，平面（6分）（2）以，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，0，平面的一个法向量为，0，设平面的一个法向量为，则，取，得，（9分），又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角的余弦值为（12分）12如图，在四面体中，已知，（1）求证：；（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值【解答】（1）证

9、明：，取的中点，连结，则，又，平面，平面，平面，（2）解：过作于点则平面，又平面平面，平面平面，平面过做于点，连接平面，又，平面，为二面角的平面角连接，二面角的余弦值为13三棱柱的底面是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点在棱上，且，（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值【解答】（1）证明：连接，底面，底面，且与底面所成的角为，即在等边三角形中，易求得在中，由余弦定理，得，即又，又，平面，又平面，又，平面（2）如下图所示，以为原点，分别以，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系，则故由（1）可知，可得点的坐标为，平面的一个法向量是设平面的法向量，由得，令，则，则，易知所求的二面角为钝二面角，二面角的平面角的余弦角值是14如图，将矩形沿折成二面角，其中为的中点，已知，为的中点（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值【解答】证明：（1）取的中点，连结，则，所以四边形是平行四边形，因此，（4分）又平面，所以平面（6分）解：（2）取的中点，中点，连结，由，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，所以平面平面，（8分