基于谱风险度量的投资组合优化模型研究.

1、北京化工大学硕士学位论文基于谱风险度量的投资组合优化模型研究姓名：任小磊申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：杨永愉20090520摘要基于谱风险度量的投资组合优化模型研究摘要近年来，金融风险成为国际金融界、理论界和监管机构共同关注的对象。特别的2008年爆发了罕见的全球金融危机，引发人们对自由竞争市场结构和金融创新产品监管更进一步的思考。风险度量是风险管理中最为核心的部分，在金融自由化的国际背景下研究风险度量对于风险的有效管理、我国风险管理研究的发展，乃至我国金融体系的建设都具有十分重要的意义。本文的主要研究对象是谱风险度量(SpectFdlfiskmedsufes)，谱风险度量是由风险

2、度量ES(Expectedshortfall)生成的一大类一致性风险度量，是ES的推广。谱风险度量只是一致性风险度量中的一个子集。在谱风险度量的集合里，ES是最小的风险度量。谱风险度量是一种现代化风险管理方法，以统计学、数理知识为主要研究工具。本文基于由CarloAcerbi(2002)提出的谱风险度量，研究了生成谱风险度量的ES的一些性质，给出了谱风险度量的建立过程和一些性质，同时还提供了一种构造风险谱函数的方法，据此构造出了两种具体的谱风险度量一指数谱风险度量和幂指数谱风险度量。通过实证分析说明尽管两种风险厌恶系数不一样，但是选择幂风险谱函数还是指数风险谱函数对谱风险度量值的影响并不大。一

3、致性谱风险度量在投资组合优化模型中具有凸的风险表面，风险表面的凸性在最优化计算中寻找到最小的风险有非常重要的意义，这也是一致性谱风险度量的优良特性之一。尽管一致性风险度量的极小化问题总是I摘要凸的，ES的最小化也不是那么简单的。文章建立了最小化ES的线性规划模型，极大的减少了模型计算量，通过一个实例计算说明YES在投资组合优化模型中的应用。最后文章采用谱风险度量，建立风险一收益模型来解决投资组合优化问题。分析结果表明，对于同一个投资组合，每个投资者对风险的主观态度不同，不同投资者有不同的风险承受力，表现为谱风险度量值不同，从而他们会做出不同的投资决策，也相应的得到不同的投资回报。总体而言，能承

4、受的风险越大，其投资回报越多，符合一般经济学规律。采用谱风险度量进行分析为投资行为的多样化提供了理论依据，具有一定的实际意义。文章结尾对进一步的研究方向进行了展望。关键词：VdR,ES,致性风险度量，谱风险度量，指数谱函数，幂指数谱函数，投资组合II摘要ANAIYSISOFINVESTMENTSPoRTFOLIOMODELBASEDoNSPECTRAI，IUSKMEASURESABSTRACTFinancia1risksmanagementisahottoPicrecentinfinancia1institutions，academia，andfinancia1suPerVisorsforye

5、arsEsPecia11y，ag1oba1UStofinancia1crisisbrokeoutin2008，whichforcedrethinktheProb1emofthestructureoffreecomPetitiVemarketsandfinancia1innoVationscoreRisksmeasurementistheofeffectiVerisksmanagementTherefore，itissignificant1yimPortanttostudyrisksmeasurementinthebackgroundoffinancia1g1oba1izationReasona

6、b1erisksmeasurementisfundamenta1forChinaSriskmanagementstudy，aswe11asChinaSfinancia1marketSdeVe1oPmentandcon_structionInthisPaPer，wediscusssPectra1riskmeasures，whichgrowfromareeXPectedshortfa11andgenera1izeitSynchronous1y，sPectra1riskmeasuresasubsetofthecoherentriskmedsuressetsandESisthesmallestrisk

7、measures.Asbasedonamodernrisksmeasurement,spectralmeasuresofrisksetsalgorithms,combinedwitharestatistics,mathematicalengineeringscienceandcomputerscience.BasedontheresearchofCarloAcerbi(2002),westudiedsomepropertiesofESandspectralriskmeasures,introducedtheformationofspectralriskmeasures,anddesignedr

8、eflectinvestorSriskonemethodtogettheriskspectrum,whichcouldgottwokindsofriskaversion,theaversion.WeIII摘要eXponentriskspectrumandpowerriskspectrumThenwemadeatestandfoundthatthedifferentselectionsofthetwofunctionswouldnotaffectthevalueofspectralriskmeasuresCoherentriskmeasureshasconcaverisksurfaceinthe

9、investmentportfoliomodel,whichmakesimportantandisonesenseinsearchingfortheminimumriskvalueoftheeXcellentpropertiesofcoherentriskmeasuresAlthoughtheprogrammingofminimumcoherentriskmeasuresisalwaysconvex,theproblemofminimumESiscomplicated.WeestablishedalinearprogrammingmodelofminimumESwiththehelpofwhi

10、chanauxiliaryfunctiontosimplifiedthecomputationWetookaneXampleintroducetheapplicait0i0n0fthism0delininVestmentP0rtf0lThentakingadVantage0fsPectralriskmeasures,wesetuPtheriskrewardm0delf0rt0s0lVet0Pr0blem0finVestmentP0rtf0li0Theresultsillustratedthatt0risk0neP0rtf0li0,0neinVest0rSattitudeisdistinguis

