新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第12讲 定点问题（解析版）

1、第12讲 定点问题一、解答题 1设椭圆经过点，且离心率等于.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两点，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由.【答案】（）；（）【解析】试题分析：（1）将点代入椭圆标准方程，结合列方程组，解这个方程组求得，椭圆方程为；（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，写出韦达定理，利用，解得，此直线过定点.试题解析：（1）（2）设直线的方程为，联立椭圆方程得，由得，（舍去），所以过定点12分考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查利用向量作为工具解题的方法.第一问求椭圆的标准方程，除了这一条件

2、，题目还给了椭圆上的一点和椭圆的离心率，根据这三个条件列方程组，解这个方程组求得椭圆的方程.第二问建立的两条直线是垂直的，所以考虑转化为两个向量的数量积等于零来求解.2已知椭圆的离心率为，M是椭圆C的上顶点，F2是椭圆C的焦点，的周长是6（）求椭圆C的标准方程；（）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标【答案】（）；（）详见解析.【分析】（）由题得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆C的标准方程；（）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为，进一步求出直线的方程为，所以直线恒过定点.当直线

3、斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过.综上所述直线恒过点.【详解】解：（）由于是椭圆的上顶点，由题意得，又椭圆离心率为，即，解得，又，所以椭圆的标准方程（）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为，联立，得，由题意，设，则，因为，所以是的中点即，得， 又，l的斜率为，直线的方程为 把代入可得：所以直线恒过定点.当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过.综上所述直线恒过点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆中直线的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1）

4、，P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（）求C的方程；（）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【答案】(1) .(2)证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示

5、出和的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线

6、过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.4已知点P是椭圆C:上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，（1）求椭圆C的标准方程;（2）设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问:直线l是否过定点?证明你的结论【答案】（1）；（2）直线l过定点证明见解析.【分析】（1）由椭圆定义可知，再代入P即可求出，写出椭圆方程；（2）设直线l的方程，联立椭圆方

7、程，求出和之间的关系，即可求出定点.【详解】（1）由，得，又在椭圆上，代入椭圆方程有，解得，所以椭圆C的标准方程为（2）证明：当直线l的斜率不存在时，解得，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，由，整理得，由，整理得，即当时，此时，直线l过P点，不符合题意；当时， 有解，此时直线l：过定点【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.5已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A为椭圆的左顶点，点B为上顶点，|AB|且|AF1|+|AF2|4.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2作直线l交椭圆C于M、N两点，记AM、AN的斜率分别为k1、k2，

8、若k1+k23，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得即可；（2）设，设直线的方程为，联立直线与曲线方程消元，列出韦达定理，由，即，即可得到方程，解得即可；【详解】解：（1）依题意可得解得，所以椭圆方程为（2）由（1）设，设直线的方程为，联立方程得，消去整理得，所以，因为，所以，因为，即，所以代入得解得即：【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.6已知M过点，且与N：内切，设M的圆心M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程：（2）设直线l不经过点且与曲线C相交于P，Q两点若直线PB与直线QB的斜率之积为，判断直线l是否过定

9、点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，直线l过定点【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C的轨迹方程；（2）设直线BP的斜率为，则BP的方程为，联立椭圆方程，解得交点P，同理可得Q的坐标，考虑P，Q的关系，运用对称性可得定点【详解】解：（1）设M的半径为R，因为圆M过，且与圆N相切所以，即，由，所以M的轨迹为以N，A为焦点的椭圆设椭圆的方程为1（ab0），则2a4，且c，所以a2，b1，所以曲线C的方程为y21；（2）由题意可得直线BP，BQ的斜率均存在且不为0，设直线BP的斜率为，则BP的方程为ykx+1，联立椭圆方程，可得，解得则，

10、因为直线BQ的斜率为，所以同理可得，因为P，Q关于原点对称，（或求得直线l的方程为）所以直线l过定点【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，椭圆中直线过定点问题，考查化简运算能力，属于中档题7已知椭圆C：，直线l：ykx+b与椭圆C相交于A、B两点（1）如果k+b，求动直线l所过的定点；（2）记椭圆C的上顶点为D，如果ADB，证明动直线l过定点P（0，）；（3）如果b，点B关于y轴的对称点为B，向直线AB是过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由【答案】（1）定点（1，）；（2）见解析；（3）定点（0，2）【分析】（1）把bk代入直线方程可得定点坐标；（2）根据ADB，可得,结合韦达定

11、理可得关系；（3）结合对称性求出直线AB的方程，结合韦达定理，从而可得定点坐标.【详解】（1）k+b，bk，ykxkk（x1），所以动直线l过定点（1，）（2）联立消去y得（1+2k2）x2+4kbx+2b220，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2 ，ADB，又D（0，1），（x1，y11）（x2，y21）x1x2+（y11）（y21）x1x2+（kx1+b1）（kx2+b1）x1x2+k2x1x2+（b1）2+k（b1）（x1+x2）（1+k2）x1x2+k（b1）（x1+x2）+（b1）2（1+k2）+k（b1）+（b1）2（b1），（b1）0，又b1（否则直线l过D），b

