单自由度系统的振动及matlab分析

1、单自由度系统的振动及matlab分析摘要：以弹簧质量系统为力学模型,研究单自由度系统的特性有着非常普遍的实际意义。根据单自由度振动系统数学模型，利用Matlab软件设计了单自由度振动系统的数学仿真实验。通过实验可以得到单自由度振动方程的数值关键字：有阻尼自由振动、有阻尼自由振动、matlab正文：无阻尼自由振动:如图所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述：图1mx+kx=0(11)k令2=，方程的通解为nmx=asint+bcost(12)nn式(1-2)表示了图示(1)中质量m的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。式(1-2)中，a、b为积分常数，它决定于

2、振动的初始条件。如假定t=0时，质量块的位移x=x0其速度x=x0=V，则V1-3)x=-sint+xcostwn0n或写成1-4)IVA=j(-)2+x2wonxw，9=atan”V0其中A为振幅，w为振动圆频率，9为相位角，f二/（2兀）（赫兹）称为固有频率。nnn固有频率与外界给予的初始条件无关，它是系统本身所具有的一种重要特性。有阻尼自由振动图1所示的自由振动中，由于系统的能量守恒，如果振动一旦发生，它就会持久的，等幅的一直进行下去。但是，实际上所遇到的自由振动都是逐渐衰减而至最终停止的，即系统存在阻尼。阻尼有相对运动表面的摩擦力，液体与气体的介质阻力，电磁阻力以及材料变形时的内阻力等

3、。图2所示为考虑了阻尼的单自由度振动系统模型。其运动微分方程为mX+cX+kx=0令=2n上=w2,则mmnx+2nx+w2x=0n其通解为(2-1)2-2)IIx二e-nt(cen2_w”2+c2e“22)1式中C、c2为积分常数，由振动初始条件确定。令E称为相对阻尼系数或阻尼率。则式n2-3）可写为x二e-”t（cew”八E2-1+c1由此可以讨论阻尼对系统的自由振动产生的影响。ie-wnt，飞2-1)22-4)一、当E1时，称为强阻尼状态此时，式(1.2.2-4)可写成2-8)x=ce(-g+吃2-1)/+ce(-g-：g2-1)121Vo+(g+花2-i)xo2、屯2-1n-匕+&+花

4、2-1)X0C=0n_02C=0n_0-12花21n由于g2-10，故式(2-8)中二项指数皆为实数。又因为21，故二项之指数皆为负值，所以，式(2-8)所表示的是一根指数递减曲线。这表示系统将不再产生前面所述的振动，而是产生一按指数规律衰减的曲线。三、当g=1时，称为临界阻尼状态由于E=1,n，则有TOC o 1-5 h znn HYPERLINK l bookmark28 c=2m=2m=2.-km(2-9)cnm这里cc为临界阻尼状态下的阻尼系数，称为临界阻尼系数。显然它是系统本身所具有的特性之一。ncc由=及c=2m，有=。也就是说，相对阻尼系数g(阻尼率) HYPERLINK l b

5、ookmark32 2mcncnnc反映了系统的实际阻尼与临界阻尼的关系。在临界阻尼状态下，有x=e-n(c+ct)(2-10)12其中c=x,c=V+x。显然，在这种状态下不能形成振动。1020n0有阻尼自由振动响应计算与MATLAB实现根据式(2-7)、(2-8)、(2-10)编写的程序如下：functionVTB1(m,c,k,x0,v0,tf)%VTB1用来计算单自由度有阻尼自由振动系统的响应%VTB1绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图%m为质量;c为阻尼;k为刚度;xO为初始位移;vO为初始速度;tf为仿真时间%VTBl(zeta,w,x0,v0,tf)绘出单自由度有阻尼自由振动

6、系统的响应图%zeta为阻尼系数；为固有频率%程序中z为阻尼系数;A为振动幅度;phi为初相位clc%该循环确定输入方式是VTBl(m,c,k,xO,vO,tf),还是%VTB1(zeta,w,xO,vO,tf)ifnargin=5z=m;wn=c;tf二vO;vO=xO;xO二k;m=l;c=2*z*w;k=w2;endwn=sqrt(k/m);%固有频率z=c/2/m/wn;wd=wn*sqrt(l-z2);fprintf(固有频率为%.3g.rad/s.n,wn);fprintf(阻尼系数%.3g.n,z);fprintf(有阻尼的固有频率%.3g.n,wd);t=O:tf/1OOO:t

7、f;ifz1A=sqrt(v0+z*wn*x0)2+(x0*wd)2)/wd2);phi=atan2(xO*wd,vO+z*wn*xO);x=A*exp(-z*wn*t).*sin(wd*t+phi);fprintf(A=%.3gn,A);fprintf(phi=%.3gn,phi);elseifz=1al=xO;a2二vO+wn*xO;fprintf(al=%.3gn,al);fprintf(a2=%.3gn,a2);x=(a1+a2*t).*exp(_wn*t);elseal=(-vO+(-z+sqrt(z2-l)*wn*x0*wn*x0)/2/wn/sqrt(z2-l);a2=(v0+(

8、z+sqrt(z2-l)*wn*x0)/2/wn/sqrt(z2-l);fprintf(al=%.3gn,al);图4fprint(a2=%.3gn,a2);x=exp(-wn*t).*(al*exp(wn*sqrt(z2-l)*t)+a2*exp(wn*sqrt(z“2-1)*t);endplot(t,x),gridxlabel(时间(s)ylabel(位移)title(位移相对时间的关系)运行该程序时，只需要给出相应参数，例如VTBl(l,0.05,l,l,l,100)则显示固有频率为=1(rad/s),阻尼系数g=0.03，幅值为A=1.43相位角为nphi=0.773。其响应曲线如图(4)所示。程序中if语句就是判断E大小的，即判断是弱阻尼状态、强阻尼状态还是临界阻尼状态。如果运行VTB1(1,2,1,0.1,1,20),则显示固有频率为=1(rad/s)，阻尼系数g=1。其响应曲线如图(5)所示。如果要想求出振动的速n度x(=xd)和加速度x(=xd