11、hfr0man0therSattitudeS0differentinVest0rswillf0rmdifferentsPectralriskmeasuresandwilln0tmakesameinVestdecisi0nsGenerallysPeaking,them0rerisks0naninVest0rcant0lerate,them0rereturntheinVestmenthecanget,whichistheuniVersalec0n0micrulesThemeth0dPr0VidedaninterPretatiVePathf0rdiVersity0finVestmentbehaVi0

12、randhadb0thPracticalandthe0reticalValueAttheend0fthisPaPer,wePr0sPectedthefurtherresearchKeyw0rdsVaR,ES,C0herentriskmeasures,SPectralriskmeasures,IV摘要ExP0nentialriskaVersi0nfuncti0n,P0werriskaVersi0nfuncti0n,inVestmentP0rtf0li0V符Q.号说明符Q.号说明VaRCVaRESValueatRisk的简称,是指处于风险中的价值Risk的简称,是指损失超过VaR的条件均值C0nd

13、iti0nalValueatExPectedSh0rtfal1的简称,指期望亏损SRM口SpetfdlRiskMedsufes的简称，指谱风险度量置信水平投资组合x的期望收益率投资组合x的收益率的标准差证券组合的协方差矩阵标准正态分布的分布函数仃n）丫中（）驴（.）u口标准正态分布的密度函数效用，指心理的满足程度风险厌恶因子X北京化工大学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识

14、到本声明的法律结果由本人承担。作者签名：4王土杰日期：关于论文使用授权的说明学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在时解密后适用本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。作者签名：4d土杰导师签名：日期：日期：塑Z：主：超翅丢兰逝z笪望。:查翌第一章绪论第一章绪论1.1研

15、究背景及意义风险管理是金融机构从事的全部业务和管理活动中最核心的内容之一，但风险是一个很模糊的概念，美国经济学家Knight在其名著风险、不确定性及利润中，分析了风险和不确定性的关系，Knight认为，风险不仅取决于不确定性因素的大小，而且还取决于收益函数的性质。因此，风险被认为是由于不确定因素而造成的损失。金融风险产生于金融变量的波动，通常金融风险可以分为五类，市场风险、信用风险、流动性风险、操作风险及法律风险。金融风险管理一直是金融界的核心问题，对金融风险的识别、计量、决策与监控，以减少不确定性，达到资源的优化配置。近几年来，随着经济全球化，金融一体化步伐的加快，国际和国内金融市场飞速发展

16、，各种金融产品，金融衍生产品在金融市场上逐渐丰富起来。信息技术的高速发展使各国经济开发程度逐步提高，国际金融市场资金和信息的流通效率也大大提升，各国金融市场相互影响，金融机构面临着更加复杂的金融风险，金融风险在不同的市场传导，并被放大。在过去的几十年间，已爆发了数次大规模全球金融危机。20世纪90年代中期以巴林银行倒闭为代表的微观金融风险事件和以墨西哥金融尾机、亚洲金融危机为代表的宏观经济现象，引起了人们对金融风险的普遍关注。眼下我们正在经历的就是一次震惊全球的金融危机，此次由美国次贷引发的金融危机，更深层次的诱因来自于自由市场竞争的失败和对金融创新产品监管的严重缺失。从2002年到2006年

17、，美国经济快速发展，特别是房产市场持续火爆，房价不断上涨，带动经济繁荣，大批收入较低、信用记录较差的人群加入了购房大军，他们的房屋贷款被称为“次贷。放贷机构在借出一笔“次贷”后，将其“卖给房利美和房地美这样的机构，后者再将购买来的“次贷”打包成一种证券化的投资产品，卖给全世界的投资者。这个过程被称为“资产证券化，一度被认为是一项重要金融创新。金融创新可以分散和转移风险，但不能消灭风险。金融创新和金融监管是一对孪生兄弟。随着金融创新的推进，金融监管从来就不能说完美无缺。回顾美国自1929年金融大崩溃以来的金融监管演变可见，伴随着经济的起伏，先后经历了由自由放任加强管制金融创新加强监管放松监管等多

18、次转折。金融监管严重滞后，缺乏对这些复杂的创新产品自身所暗藏的巨大风险强有力的外部约束为危机的爆发埋下隐患。如今，无论金融机构的风险管理手段多么完善，都难以避免因为机构内部原因或市场外部的变化而遭受风险事件的影响，这是由现代金融市场和金融机构的北京化工大学硕士学位论文高杠杆率、高关联度、高不对称性的特性所决定的，现代金融体系内的风险产生和传递呈现出了新的特征。在市场失灵、集体失去理性时，政府必须及时出手积极干预。现代史上，几乎没有哪次金融危机离得开政府的干预。这次美国金融危机及其所酿成的世界金融动荡也是如此。如美国证交会（SEC）采取临时紧急措施，暂时禁止卖空799家金融股，以保护证券市场品质

19、、强化投资人信心；英国金融监管部门采取了暂时禁止建立新的空头做空29家金融公司股票的干预措施，要求持股超过0.25%的空头每日进行披露；俄罗斯政府为遏制金融市场暴跌暴涨、防范银行倒闭，数次下令市场暂停甚至停止交易。这种政府出台禁令，避免市场环境急剧恶化的举措，对我们应对极端情形下的市场危机，不无借鉴意义。这场发端于美国的金融危机正在演变为席卷全球的金融和经济危机。这场危机表明，美国作为全球第一大经济体，仍对世界经济有着举足轻重的影响。美国和世界其他经济体在金融业及实体经济方面存在的紧密联系，是造成金融危机不断扩散的根本原因，而世界其他经济体各自存在的缺陷，则为金融危机的扩散提供了条件。金融危机

