秒用导数的工具功能求解相关问题

1、秒用号数的工具功能求解相关问题导数的主要作用是研究函数曲线的切线以及函数的单调性、极值和最值问题，实际上，有不少数学问题乍一看与导数无关，但是，细细品味，我们会发现妙用导数，有曲径通幽的神奇之处，令人回味无穷！类型一三角函数的奇偶性问题若函数f(x)可导，则由f( x) f(x)两边对X求导，得f ( X) f (X),即f ( X) f (X)；由 f( X) f(x)两边对 X 求导，得f ( X) f (x),即f ( X) f (X).可得奇、偶函数的导数的性质：(1)可导奇函数的导数是偶函数；(2)可导偶函数的导数是奇函数.这一特征性质实现了函数奇偶性的相互转化，在解题中可灵活例 1

2、 若 f (x) asin(x应用.)bcos仅 )(ab 0)是偶函数，则有序实数对(a,b)可以是写出你认为正确的一组数对即可).解析求导得f (x) a cos仅一) 3bsin(x一),由可导偶函数的导数特征性质得:3f (x)是R上的奇函数，所以f (0)f (0) acos bsin( ) 0 ,所以a 6b 0,故只要填写满足a 73b0且ab0的任意一组数对即可，如(、.3,1).评注 本题一般解题思路就是利用偶函数的定义,显然较为繁杂，而妙用导数处理此类问题，简洁、高效、快捷!变式 1 若 f(x) asin(x ) bsin(x )(ab 0)是偶函数，则 2ab .类型二

3、三角函数中的最值、对称性问题设函数 f (x) asin x bcosx(ab 0),则可化为 f (x) Ja2 b2 sin(x)，其中btan 一.于是，结合函数f(x)的图像易知：若x x0时函数f(x)取得最值，即函数f (x) a的图像关于直线 X X0对称，则函数f(x)在X x0处的切线斜率为零，即f(x0) 0.这个结论充分揭示了三角函数的最值与导数的紧密联系，在解题中妙用导数，可迅速求解.例2 设当x 时，函数f(x) sin x 2cosx取得最大值，则cos 解析由题设可知f( ) 0,又f (x) cos x 2sin x ,所以cos 2sin 0,即tansin1

4、22一 ,cos 2sin .于是，结合 sin cos 1 ,解得2cos吏5或2.55sincos石5 .经检验知：前者满足 f(x)取得最大值，后者满足f(x)取得最小值.2,5故所求cos2.55评注f(x) asin x bcosx(ab 0),若x X0时函数f (x)取得最大值，则必有tan x0a .ab一,sin Xor_ ,cos Xo=;右x Xo时函数 f(x)取得最小值,b，a2 b2a2 b2则必有 tan Xoa,sin Xoa,cos Xobb. a2 b2. a2b2变式2若函数y sinx acosx的图像关于直线x 一对称，则实数a6类型三函数的零点个数问

5、题由于函数的零点个数就是函数图像与横轴的交点个数,所以结合函数零点存在性定理可知：如果知道连续函数 f(x)在闭区间m,n上单调,且f(m)f(n) 0 ,那么函数f (x)在开区间(m,n)上有唯一的一个零点(即零点个数为1).这个结论可以称之为函数零点唯一存在性定理，显然利用该结论时,必须明确函数的单调性，而函数的单调性借助导数知识加以分析比较简单例3已知函数f(x)III2015x，则函数f(x)在其定义域内2015的零点个数是A.0B.1C.2( )D.3解析求导得f(x) 1HI2014x ,可知：当x 1时，f (x) 0;当 x 1 时，f (x)1 1、2015,x)1 ( x

6、)1x2015，无论x 1还是x 1 ,易判断知均1 x有f (x) 0成立.于是，当x R时，必有f(x) 0,所以函数f (x)在R上单调递增.又因为f( 1) 11III1112013 2014 20150, f(0)1 0,所以利用函数零点唯一存在性定理可知：函数f(x)在开区间(1,0)上只有一个零点.从而结合函数f(x)在R上单调递增，即得函数f (x)在其定义域内的零点个数是1.故选B.评注本题具有一定的综合性,对能力的考查较强，解题关键是灵活利用“分类与整合思想”准确分析导数与零的大小关系23X X变式3已知函数f(x) 1 x 23f (x)在(0,1)上恰有一个零点C. f

7、 (x)在(1,2)上恰有一个零点42013x x，则下列结论正确的是42013(f(x)在(0,1)上恰有两个零点D.f(x)在(1,2)上恰有两个零点类型四多项式函数的系数求值问题令 f (x) f (x), f n 1 (x) fn x n N设函数 f (x) a0 a1x a2x2anxn,因为 f1 x f (x) a1 2a2x 3a3x2 | nanxn 1f 2 (x) 2a2 2 3a3x 3 4a4x2n 1 nanxn 2,f 3 (x) 2 3a3 2 3 4a4xn 2 n 1 nanxn 3令 x 0 ,则有 a1f (0)f(0)1!a22f (0)2f (0)