12、，所以动直线l过定点（0，）.（3）b，直线l为：ykx，由（2）知x1+x2，经过A（x1，y1），B（x2，y2）的直线方程为： ， ，令x0得y ，ykx1 ，所以直线AB是过定点（0，2）【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，直线恒过定点问题，一般是求解直线的方程中关系式，从而得到定点，侧重考查数学运算的核心素养.8已知椭圆C：，若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标【答案】证明见解析；【分析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消元，然后韦达定理可得x1x2，x1x2，然后算出

13、，然后由条件可得，即y1y2x1x22(x1x2)40，代入化简可得和的关系，然后可得答案.【详解】由 ，消去y并整理得：(34k2)x28mkx4(m23)0，由64m2k216(34k2)(m23)0，得34k2m20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)x1x2，x1x2y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，即，即y1y2x1x22(x1x2)40，所以40，整理得：7m216mk4k20，解得m12k，m2，且满足34k2m20.当m2k时，l：yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当m时，l：yk(x)

14、，直线过定点(，0)综上可知，直线l过定点，定点坐标为(，0)【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.9已知点为椭圆C：上一点，且直线过椭圆C的一个焦点（1）求椭圆C的方程（2）不经过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，记直线的斜率分别为，若，直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意，可得，再将点代入椭圆方程可得，结合即可求解. （2）

15、讨论直线的斜率是否存在，设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，消 可得，由题意利用韦达定理整理可得，进而可求解.【详解】（1）点为椭圆C：上一点，则，解得， 直线过椭圆C的一个焦点，令，可得，即，所以，所以椭圆C的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，设，（且），则，解得，直线恒过点；当直线的斜率存在时，设直线方程为，直线与椭圆的交点，联立方程，消 可得，则，所以，整理可得，所以，即，因为直线不过点，所以，所以，即，直线，当时，则，所以直线恒过定点【点睛】本题考查了求圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，考查了分类讨论思想以及运算求解能力，属于难题.10椭圆C的焦点为，椭圆上一点.直线l

16、的斜率存在，且不经过点，l与椭圆C交于A，B两点，且.（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线l过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由椭圆的定义及两点间距离公式可得,即可求得,由焦点可得,进而求解；（2）设直线l方程为,与椭圆方程联立可得,即可得到,且,再由可得,利用斜率公式可得,即可得证.【详解】（1）解:由题,所以,则,所以椭圆方程为.（2）证明:设直线l方程为,直线l与椭圆C交于A,B两点,联立,可得,即,设,则,因为,所以,则,得,即,代入可得,把代入,解得，又直线不过点,所以,即且,所以直线过定点【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查直线恒过定点问题,考查运算能力.

17、11已知椭圆的一个顶点为，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于M、N两点，直线BM与直线BN的斜率之积为，证明直线l过定点并求出该定点坐标【答案】（1）；（2）答案见解析，直线过定点.【分析】（1）首先根据顶点为得到，再根据离心率为得到，从而得到椭圆C的方程.（2）设，与椭圆联立得到，利用直线BM与直线BN的斜率之积为和根系关系得到，从而得到直线恒过的定点.【详解】（1）一个顶点为，故，又，即，所以故椭圆的方程为（2）若直线l的斜率不存在，设，此时，与题设矛盾，故直线l斜率必存在设，联立得，即，化为，解得或（舍去），即直线过定点【点睛】方法点睛：定点问题，一般从三个方法把握

18、：（1）从特殊情况开始，求出定点，再证明定点、定值与变量无关；（2）直接推理，计算，在整个过程找到参数之间的关系，代入直线，得到定点.12已知椭圆：的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若不过点的动直线与椭圆交于，两点，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析；定点.【分析】（1）运用离心率公式和基本量，的关系，以及点满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）由已知可得直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立，整理得.由，利用根与系数的关系求得值，从而可证明直线过定点.【详解】（1）解：椭圆：的离心率为，且过点，可得，且，解得，则椭圆方程为.（2

19、）证明：由，可知，从而直线与轴不垂直，故可设直线的方程为，联立，整理得.设，则，由，得，由，得，将代入，得，所以直线过定点.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合，及定点问题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用. (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形13如图，已知椭圆上顶点为A，右焦点为F，直线与圆相切，其中.（1）求椭圆的方程；（2）不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两

20、点，且，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标.【答案】（1）；（2）【分析】（1）确定圆M的圆心与半径，利用直线AF与圆M相切关系，根据点到直线的距离公式构建方程，求得a，即可表示方程；（2）设直线AP的方程为，则直线AQ的方程为，分别于椭圆联立方程求得交点P、Q的坐标，即可表示直线l的方程，得答案.【详解】（1）由题可知，则直线的方程为，即因为直线与圆相切，该圆的圆心为则故椭圆的标准方程为（2）因为不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，即直线AP与坐标轴不垂直也不平行由可设直线AP的方程为，则直线AQ的方程为联立，消去y并整理得，解得或，因此点P的坐标为，即将上式中的k换成，得