20、使得世界经济放缓，对我国经济也产生了一定的影响。我国证券市场经过近20年的发展取得了举世瞩目的成就，在筹资资金，资本定价，资源配置等方面发挥了重要作用。但长期以来，我国证券市场都处在粗放式的管理模式下，证券公司对自身定位不清，内部控制建设薄弱，风险控制水平低下，企业内部风险逐渐开始暴露，2004年南方证券被行政接管充分体现出我国证券市场的内部问题。由于金融体系本身的内在属性，决定了金融风险是无可避免的。金融风险管理成为金融行业可持续发展的关键。风险计量是金融市场风险管理的基础，高质量的风险计量很大程度上决定了金融市场风险管理的有效性。对金融资产进行风险度量，可以提高金融市场中信息的均衡性，促使

21、金融市场的风险信息在金融产品价格中得以及时快速地反映，促成了交易的实现，不仅提高了金融市场信息的完全性，更可以实实在在地保护普通投资者的利益。合理而有效的金融风险度量还对金融机构的利益有着切实的保护和提咼。此次危机体现出的监管理念变化，对中国来说有多处值得借鉴。首先，金融监管须更多强化功能监管，监管体系有必要从过去强调针对机构进行监管的模式向功能监管模式过渡，即对各类金融机构的同类型的业务进行统一监管和统一标准的监管，以减少监管的真空和盲区。其次，金融监管应更贴近市场第一线，从金融机构业务末梢上出现的小问题抓起，以防从个别向普遍演变，形成大范围的经营隐患，使监管更具前瞻性和有效性。此外，加强监

22、管机构之间的职能协调也尤为必要。在金融市场全球化、金融创新和衍生产品R益复杂的今天，传统金融市场之间的界限日趋模糊，跨部门的监管协调和监管合作显得日趋重要。应正确认识和把握金融创新和风险控制的平衡关系。2第一章绪论本文以谱风险度量为主要研究对象，这是个新兴的风险度量方法，在国外的研究也刚刚兴起。谱风险度量根源于期望亏损ES,概括了包括ES在内的一大类一致性风险度量，在一致性已成为一个好的风险度量标准的今天，相信会在金融行业中得到广泛的应用。本文试图解决以下几个问题：（1）介绍如何以ES为基础建立谱风险度量；（2）研究谱风险度量的性质，得到数学上的阐释以加深其经济意义；（3）设计谱风险度量的谱函

23、数，寻找到产生谱函数的一般方法；（4）建立最小化ES和谱风险度量的投资组合模型；（5）将谱风险度量方法应用于金融风险管理，在给定收益水平下使投资风险最小化。笔者期待通过本文的研究，对我国学术界在谱风险度量研究领域有所贡献，促进谱风险度量在金融市场的世纪应用，因此本文的研究具有重要的理论意义。1.2研究现状金融危机给世界经济造成了巨大的破坏，促使人们对金融风险的管理和控制问题越来越关注风险评估在经济活动中扮演的角色越来越重要。在学术界，以金融理论和金融工程为核心的金融风险管理研究成为热点。最初的风险度量是使用一些简单的指标，如证券的票面价值（fdcevdlueornotionaldmount）来

24、衡量风险，这种方法也称票面价值法III。但是这类方法有两个很大的缺点n1：一是其不能区分做空头寸和做多头寸；二是其不能反映价格的波动和价格之间的相关性。之后比较流行的方法是因子的灵敏度分析法（FdctorSensitivityMeasures)，将灵敏度表示为存续期和凸曲度的函数n,灵敏度分析法的另一种形式希腊字母法，其各表达式均以希腊字母命名，但这些方法还是具有一些缺陷，首先就是其具有不可加性；其次，它们不能直接地被应用于资本的风险度量，而且不方便进行风险控制，难以全面的反映风险覆盖情况。方差是风险度量的一种重要方法，其最早的模型为1952年Markowitz口1提出的均值一方差模型，这一模

25、型开创了五十年代的资产管理策略。在Markowitz的投资组合均值方差模型D1中，方差为风险函数，在期望收益水平一定的条件下，追求方差最小。由于模型中需要求出所有风险资产之间的协方差，计算起来很困难。为此，人们一直试图改进模型的风险度量方法。实践证明，采用不同的风险度量方法，得到的结果并不一致。1964年，Sharpe以“均值一方差模型为基础，提出了著名的芦值模型H1,即用卢值表示单个证券相对于整个证券市场的易变程度，度量单个证券投资的系统风险H3,从而形成了资本资产定价理论。到20世纪80年代，这两种理论成为证券投资风险度量的两种基本理论，在实际中得到广泛的应用。但是在这种方法中，没有将收益

26、中的盈利和损失两部分区分开，故对此做出了改进，开始使用单边矩方法，即只考虑3北京化工大学硕上学位论文损失部分。单边矩度量方法得到了广泛的应用，其中最常用的改进有两种，一种是相对于期望的单边矩，PqIX)一EpIX】+口(Ep【僻一E,瞵】)！】)1障lEhFischer于2003年首次提出；另一种是Denneberg在1990年提出的相对于中位数的单边矩，成仁)一一EPIX】+以p【lx巧1(1/2)1】1这种度量方法与Fischer提出的相比满足共单调可加性晦1。可以证明，以上的两种方法满足次可加性，正齐次性，变换不变性，单调性，是一致的风险度量。上世纪九十年代被广泛应用的风险度量方法是在险