8、f 3(0)3!例4 已知函数f xx x 1 x 2 x 3 III x 2016展开式中的一次项系数解析设函数f xaaxa2x2a2017x2017 ,则 f 0a1，又 a112 3 |U 20162016!.故函数f x展开式中的一次项系数是 2016!,答案为2016!.评注由于许多学生对多项式的乘法法则的理解不透彻，本题若应用多项式的乘法的法则直接求解，有一定的难度，而灵活地应用导数法处理，易于理解变式 4 设 3 2x 20 a0 a1x a2x2a20 x20 ,则 a2 .类型五二项式中的系数的求和问题设函数f (x) (ax b)n n N ,则由二项式定理可知f(x)

9、ao aix a2X2anxn.于是，借助求导、赋值的处理技巧可得许多有趣的结论因为 f(x) a1 2a2x 3a3x2nanxn 1, (*)令 x 1 ,则有 ai 2a2 3a3nan f(1);令 x 1,则有 a1 2a2 3a3 口 ( 1)n 1nan f ( 1).X(*)式两边同乘以 x,得 xf(x) a1x 2a2x2 3a3x3 | nanxn,求导得xf(x) a1 22a2x 32a3x2 | n2anxn 1,又xf (x) f (x) xf (x)，令 x 1,则有a1 22a2 32a3 n2an f(1) f(1). TOC o 1-5 h z 按照这样的

10、处理思路(乘x、求导、赋值)，有兴趣的读者还可以继续探究.201422014例 5 已知(1 x)a0 a1(x 3) a2(x 3)| a2014(x 3) (x R),则 a1 2a2 3a3 4a4 2013a2013 2014a2014解析 设函数 f(x) (1 x)2014,则求导得 f(x)2014(1 x)2013.又对 f(x) a0 a1(x 3) a2(x 3)2a214(x 3)2014 ,求导得f (x) a1 2a2(x 3) 3a3(x 3)22014a201Mx 3)2013.于是，取x 2得a1 2a2 3a3 4a42013a2013 2014a2014 f

11、 (2)2014(1 2)2013 2014.评注 本题具体求解时，也可以这样处理：直接对已知等式两边同时求导，然后再赋值 TOC o 1-5 h z 显然，整个解题的关键在于一一先求导(以 x为自变量)，再赋值(注意赋值的灵活性).-A-_r. L/CC52345变式 5 右(2 x 3)a0 a1x a2xa3xa4xa5x ,贝U a12a23a34a45a5 ,a14a29a3 16a425a5 .类型六数列的求和问题某些较为复杂的数学问题，往往应用常规的方法比较繁杂，我们不妨根据待求结论的结构特征，构造新的函数巧妙应用导数，灵活地解决问题例 6 求S 1 2x 3x2 4x4 JU

12、nxn 1 x 0.1 .解析 因为x 0.1时，xIllxn 士两边求导，得：S 1 2x3x24x4n 1 n 1 xHI nx nx 1 x 1-21即为所求.评注本题的常规方法是“错位相减法”,这里构造函数妙用导数，简洁、新颖、自然,毫无斧凿之迹，令人耳目一新！综上，应对某些复杂的数学问题时，关注导数的“非常规”应用，妙用导数具有入手容 易、思路清晰、过程简洁的优势，有利于激发解题思维，沟通所学知识在分析、解决问题中 的灵活运用，有利于从导数角度看透问题的本质，进一步理解数学本质，提升学生的数学素附：变式训练参考答案1.答案1 解析：参考例1的解析过程可知a0,故 2ab 20 1.2

13、.答案有 解析：由题设可知yy cosx asin xcos 6asin 一 63.答案C解析：求导得f (x)Ill2012x可知：当x1时,f (x)1 (、2013x)1 ( x)2013x无论x1还是易判断知均有f (x) 0成立.于是，当xR时,必有f(x)0 ,所以函数f (x)在R上单调递减.又因为f(0)1 0, f(1)III2012 20130,f(2) 1 222八3八4八5222III2201222013201220130,所以利用函数零点唯一存在性定理可知：函数 f(x)在(1,2)上恰有一个零点.故选C.214.答案 95 220解析因为3 2x %a1xa2x2 ID20a20 x,则两边求导，得:1920 3 2x2 a1 2a2xIII19 20a20 x19 ,19即 40 3 2xa 2a2x 20a20 x19,两边再次求导，得:80 1