球面几何与欧式几何的比较

1、球面几何与欧式几何的比较要说到几何，大多数人便会想到运用并流传了几千年的欧式几何，这是毋庸置疑 的。欧式几何在我们的生活中运用太广泛了。从我们开始接触几何问题，和我们生 活中所接触到的一些几何问题大部分都是欧式几何。欧式几何是几何学的一门分科， 又称欧几里德几何。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何 知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎 体系，写出几何原本，形成了欧氏几何。欧式几何的传统描述是一个公理系统， 通过有限的公理来证明所有的“真命题”。欧式几何共有五条公理，其中前四个都 是可以通过各种方法来证明的，并被众人接受。唯有公理5使许多人

2、不能被理解所 接受。于是由此问题，我们又有了一个巨大的发现，也是人类历史上的重大转变。 那就是非欧几何的出现。欧式几何所能解决的只限于平面，从而伟大的第五公理就 这样在非欧几何中得证。球面几何球面几何学是在二维的球面表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子。在 平面几何中，基本的观念是点和线。在球面上，点的观念和定义依旧不变，但 线不再是“直线”，而是两点之间最短的距离，称为最短线。在球面上，最短 线是大圆的弧，所以平面几何中的线在球面几何中被大圆所取代。同样的，在 球面几何中的角被定义在两个大圆之间。结果是球面三角学和平常的三角学有 诸多不同之处。例如：球面三角形的内角和大于 180度。对比于

3、通过一个点至少有两条平行线，甚至无穷多条平行线的双曲面几何学， 通过特定的点没有平行线的球面几何学是椭圆几何学中最简单的模式。球面 几何学在航海学和天文学都有实际且重要的用途。球面乃是空间中最 完美匀称的曲面。两个半径相等的球面可以用一个平移把它们叠合起来，而两 个半径不相等的球面所相差者就是放大或缩小这种相似变换，由此可见本质性 的球面几何可以归纳到单位半径的球面来研讨。再者，在古典天文学的研讨中， 观察星星的方向可以用单位球面上的一个点来标记它，而两个方向之间的角度 则相应于单位球面上两点之间的球面距离。这也就是为什么古希腊天文学和几何学总是合为一体的，而且古希腊的几何 学家对于球面三角学

4、的投入程度要远远超过他们对于平面测量学的兴趣，因为量天的学问才是他们所致力去理解者；它的确比丈量土地、计量财产等更 引人入胜。球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异欧氏几何球面几何直线过两点有一的条直线过两个非对径点有唯一的一条直线（大圆）直线可以无限延伸大圆是封闭的、有限的角的含义两百线的交角两个大圆在交点处切线的交角（即两 个大圆所在平面的二面角的平面角）两点间距离含义连结它们的直线段长度过两点的大圆中的劣弧弧长三角形内角和等于180大于180三角形面积底边长乘高线长的一半REC） = A + 8 + J，其中 a、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）三角形全SSS， SAS

5、， ASASSS， SAS， ASA， AAA等条件相似性存在不全等的相似三角形同球面或等球面上没有相似三角形，不存在相似概念平行性过直线外一点有且只有一条直线与之平行任意两条直线必相交于两点；没有平行的概念勾股定理尸=/+必cos c = cos acosi余弦定理二温 +朋一 2ab cos C b2 = c2 +a2 - 2ca cos B a1 = b1 -c2 - 2bc cos Acos a = cosicoscH- sin bsmc gqs A cosb = cos ccosa + sin c sina cos B cosc = cost； cosH- sin a sin? co

6、s Ccos A = -cos B cos C + sin 5 sin Ccos a cos B = -cos C cos j4 + sin Csincos C = - cos j4cos B + sin j4sm B cost?正弦定理sin _ sm 5 _ sm C abcsin _ sin _ am C sin a sini sin c通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。平 面几何最早由希腊数学家欧几里德整理成系统的理论。他的不朽之作几何原本 不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后 来就把这种几何称为欧氏几何。虽然欧氏

7、几何在我们的日常生活、生产实践与科学 试验中有着广泛的应用，但是在某些领域或某种场合欧氏几何并不适用。例如在地 球上要测量相距较远的两地之间的距离，或者较大范围的面积时，用欧氏几何的知 识会产生很大的误差，而用球面几何的知识才能真实地反映出客观现实。球面上的 几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。非欧几何往往也有很重要的实 际应用价值，也是我们应该学习的重要理论。球面上的几何与欧氏几何有不相同之 处，但他们之间也有一些共同特征。球面上的几何与欧氏几何的共同特征欧氏几何球面上的几何直线都是两点间距离最短的道路三角形的性质大边对大角，大角对大边；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。三角形全等的条件SSS， SAS， ASA两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。首先分析一下球面三角形的面积公式登+-腴把这个公式改写成这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。 在平面几何中三角形三内角之和等于芯，角超等于零。在球面上的几何中角超大于 零。不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，系越来越小，即三角形 的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近