27、值(ValueatRisk)口1。它成功地克服了希腊字母法不能用于资本风险度量的缺陷，将资产或投资组合的风险归纳为单一的指标来衡量，使风险度量的结果更便于理解和使用。VaR实际上所表示的是在某一置信水平下，持有一个有价证券或投资组合在某一时期内可能遭受到的最大损失值口1。VaR满足正齐次性，变换不变性，单调性，协单调可加性和法则不变性，但由于VaR不满足风险度量的次可加性陋1,并在投资组合优化模型中不具备凸性，约束了VaR在金融市场的应用范围。次可加性是一个很重要的性质，其经济学意义在于对于一个投资组合的整体风险至多不超过所有投资产品风险的总和。只有当所有的投资产品风险来源和表现都相同时，投资

28、组合的整体风险与所有投资产品风险的总和相同，其它情况下，整体风险都严格小于风险总和，这是检验一个投资组合风险度量是否是相合的一个重要标准。因此VaR在分散风险方面有不足之处，学者们一直在VdR基础上，寻求更加理想的风险度量方法或工具Aftzner等在1999年嘲提出的风险度量的公理化体系为这项改进提供了新的道路。公理化要求风险测量满足相容性(coherent)条件，包括正齐性、变换不变性、单调性和次可加性。定义1风险度量设V是一实值随机变量集合，满足下列条件的函数P：yR被称作风险度量：单调性：X,YEV,Y苫X号pssp(X)次可加性：x,y,x+YEV净p(X+y)sp僻)+p00正齐性：

29、XEV,hO,hXEV与p(hZ)=hp伍)变换不变性：XEV,dER辛p(X+口)一p僻)一口(1作为VaR的改进，ConditionalVdR(CVdR),ExpectedShortfall(ES)n叼等风险度量方法被提出来了，它是基于分位数风险度量的很典型一类的方法CVaR方法是指损失超过VaR的条件均值，也称为平均超额损失，它代表了超额损失的平均水平，反映了损失超过VaR阀值时可能遭受的平均潜在损失的大小，较之VaR更能体现潜在的风险价值CVaR满足致性风险度量标准的四个公理，因此是一致性风险度量CVaR的计算可以通过构造一个功能函数而转化为一个凸函数的优化问题，在数学上易4第一章绪论

30、于处理，并且在计算CVaR的同时，相应的VaR值也可同时得到。后来，Palmquist、Uryasv、Krokhmal(1999)探讨了关于CVaR的约束问题，并对投资组合最优化问题进行了研究ES与CVaR方法没有本质区别，特别当随机变量的分布函数是连续函数时，ES与CVaR等价ES与CVaR都是一致性的风险度量。事实上，ES是最小的满足相容性要求的风险度量u引。一般来讲，投资者对于风险的偏好是不同的。对于只依靠VaR或CVaR等风险度量工具求得的投资组合不能反映出投资者的风险偏好，未必能够满足所有投资者的风险规避要求。所以，引入一个用来刻画投资者风险偏好的效用函数n纠61是有必要的。当然，不

31、同投资者的效用函数也有所差异，研究表明，一般人的效用函数都是上凸型的保守型效用函数，即风险厌恶的。因此，在投资组合中引入上凸型效用函数，在一定程度上可以体现投资者对风险的规避要求。2002年，由Acerbi提出的谱风险度量(SpectralRiskMeasures)嗍，它是一个关于收益分布函数分位数的加权平均值。权重函数是一个满足允许性的，可以反映出投资者的风险态度的函数。谱风险度量除了满足相容性的四条公理化条件之外，还满足规律不变性和共单调可加性n71。而且，由SRM构成的空间是完备的M,即：任何满足相容性、规律不变性和共单调可加性的风险度量均是SRMOSRM的优点不仅表现在理论方面，凡是满

32、足许可性条件的谱都可以用来构造SRM。而且，在实际应用中，通过谱函数构造，能够很好地反映投资者对风险的厌恶程度。目前，在谱函数的构造过程中，对谱函数所需要满足的条件尚缺乏深入细致的讨论，基本上是研究者主观地进行选择与应用。在实际的使用中，指数风险厌恶函数n町、截断函数n钉和利用顺序统计量直接构造的谱函数都已经很好地应用于各金融领域中。另外一种度量方法称之为失真风险度量(DistortionRiskMeasure，orDRM)，它首先被应用于保险当中DRM的思想是将一个失真函数作用于投资组合收益的分布函数上，从而调整风险的概率分布，并进一步有效地改变风险的允许概率，给高风险事件赋予更高的权重。其

33、形式为：gn+wpl(X)4_J二xd(fe工Xx)t【l一厂(1一目o)】出+工厂(1一巳o)出其中，是失真函数，是一个非减凹函数，满足，(0)。0，(1);1。对于失真函数的选择，比较有代表性是Wang一transform咖1，其失真函数为f(p)；量【皿1p)A】，p$【0，1】。5第二章建立一个风险度量的基础一theExpectedShortfall第二章建立一个风险度量的基础一theExpectedShortfall在VaR的基础上寻找一致性的风险度量，但同时不能与VaR相差太多。在这部分将进一步考察VaR的定义，在这个定义的基础上将得出一致的风险度量。2.1进一步考察VaR定义2口

