齐次化和标准化证明舒尔不等式和缪尔海德定理

1、齐次化和标准化证明舒尔不等式和缪尔海德定理3.1齐次化许多不等式的难点在于约束条件，如 ab 1 , xyz 1 , x y z 1 . 一个非 齐次对称的不等式可以变换成齐次的，然后采用两个有力的定理：舒尔不等式 和缪尔海德定理。我们从简单的例题开始：【试题24设a,b为正实数，且a b 1,证明：工工(3 1) TOC o 1-5 h z a 1 b 13【解析】利用约束条件a b 1 ,可以将不等式齐次化.2.22.2如.1abab3 a 1 b 1 (a b)a (a b) (a b)b (a b)a2(a 2b)b2(2a b)a32a2b2ab2b3(a b)(2ab)(a 2b)

2、(ab)(2ab)(a2b)a2 (a b) ab(a b) b2(a b) a2 ab b2(a b)(2a b)(a 2b)(2a b)(a 2b)即：(2a b)(a 2b) 3(a2 ab b2),即：2a2 5ab 2b2 3a2 3ab 3b2即：a2 2ab b2 0,即：(a b)2 0可见通过齐次化，化简，我们将(3 1)化简成式，而式显然成立。等号当且仅当a b二时成立。2定理3.1 :设a1,a2h,b2为正实数，且 a1 a2 b1 b2 , max(a1,a2) max( b1,b2).设x,y为非负实数，则有：xa1 ya2 xa2 ya1 xb1yb2 xb2yb

3、i(3 2)皿：不失一般性，我们假设a1 a2, b1 b2, a1打如果x或y为0, (3 2)式显然成立。所以，我们假设x和y两者非0.由 a a2 b1 b2 得：a 1 a2 (b1 a2)(b2 a2)即四个量都减a2得到。易得：乂为京 xa2 ya1 x，yb2 xyb1第1 页xa2 ya2 (xa1 a2a? a2 a a2x 2 y 2(x i 2a ia2 bia2 b2a2a2 bia 2y 12x 12y 22x 2 2 y 1 2aia2b1a2b2a2b2a2biaxa2 ya2 (x(bi a2)(b2 a2)(bi a2) g az)bi a2 b2yx ya2

4、xb2 a2 yb1 a2 )a2 a2 bi a2x 2 y 2 (x 1 2b1ao、/ b7a?b7a? y 12)(x 22y 22)（注：原题这里的式是:1(xbiybi)(xb2xa2 ya2yb2)0有误）对式，当x y 0 时：(xbi a2 ybi a2)(xb2 a2 yb2即:bi b2 x 1 yb2 bix 2y 1即:即:故：xa1 ya2即：xai ya2x y 时：(xbia a2a2 a1x 1 y 2 x 2 y 1y 0 时，(xbia a a a1x 1 y 2 x 2 y 1a2 aibi b2x 2 y 1 x 1 y 2xa2 yaixbi yb2

5、ybib2 yybib2y2b2 bix 2 y 1a2 )(xb2b2 bix 2y ia2 )(xb2b2x 2 y0.xb2ybi. (3bia2yb2 a2 )a2yb2 a2 )2）式成立。证毕。y i 2 x 1 2y 2 2 x吸 2y 1备注:什么时候定理3.1的等号成立?现在，介绍两个求和符号和cyc sym定义:设：P（x, y,z）为三个变量x,y,z的函数,P(x, y,z) cycP(x,y,z) P(y,z,x) P(z,x,y)(33)P(x,y,z) symP(x,y,z) P(x,z, y) P(y,z,x)P(y, x, z) P(z, x, y) P(z,

6、 y,x)(3 4)由于（3 3）式是三个变量的单循环，即按序循环一周,故是三个式子之和；而（3 4）式是三个变量的复循环，共有 P33 3! 6,是六个式子之和。【例如】x3y x3y y3zz3x ,为三项之和;cyc3x y symx3y x3z y3z y3x z3x z3y , 为六项之和;3 xcyc333xyzx3sym2(x3y3为六项之和;xyzcycxyzyzxzxy3xyz ,为三项之和;xyz symxyzxzyyzxyxzzxyzyx6 xyz ,为K项之和。【试题25】设x,y,z为非负实数，且0 xy yzzx2xyz727本题即2.3增函数定理中的【试题【解析】

7、利用条件xyz1 ,我们将不等式归化为齐次不等式。(xy yz zx)( xy z) 2xyz由于:(xy yzzx)(x y z)x2 y xyzzx222xy y z xyz22xyz yz z x3xyz222x y zx xy22y z yzz2x23xyz x ysym故：(xy yz zx)(x yz) 2xyzxyz2x ysym则左边的不等式等价于：0 xyzsym(xy yz zx)(x yz）的项数:3 3=9项，其中3xyz2xyz xyz .右边的不等式（xyyz zx)( x7y z) 2xyz 27 (x yz)3即：xyzx2ysym；7（x 丫 第即：7(x y

8、 z)3227(xyz x y) 0sym而：(x y z)3322z3( x y x zz2y)6xyzx3 eye2 c3 x y 6 xyz sym共3 3 3 27项代入式得:7 xeye21sym2y42xyz27xyz27x2ysymx3eye15 xyz6 x2y 0sym即简化为:i37 xeye15 xyz 6sym鉴于:7 x3eye15xyz6x2ysym2x3eyex2ysym3xyzx3eyex2ysym易证：2 x3eye2x y , 3xyz sym3 xeye2 xsym注意到:o 322 x x yeye sym/ 3 (xeye3 y )eye/ 2(x y

9、2 xy )(x eyexy2) 0而不等式3xyzx3eyex2y可以写为:symx(x eyey)(xz)式是舒尔不等式的特例。齐次化后，有时就可以看到证明不等式的正确方法。【伊朗1998】对所有的x,y,z 1,且。-1 2,证明:xyzxyz x 1 y 1 z 1(35)在2.2代数换元中的【试题16就是本题。【解析】采用代数换元：a 1 ,x(3 5)式变为：旧I,1bbice这里，a,b, e (0,1),b e 2.利用约束条件a b c 2,我们可以将不等式化为齐次不等式:1ab c)(a11)b c即：(a b c)(111)abc采用柯西-苏瓦茨不等式得:111111(a b c)(abc)(b c a) (c a b) a b