21、点Q所以直线l的斜率为，即直线l的方程为，化简并整理得，故直线l恒过定点【点睛】本题考查椭圆中的过定点问题，还考查了求椭圆的标准方程，属于较难题.14已知椭圆的右焦点为F，过点的直线l与E交于A，B两点.当l过点F时，直线l的斜率为，当l的斜率不存在时，.（1）求椭圆E的方程.（2）以AB为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）.（2）以AB为直径的圆恒过定点.【分析】（1）根据直线的斜率公式求得的值，由，即可求得的值，求得椭圆方程；（2）当直线的斜率存在，设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以直径的圆的方程，令，即可求得，即可判断以为直径的

22、圆过定点【详解】（1）设椭圆半焦距为c，由题意，所以.l的斜率不存在时，所以，.所以椭圆E的方程为.（2）以AB为直径的圆过定点.理由如下：当直线的斜率存在时，设的方程，联立方程组，消去，整理得，所以，所以，以为直径的圆的方程：，即，令，则，解得或，所以为直径的圆过定点当直线l的斜率不存在时，此时以AB为直径的圆的方程为.显然过点综上可知，以为直径的圆过定点【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题15已知椭圆：（），与轴负半轴交于，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点，连接，并延

23、长交直线于，两点，已知，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1） （2）证明见解析；定点坐标为【分析】（1）由条件直接算出即可（2）由得，由可得，同理，然后由推出即可【详解】（1）由题有，.，.椭圆方程为.（2）由得，.又，同理又，此时满足直线恒过定点【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.16在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，如图所示，斜率为k（k0）且不过原点的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x3于点D（3，m）（1）求m2+k2的最小值；（2）若|OG|2|OD|O

24、E|，求证：直线l过定点【答案】（1）2；（2）见解析【分析】（1）设出直线方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，化简为一元二次方程的形式.根据直线和椭圆有两个交点得出判别式大于零，写出韦达定理，根据中点坐标公式求得点的坐标，由此求得直线的斜率和方程，根据点坐标求得的关系式，结合基本不等式求得的最小值.（2）将直线的方程代入椭圆方程，求得点坐标，结合两点坐标以及两点间的距离公式，求得，代入列方程，解方程求得的关系，由此判断出直线过定点.【详解】（1）设直线l的方程为ykx+t（k0），由题意，t0，由方程组，得（3k2+1）x2+6ktx+3t230，由题意0，所以3k2+1t2，设A（x1，y

25、1），B（x2，y2），由根与系数的关系得，所以，由于E为线段AB的中点，因此，此时，所以OE所在直线的方程为，又由题意知D（3，m），令x3，得，即mk1，所以m2+k22mk2，当且仅当mk1时上式等号成立，此时由0得0t2，因此当mk1且0t2时，m2+k2取最小值2（2）证明：由（1）知D所在直线的方程为，将其代入椭圆C的方程，并由k0，解得，又，由距离公式及t0得，由|OG|2|OD|OE|，得tk，因此直线l的方程为yk（x+1），所以直线l恒过定点（1，0）【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查根于系数关系，考查直线和直线交点坐标、直线和椭圆交点坐标的求法，考查两点间的

26、距离公式，考查直线过定点的问题，综合性较强，属于中档题.17已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，且过点（1）求C的方程；（2）设点M为C上的动点，求的取值范围；（3）设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线（，）与C交于P，Q两点，PQ的中点为E，若，求证：直线l经过定点，并求出定点坐标【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，.【分析】（1）由椭圆离心率可得，再将点代入椭圆方程得，可出a,b，从而得到椭圆方程；（2）设M点的坐标为，利用向量的坐标运算可知，再由椭圆性质可知，即可求得结果；（3）由，直角三角形斜边中点等于斜边一半，可知，设，联立，得，由韦达定理结合即可得到m与k的关系，从而得结

27、果.【详解】（1）离心率，将点代入椭圆方程得，联立解得，所以椭圆C的方程为（2）设M点的坐标为，则，即由（1）可知，又，（3），且直角三角形斜边中点等于斜边一半，设，又，由，得，即或因为直线l不过点A，且满足，直线l的方程为，即，直线l过定点【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的标准方程，求直线过定点，求直线过定点的思路：（1）设直线的点斜式，找到斜率与截距的关系，确定定点；（2）根据题目中的信息求出直线（如两点），确定定点；（3）根据圆锥曲线的性质确定直线定点的性质，然后由性质确定准确的定点.18已知椭圆过、两点.（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的右顶点为，点在椭圆上（不与椭圆的顶点重合），直线与直线交于点，直线交轴于点，求证