34、一VaR在未来一段特定的时期T内，口e(0,1)是一个选定的置信水平，玩go=infxIj0)口)t一吼(x)表示给定置信水平下一个持有期内的最坏预期损失晗订可以看出VaR的本质是一个分布函数某一置信水平下的分位数YaR将风险概括为一个简单的数字，拥有如下优点陇3：1)YaR可以测量不同市场因子、不同金融工具构成的证券组合的总体市场风险暴露；2)由于VaR提供了一个统一的方法来测量风险，因此为高层管理者比较不同业务部门的风险暴露大小、基于风险调整的绩效评估、资本配置、风险限额设置等，提供了一个简单可行的方法；3)YaR概念简单、理解容易。给出了一定置信水平下、特定时间内，证券组合的最大损失，比

35、较适宜与股东、外界沟通其风险状况；4)VaR充分考虑了不同资产价格变化之间的相关性，这可以体现出投资组合分散化对降低风险的贡献；5)特别适合监管部门的风险监管。巴塞尔银行监管委员会规定YaR作为风险度量的工具，使得VaR得到了广泛的应用。但是，VaR也有很多缺陷：1）它是一种向后看的方法一对未来的损失是基于历史数据，并假定变量过去的关系在未来保持不变，显然，许多情况下，这不符合实际；2）VdR是在特定的假设条件下进行的，如数据分布的正态性等，有时这些假定与现实可能不符；3）VdR的计算有时非常复杂；4）YdR只是市场处于正常变动下市场风险的有效测量，它不能处理金融市场处于极端价格变动的情形，如

36、股市崩盘等。理论上讲，这些缺陷的根源不在VaR自身，而在于其所依据的统计方法；5）VaR不是一致性风险度量。因为它不满足次可加性，这就意味着用VaR来度量风险，证券组合的风险不一定小于各证券风险之组合，这与风险分散化的市场现象相违背，从经济意义上讲是不合理的；6）VaR不一定满足凸性，故在基于VaR对证券组合进行优化时，可能存在多个局部极值，对整体优化，在数学上难以实现，这是将VaR模型用于投资组合研究时的主要障碍；7）YaR只依赖于单一的损失函数的分位数，虽能以较大概率保证损失不超过之，但不能表明损失一旦超过VaR这种极端情况发生时的潜在损失的大小（尤其是在厚尾时），并且容易通过特定的、狡诈

37、的交易策略操纵和篡改要报告的YaR值。6北京化工大学硕士学位论文2.2VaR的改进：theExpectedShortfall和ConditionalVaR针对VaR的缺陷，一个改进的方法便是用口一加以的某个估计值代替分位数的值。很自然就想到用100a%最坏情况的均值来代替分位数的值。定义3aExpectedShortfall在未来一段特定的时期T内，ae（o，1）是一个选定的置信水平已咒）=0口）一1C露1冲捌表示100a%最大损失的平均值。（2.1）从ES的表达式（2.1）可以看出，ES是一个分布函数尾部的均值。需要注意的是，定义中平均的界限是一个概率阀值口，而不是损失阀值ES计算了超过10

38、0a%最大损失的平均值，而不是超过某一分位数的平均值。在这一点上，可以将ES与CVaR区分开。定义4CVaR在未来一段特定的时期r内，口e（0,1）是一个选定的置信水平，CVaRoe（xIxVaR表示给定其损失严格超过其VaR值的条件期望损失。从CVaR的表达式（2.2）可以看出，CVaR是尾部损失的均值，它将所有大于VaR的损失值计算在内，因此它对尾部损失的度量是充分的。事实上，ES与CVdR的差别很小，当分布函数连续时，ES与CVdR等价。（2.2）性质11如果概率分布函数B0）是连续的，则哦）=CVdRO）。为了简单起见，我们仅研究最）连续的情况，因此ES与CVaR等价。2.3ES的一致

39、性性质2对于任何口$【0,1】，任何x,】，ES是次可加的，即：ESa（X）+ESoO0苫ES。体+y）证明见附录。性质3ES是单调的，正齐次的和变换不变的。证明：对于任何pE0,1】，任意X,】，若Y乏X号耳10）之巧10）因此碱（y）（1口）一I巧1P冲苫ESo（x）0（1一口）一1J。F。一1（p）dp7第二章建立一个风险度量的基础theExpectedshortfall若JI1苫0辛巧：（p）=Jl巧1（p）因此巩m）=（1口）一Z硭。冲=J1砜o）；（1口）一1J：F。1（p）dp若YaER辛巧：。（p）；巧1Q）+口因此eso（x+口）=0口）一I巧乞（p）dp=0口）一1J：F.

