线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法

1、线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法本章主要内容与重点 典型响应的性能指标一阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 控制系统的稳定性和代数判据稳态误差的分析和计算线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法本章主要内容 本章介绍了控制系统时域性能分析法的相关概念和原理。包括各种典型输入信号的特征、控制系统常用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响应、脉冲响应函数及其应用、控制系统稳定性及稳定判据、系统稳态误差等。本章重点 通过本章学习，应重点掌握典型输入信号的定义与特征、控制系统暂态和稳态性能指标的定义及计算方法、一阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系统稳定性的基本概

2、念及稳定判据的应用、控制系统的稳态误差概念和误差系数的求取等内容。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法.1 典型响应和性能指标一.典型初状态线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法二典型外作用 1 单位阶跃1（t）图3.1 典型外作用1 t=0 0 t=00 t1称过阻尼，由上知，s1 ，s2为两个不等的负实根。=1 称临界阻尼，s1 ，s2为一对相等的负实根-n01称为欠阻尼，特征根将为一对实数部为负的共轭复数。=0称0阻尼，s1 ，s2由上可看出为一对虚实部的特征根a3a0,则系统稳定。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法3 劳思判据应用（1）劳思表不但可判断系统的稳定性，而且可以选择使

3、系统稳定的调节器参数的数值(分析参数对稳定性的影响)。（2）利用劳思表能判断特征根的位置分布情况。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法例1 试分析系统结构参数对稳定性的影响,系统的闭环传递函数为 式中，Kk为系统的开环放大系数。解：系统特征方程为 线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法列劳斯表，整理得假设T1=T2 =T3 ，则使系统稳定的临界放大系数Kk为=8。如果取T2=T3 ，T1= 10T2 ， 则使系统稳定的临界放大系数变为Kk。由此可见，将各时间常数的数值错开，可以允许较大的开环放大系数。 线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法例2:结构图如图所示,试分析取何值能保证系统稳定.解

4、:求系统特征方程线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法建立劳思表: 线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法根据劳思判据,要保证系统稳定,劳思表第一列的系数应大于0.例3:系统结构如下图所示,求能保证系统稳定的局部反馈系数kf的数值。系统结构图线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法方法 1: 线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法特征方程: 即: 根据劳思判据 kf0 线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法另一种方法: 线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法系统特征方程: 根据劳思判据 kf 0线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法例4 确定系统稳定的K、T

5、值。解: 系统的特征方程为列出劳斯表要使系统稳定，第一列元素的符号均应大于零。由此得则稳定条件为： , 0 K 线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 例5：设系统特征方程为 ，试判别系统的稳定性，并分析有几个根位于垂线 与虚轴之间。 解：列出劳斯表。劳斯表第一列无符号变化，所以系统稳定。令 代入原特征方程，得到如下特征方程：劳斯表中第一列元素符号变化一次，所以有一个特征方程根在 垂线右边。 线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 例6:已知系统的特征为: 试判断使系统稳定的k值范围,如果要求特征值均位于s=-1垂线之左。问k值应如何调整?线性系统的时域

6、分析法和稳态误差计算方法解:特征方程化为: 列劳思表:线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 所以使系统稳定的k值范围是 若要求全部特征根在s=-1之左,则虚轴向左平移一个单位，令s=s1-1代入原特征方程,得: 整理得:线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法列劳思表:第一列元素均大于0,则得:线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法4.两种特殊情况 情况1:劳思表中某一行的第一个元素为0,其它各元素不全为0,这时可以用任意小的正数代替某一行第一个为0的元素。然后继续劳思表计算并判断。 例:线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 当很小时, 则系统不稳定，并有两个正实部根。 情况2:劳思表中第k

7、行元素全为0,这说明系统的特征根或存在两个符号相异,绝对值相同的实根,或存在一对共轭纯虚根,或存在实部符号相异,虚部数值相同的共轭复根，或上述类型的根兼而有之。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 此时系统必然是不稳定的。在这种情况下,可作如下处理。 (1).用k-1行元素构成辅助方程. (2).将辅助方程为s求导,其系数作为全零行的元素,继续完成劳思表。 例:系统的特征方程为：线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法列劳思表:列辅助方程线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法第一列符号改变一次,有一个正实部根,系统不稳定。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法解辅助方程得：解得符号相异，绝对值

8、相同的两个实根和一对纯虚根 可见其中有一个正实根。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法3-5 稳态误差的分析和计算 稳态性能是控制系统的又一重要特性,它表征了系统跟踪输入信号的准确度或抑制扰动信号的能力。而稳态误差的大小,是衡量系统性能的重要指标。一.误差和稳态误差 1.定义: e(t)为系统误差,Cr(t)为希望输出,c(t)为实际输出。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法稳态误差: 系统的静态误差与系统的结构有关,还与输入信号的大小及形式有关。而系统的稳定性的只取决于系统的结构。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法2.稳态误差的计算(1).拉氏变换的终值定理 当输入信号为 时,可用终