40、1（p）dp+口推论ES是一致性风险度量。2.4ES的估计与计算2.4.1ES的离散化估计设随机变量X的F1个等概率样本IXk.kJ，定义其经验分布函数为碟o）Pxsz卜=万1；N1墨“要在此经验分布的基础上计算Es的值，先引入顺序统s.sXWW。计量，置*也.W,使得X1：sX2：jIr。【1则，Esy，僻）=一而1善Na置w（2.3）其中【Na表示Na的整数部分。性质4如果随机变量x有经验分布函数硭o）=ex1sz2专；1蜀一，则1N1xm）五帅州）如果W口为自然数，则矶（x）一志善置W性质5令B是随机变量x的一般分布函数，碟是由独立同分布的样本置k.,所得的经验分布函数，醪，(x)是由经

41、验分布函数计算出的ES,则对于大数N,ES(f)(x)8北京化工大学硕士学位论文Es(x)的一致估计，即嬲，(x)呻ESo(x)o性质6如果随机变量x的分布函数为碟。)=PXVdRy(X)=VdR8W(x)=五NpJ+埘sz；万1乏N1五。,贝V性质7令兄是随机变量x的一般分布函数，掣是由独立同分布的样本五f。“所得的经验分布函数，玩硝(工)是由经验分布函数计算出的口一VaR,如果砌吃仁)=VdR(x)，则对于大数N,阮碟，(x)是的妇R(x)一致估计，即玩硝，似)呻VdRo(X)；如果肠见僻)一VaR。僻)，则肠碟，伍)不收敛，而是在wno(x)断。VaR(x)之间间2.4.2ES的线性计算

42、方法设，,Y)是关于决策向量x和随机向量y的一个损失函数(】【，Y加黑表示向量)，其中zW瞅，WR”x可以理解为投资组合，用X表示可行投资组合集合；Y代表不确定性，例如：可以反映损失的市场参数。当损失为负数时，表示收益。对于每个x损失函数f(x,),)是一个关于y,在R上存在分布函数的随机变量。设Y在R“上分布的密度函数为p(y)。事实上可以证明这种方法不需要P(y)的具体表示式。函数妒(x,fl)2正(埘瑚p(y)方表示损失函数厂G,.),)不超过阀值声的概率。固定决策向量x,作为卢的函数妒O,fl)是损失关于x的累计分布函数。这个函数完全决定了随机变量，也是定义VaR和CVaR的基础。妒O

43、,声)是一个关于声非减，右连续的函数。由于概率的跳跃性缈O,fl)不需要左连续。为了简单，假设概率分布函数没有跳跃，即妒O,fl)关于声出处连续。对于损失函数随机变量x和任一概率口W(O,l),玩吃，C肠吃的值可以用成)，丸O)表示：9第二章建立一个风险度量的基础.theExpectedshortfall成o)=min恤WR：妒o,/3)N口，九o)=(l口)一1(,)：以(，)f(x,y)p(y)dy由于妒O,)关于卢连续、非减，成(x)实际上是使得妒，卢)一口的的非空区间的左端点。而使得妒O,p)口的卢可能不唯一，所以要选择最小的那个；第二个式子中f（X,）,）芑成0）的概率是1一d,因此

44、九（X）表示损失不小于成（x）的条件期望。这种方法的关键在于将成0）和九0）联系到一起，定义SXxR上的函数兄co,）=声+（1一a）一la【，o,y）卢】+p（y）dy其中当，“；t,t0I。定理1的函数乞0,卢）是凸函数，且连续可微。对于任何xEX，损失函数（24）CVaga可由以下式子表示：Co（x）=m蚀in只0,卢）。设的最小值可以得到，定义以0）=argmin只，卢）是一个非空的，有界闭区间。损失函数VaRa可以表示为成x）以0）的左端点。特别有，成（x）eargminC,）九（灭）=只0,成0）。易见，定理中公式的优点在于疋似）是一个连续可微的凸函数，使得它可应用于最小化的数值问

45、题。更让人高兴的是，可以省去计算复杂的Vag.直接计算CVaR。的值，而砌疋也可以附带产生。有很多方法可以计算兄0,）定义中的积分，例如根据Y的密度函数p（y），将其分布函数样本化，设样本变量为M,y:。以，E,）相应的近似为t（九）=户+石1面毫【舷儿）卅+只0,卢）是一个凸的，关于线性的函数。E（2.5）定理2对于xeX，损失函数CVaRa的最小化问题等价于0,/OEXxR，最小化0,）的问题，即嘧九0）=km卢彤inR只0,声）10北京化工大学硕士学位论文0,p，）满足等式右边最小化当且仅当x+满足等式左边最小化且声以）。特别地，当区间以0）收敛到一点时，,）产生一对0，,+）使得x，最

46、小化vago“，卢）EXxR、。，、。，J卢给出相应的砌R。而且，当f（X,）,）对X是凸时，E0，卢）对0,卢）凸，gpo（x）对凸，在这种情况下，若约束使得X为凸集，则联合最小化问题rainF、规划。.一“，芦）EXxR11第三章谱风险度量第三章谱风险度量3.1谱风险度量的建立ES是一致性风险度量，司。以作为产生一类新的风险度量的基础，事实上以这类单参数族作为基础扩展出一类更大的风险度量是很自然的。为了建立一类新风险度量，先给出以下性质。性质8令肛，f；1”J1是风险度量，贝V其任何凸组合p；S；atn,其中q$R+,ilJl,q1,仍是风险度量。类似的，令以，&$【口，6】是一个单参数族