9、值定理计算静态误差,谐波(正弦,余弦)输入时不能应用此定理。(2).根据误差定义求稳态误差的方法 a.求误差响应传递函数线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法b.误差响应的象函数c.误差响应的原函数d.求极值 即为稳态误差。 如系统同时存在输入信号和扰动信号,则系统误差的求法如下：R(s)N(s)E(s)+线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 为系统对输入信号的误差传递函数, 为系统对扰动信号的误差传递函数。 则: 例:已知系统的结构图如下,试求系统在输入信号r(t)=t和扰动信号n(t)=-1(t)同时作用下系统的稳态误差ess线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法解:理想情况偏差信号E(

10、S)0， 则系统在输入信号作用下的希望输出为：2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 对于扰动信号N(s)而言,理想的情况就是扰动信号引起的输出为0,即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。 系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输出为:G1(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G2(s)线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法则R(s)和N(s)引起的系统误差为:线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 在本题中,首先要判断系统的稳定性,如果系统不稳定,不可能存在稳态误差。特征方程为:线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法即:所以系统稳定

11、。根据推导出的公式:线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 系统的误差与系统的结构有关,还与外作用(输入信号,扰动)的大小及形式有关。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法二.输入信号作用下系统稳态误差的分析 只有输入信号作用时,系统的误差为: 假设系统为单位反馈,则 开环传递函数线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 当=0,1,2分别称为0型系统,型系统,型系统(一般不大于2) 则 线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法将kp,kv,ka定义为稳态误差系数。阶跃输入下用kp 表示 为位置误差系数。速度输入下用kv表示 为速度误差系数。加速度输入下用ka表示 为加速度误差系数。 线性系统的时

12、域分析法和稳态误差计算方法系统静态误差系数稳态误差型别 0型型型前提:单位反馈H(s)=1线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 提高系统的型别,增大系统的开环增益,都会提高系统的精度,但这样又会降低稳定性,必须综合考虑。 例:某控制系统的结构图为 试分别求出H(s)=1和时系统的稳态误差。-线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法解:当H(s)=1时,系统的开环传递函数为则系统稳态误差当时,线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 若上列在H(s)=1时,系统的允许误差为0.2,问开环增益k应等于多少? 当 时,上例的稳态误差又是多少? 因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大,根

13、据叠加原理,ess=线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法三.扰动作用下系统稳态误差的分析 理想情况下,系统对于任意形式的扰动作用,其稳态误差应当为0,但实际上这是不可能的。 如果输入信号R(s)=0,仅有扰动N(s)作用时,系统误差为:线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 扰动作用下的稳态误差,实质上就是扰动引起的稳态输出的负值,它与开环传递函数 G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号N(s)有关,还与扰动作用点的位置有关。r(t)=0-C(t)(a)线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法r(t)=0-C(t)(b)线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 作用点不同,稳态误差也不

14、同。 在扰动作用点之前的前向通路中增加一个积分环节用 （比例积分调节器）代替r(t)=0-C(t)(b)线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 提高扰动作用点前的积分环节个数和增益,可以减小或消除扰动引起的稳态误差,但同样会降低系统的稳定性。 综上所述,为了减小输入信号引起的稳态误差，可以提高开环传递函数的积分环节个数和增益。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以提高扰动作用点之前传递函数中积分环节的个数和增益。而这样都会降低系统的稳定性，而提高开环增益还会使系统动态性能变差，有些控制系统既要求有较高的稳态精度，又要求有良好的动态性能，利用上述方法难以兼顾

15、。为此我们用下列方法减小和消除稳态误差。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法四.减小和消除稳态误差的方法 1.按干扰补偿. 如果加于系统的干扰是能测量的,同时干扰 对系统的影响是明确的,则可按干扰补偿的 办法办法提高稳态精度。G2(s)Gn(s)G1(s)C(s)R(s)E(s)N(s)-+线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法在扰动作用下的输出为:完全消除扰动对系统输出的影响。增加补偿装置，使系统的稳态输出不受扰动的影响，也就是系统在扰动作用下的稳态误差为0。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法例:系统输出:-R(s)=0N(s)C(s)补偿装置放大器滤波器线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法 若选 则系统的输出不受扰动的影 响,但不容易物理实现。因为一般物理系统的传递函数都是分母的阶次高于或等于分子的阶次。 如果选 则在稳态情况下,这就是稳态全补偿, 实现很方便。线性系统的时域分析法和稳态误差计算方法2.按给定输