47、的风险度量，贝V由任何【口，6】上的测度du（a），满足Cd）1定义的统计表达式p2J=d他）成是风险度量。这个性质的几何意义是很明显的。欧几里德空间中两个点的凸组合张成了两个点之间的线段，n个点的凸组合张成了包含这n个点的最小凸多面体。根据性质8,以ES为基础产生新的风险度量。引入测度dlt（a）,口G【0,1】，在适当的可积条件下：”芦（x）=fdpES（。）似）=1d蛞巧p）勿只要满足标准化条件（3.1）J：口d肛（口）_1M（X）是风险度量。根据FubiniTonelli定理交换积分顺序有：（32）肘p（x）fooV；（p）dPf.dU（a）多（p）露。冲一M,（x）其中妒（p）a（3

48、.3）fd）是一个递减的正风险谱（riskspectrum）。上面关j=d1t（a）的标准化条件转化为关于妒的标准化条件1oS（p）一J：却fdJ1）zJ：d心）r勿一J：d净=1（3.4）因此，对于满足标准化条件（3.2）式的任何测度du（a），都能找到由（3.1）式定义12北京化工大学硕士学位论文的风险度量，且对应着满足才（p）=f=d）的风险度量（3.3）。性质9谱风险度量，op蜊AESooqm的凸组合生成的风险度量满足：”缸（x）=cF.So（X）0c堰才（p）巧卩冲其中cE（0,1）,驴一o,1卜mR是满足以下条件的映射：1,正的：妒（p）0对于所有的p$【0,1】.（35）2，正则

49、性：.：才p）咖=13,单调性：爹（见）s驴（p：）对于所有的0s上条件。事实上，ES是最小的满足相容性要求的风险度量n阳plsP：sl更进一步，若由（3.5）式定义的风险度量是一致性风险度量的充要条件是c,妒满足以3.2谱风险度量的性质谱风险度量M.是一致性风险度量集合中的一个子集，除了满足一致性风险度量的四个性质，M.还有一些独特的性质。性质10协可加性给定两个随机变量X,y,满足协单调性，即它们可以用同一个随机变量z的非减函数表示，X；/（z），Y=g（z），厂，g非减，则谱风险度量是协可加的，M争僻+y）eM何）+M妒（y）。协单调性是两个随机变量x,】，间最强的依赖关系。如果两个随机

50、变量X，y是协单调的，则它们的值会随事件一起增大或减小，如果X的左尾事件发生，同时】，左尾事件也会发生，更一般的，若对x,y进行随机抽样，得到样本x,办，独立的P分位数会同时出现，OPx郇仁）营Y=qp00。这时风险度量不能在这个两个变量间分散风险。协单调性不是谱风险度量的充分条件，VdR,ES。也满足协可加性。性质11法则不变性给定两个随机变量x,Y，若满足瓦（）一日（.），则谱风险度量满足M,体）=M妒）一Mp（忍（.）。第三章谱风险度量法则不变性保证了一个风险度量可以用样本数据估计。事实上，对于独立同分布的随机变量X,Y，若风险度量JD（X）定p（Y），设pW，是以x,y的样本计算出的P

51、的一个估计，则PW不可能收敛于JD。法则不变性使得谱风险度量能够在实际金融市场广泛应用。3.3风险谱函数的设计3.3.1效用函数与风险厌恶系数效用是对人们消费某些产品的相对满意程度的度量，而消费者的选择正是建立在效用的基础上。在不确定的情况下，需要用期望效用来度量满意程度。定义5期望效用如果事件发生的概率为P,x、Y为两个收益值，那么将此事件记为【p；x；Y】。定义6函数u（【p；x；Y1）一pV（x）+（1p炒（y）称为【p；x；Y】的期望效用函数，其中U为效用函数。效用函数曲线的形状很多，但常见的效用函数曲线有如下几种。（1）直线型效用函数曲线如图3.1所示，此效用函数曲线表明：收益与其效

52、用成线性关系，他对任意的口(0V口VI),有Uaml+(1-a)m2】一&U沏1)+(1d)v(坍2)其中，11和m,是任意给定的两个收益值，上式表明：收益期望值的效用等于收益效用的期望值。收益效用期望值最大的行动也必是收益期望值最大的行动。因此，此持有直线型效用函数曲线的决策者，是对风险无所谓的人，这种人对风险大小在态度上表现无所区别。所以对这类人就没有必要去寻求效用曲线了，他可直接用效用期望值来选择最优行动。上凸型效用函数曲线如图3.2所示，此类效用函数开始时效用值增长较快，随后增长速度越来越小，根据上图函数的性质，对任意的a(oV口Vn,有Uam_l+(1-a)，n2】aU(mO+(1-

53、a渺伽2)其中弧和m，是任意给定的两个收益值。根据两不等式两端的含义各构造一个行动：14北京化工大学硕上学位论文O，：以概率d获收益观，以概率1一d获收益m，；&，：肯定获收益6ofml+(1口咖2。那么此不等式表明：持有上凸型效用函数曲线的决策者总是选择行动d,因为行动d，的效用总是高于q的效用。容易看出，d，是有风险的行动，口：是无风险的行动，决策者往往对无风险的行动感兴趣，而对有风险的行动是厌恶的，他对亏损特别敏感，而对较大的收益反应迟钝，所以这类曲线又称为保守型效用曲线。调查表明大多数普通人在大部分时间里都是持此类效用函数曲线。晰8蝴咐啪%0(九)图3.1直线型效用函数Fig31The

54、linedrutilityfunction图3屹上凸型效用函数Fig32Theupperconvexutilityfunction下凸型效用函数曲线如图3.3所示，此类效用函数曲线开始时效用值增加较慢，随后增加速度越来越大，根据下凸函数的性质，对于任意的d(0V口V1),有，Udml+(1d)m2】Vdu帆)+(1d炒()其中，zl和m,是任意给定的两个收益值，若根据此不等式两端的含义构造如前一样的两个行动，那么此不等式表明：持有下凸型效用曲线的决策者总是选择有风险的行动吼，只要有一线希望，此决策者就敢于冒风险去争取高收益。础瓴卜0小(1,1,)Vo)O图33下凸型效用函数rig33The1o

55、werconvexutilityfunction15第三章谱风险度量消费者对风险有不同的偏好，有风险厌恶，风险中立和风险喜好三种类型，大多数投资者实际上都是风险厌恶型的，为了描述出投资者厌恶风险的程度，这就需要一个合适的量度去刻画投资者的风险厌恶程度。由于效用函数只在仿射变换的意义下唯一乜41,故需要另外一个量度。从直观上去分析个体期望效用的函数曲线，曲线如果向左上方凸得越厉害，则其风险厌恶程度越高。事实上，个体为风险厌恶(爱好)的充分必要条件是其期望效用函数为凸函数。而此时曲线凸向左上方，所以风险厌恶者总有Us0。另一方面，1u1的大小对应的是期望效用曲线的弯曲程度，IuI越大曲线弯曲的越厉

56、害瞄1。由此可以发现，期望效用函数的二阶导数在一定程度上可以反映出厌恶风险的程度，这一点也可以从Airrow与Pratt提出的绝对风险厌恶系数的概念中看出。定义7设u(c)为效用函数，则称刎M.(c),型盟.为绝对风险厌恶系数。定义8设【，(c)为效用函数，则称尉诅.(c).一型.为相对风险厌恶系数。UI(c)U.(c)风险厌恶系数是由效用函数来定义的，与收益大小有关。而风险谱函数中反映投资者厌恶风险程度的系数与损失无关，因此选择绝对/相对风险厌恶系数为恒值(与损失无关)对应的效用函数，并将此函数改造成风险谱函数。这样，谱函数中的系数就是刻画投资者对风险态度的绝对/相对风险厌恶系数。3.3.2

57、谱函数的设计指数风险谱函数在谱函数的选择上，首先从绝对风险厌恶系数入手，假定绝对风险厌恶系数为一个常数值”鬻靴。设y(c)；【，f(c)，则有：y卅号堂；.口出辛y,qe，y由此可得效用函数：U。旦e。”+口：。由此设定矽仞)=Ae叫1P,当Ao时，妒(p)在o,l上正的，单调递增，满足风险谱函数容许性的前两个条件，通过系数调整，使其满足第三个条件(即范数为1)。I.1=加坳一AJ：oedOp)印一言eaOp)B。_xo一e4)O116北京化工大学硕士学论文故可得：A；冬，所以最终的指数风险谱函数为：1一el妒p)=iaed7Op)绝对风险厌恶系数d的值越大，表示投资者越厌恶风险、从而对风险的

58、规避有更高的要求。可推导出相应的离散表达形式。设谚=Ae“1啬，其中A。显然，谚为正的和递增的，再由丫；谚。1可得：A了e“1孛。1辛A；L一：.其中N是历史数据的个数，即样本容量。争y.e训寺最终得到指数风险谱函数的离散表达式：卵菩sO)8,幂风险谱函数然后从相对风险厌恶系数出发，可以得到幂风险谱函数。设y(c)；ut(c)，令相对风险厌恶系数为常数，则有：一曩&=争二II一口一=争VcU2)由七：clija.当d=1时，距t口h(c)；由于函数U=In(c)不含参数，故不能反映出投资者：不laJ当a定1时，U:Lch。设定驴O)=(1p)4驴(p)在0,1上满足正的和递增的条件。根据范数为

59、1的条件，有：妒(p)(1a)(1p)(0VaV1)同样可以推导出相应的离散表达形式。设谚一A(1专)1，其中Ao。显然，或为最终得到幂风险谱函数的离散表达式：17的风险偏好。21IJ：I驴)1中I“(1一p)1印10当a)op)1。己七百1故A=(1一口)，由此可得幂风险谱函数的最终表达式：正的和一丫加1确A驴才1一面1第三章谱风险度量破；！晕叭删，Z；(1一专)”3.4谱风险度量的一致估计(3.9)谱风险的估计与ES的估计十分相似。同样考虑投资组合变量X的N个独立样本置X.。J及其经验分布函数碟o)=exsx)。专；h站1(3lo)假设已知谱风险度量的定义T0,1】上的风险厌恶函数妒，则可

60、以直接计算M击。定理3如果随机变量x有分布函数掣o),M妒如其定义所示，则M妒o)t丫置W谚，其中系数石=觑抛坳谚是区间【0D/N,f/W】上(p)的平均值。考虑到实际计算中，积分运算复杂繁琐，因此我们采用离散化的方法计算。对于自然数N,可以通过一个权重集合谚X.LJ来定义风险谱，当N_，概率P轴被分割成越来越小的1/N大小的区间，可以选取一个值代替这个平均值，这样就达到了离散化的目的。定理4若随机变量有如式(3.10)的经验分布函数，M是经验度量M(x)1一再置W谚则M二W是一致的当且仅当离散风险谱满足以下条件：(1)正性，对所有的f；1W，谚乏02正则性，善唬目1单调性，对任意1sfs，s