能量守恒定律

1、第四章 能量守恒定律 功 动能定理 势能 功能原理 机械能守恒定律研究力的空间积累作用主要内容：一、功 功率 动能 动能定理恒力的功：力在位移方向上的分量与该位移大小的乘积。FABs变力的功：物体在力F 作用下发生元位移时，力所作的元功。ab功是标量合外力的功各分力对物体所作功的代数和。功率：描述力对物体作功快慢的物理量。 数值上等于单位时间内所作的功。平均功率：瞬时功率：能：作功的能力或本领。动能：物体由于运动而具有的能。设 是变力任意点P，切向应用牛顿第二定律drabP质点的动能定理：合外力对物体作功等于物体动能的增量力对空间的积累是使质点的动能改变。说明功是物体在某过程中能量改变的一种量

2、度，是过程量；动能是物体具有速度而具有的作功本领，是状态量。动能例 质点M在力F作用下沿坐标轴ox运动，如图。力F 的大小和方向角随x的变化规律分别为：F=6x，cos =0.70-0.02x (SI)，试求质点 从x1=10m处运动到x2=20m处的过程中，力F所做的功。解：xyox1x2FM力F在位移元dx上的元功说明： 功反映力在空间的累积效应，动能定理是关于过程的规律；功是物体在某过程中能量改变的一种量度，过程量A可用状态量EK 表示，为解决问题提供方便。 功与动能的大小与参考系有关， 但动能定理与参照系的选择无关。 动能定理只适用于惯性系。子弹和墙之间这一对力做的功? =0？滑块与槽

3、之间这一对摩擦力做的功? =0？一对力的功RMm 内力（成对）是否作功由是否发生相对位移来判断。一对力作功与参考系的选择无关。一对内力之和为零，但内力做功不一定为零。om1m2（一对力）A1始B1末B2A2相对位移结论：两质点间的一对内力所做的功等于其中一个质点受的内力沿着该质点相对于另一质点移动路径的线积分例：摩擦力做功以斜坡为参考系：以物体为参考系：一对内力功的计算：选择其中一个质点为参考点，计算另一个质点相对参考质点运动时内力做的功对m1:对m2:两式相加 系统动能的增量等于质点系内各质点所受的外力的功和内力的功的代数和。说明：现在的对象是质点系而不是质点。例如：爆炸，人的跑步，都是内力

4、做功 质点和质点系的动能定理只适用于惯性系。质点系所 受和外力做功的说法没有意义。 内力能改变系统的总动能，但不改变系统的动量 功和动能与参考系的选择有关，但动能定理与参考系 的选择无关，是绝对的。质点系的动能定理例：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向离开大物体 时速度 v ，求 (1)重力的功（2）内力所做的功。水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒:RabDC解 （1）重力只对小球做功对m，用动能定理：对M，用动能定理：只有m的重力做功有m所受内力功，又有M所受内力的功0对系统用动能

5、定理：RabDC重力的功弹性力的功万有引力的功保守力的特点：保守力作功，其功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路程无关。保守力作功二、势能mox1x2xOXYmgABhahb重力的功: 弹性力的功：重力做功与路径无关，只与质点间的相对位置有关。弹力做功与路径无关，只与质点间的相对位置有关。LBA设t 时刻 m2 相对 m1 的矢径为 t+dt 时刻质点m2 相对 m1 的矢径为 在此过程中元功为m1指向 m2 的单位矢量万有引力的功：当 很小时LBA万有引力做功与路径无关，只与质点间的相对位置有关。定义：如果一对内力做功与路径的形状无关， 而只决定于相互作用的质点的相对位置。 保守内力

6、，简称保守力常见的保守力的例子还有：两个点电荷间的库仑力；重力以及弹簧的弹力性质：1） 保守力属于系统， 是系统内力重力地球和质点库仑力两个点电荷弹簧的弹力弹簧和质点保守力2）保守力沿任何闭合回路的线积分等于零。LBAm2 沿路径L 从A 运动到B 的过程中，万有引力所做的功Lm2 沿路径L从B运动到A的过程中，万有引力所做的功任取一路径Lm2 沿闭合路径L + L 由AB A 的过程中，万有引力所做的总功LBALL LLL保守力的定义式与保守力相对的称为 耗散力，如摩擦力。势能的概念是在保守力概念的基础上提出来的，只要质点的始末位置一定，保守力所做的功就一定了。功是受力质点始末位置的函数能否

7、找到一个位置的函数，使这个函数在始末位置的增量恰好等于质点由初始位置运动到末了位置时保守力所做得功？势能例如前面两个质点的万有引力做功的例子存在一函数这一函数取决于两个质点间的距离 ，当两质点的距离由 变化到 过程中万有引力做的功就等于存在这样一个物理量，它是表示系统位置状态的函数，该物理量在两个不同的位置状态的差值，等于系统从初始位置状态变化到末了位置状态保守力做的功定义：把这一由系统的位置状态决定的函数 系统的势能函数，简称势能记作用 和 分别表示相应于系统位置状态A 和B 的势能，由A 变化到B 过程中，保守力做的功为势能的定义式讨论1) 上式实际上只定义了势能差，要确定系统在某一位置状

8、态的势能就必须选定某一位置状态作为参考位置状态，并规定此参考位置状态的势能为零把这一参考位置状态称作势能零点选定了势能零点，任一位置状态P 的势能表示系统在位置状态P 的势能等于系统从位置状态P 变化到势能零点，保守力做的功所以势能只有相对意义，某一位置状态的势能值总是相对于选定的势能零点来说的2） 势能属于相互作用为保守力的系统， 谈论一个质点的势能是没有意义的。而势能零点可以根据问题的需要任意选择两个位置状态的势能差与势能零点的选择无关3）系统的势能函数是由系统的位置状态决定的， 所以势能是一个状态量 势能是瞬时量4） 与一定保守力相对应的势能的增量等于保守力所作功的负值系统的势能增加系统

9、的势能减少5）一种保守力必对应一种势能函数 几种常见的势能函数万有引力势能重力势能弹性势能选无穷远为势能零点选地面为势能零点选弹簧的自由状态为势能零点EPxEp=mgx重力势能EPx弹性势能斥力引力EPr势能曲线说明了什么？势能曲线由势能曲线1.可求出保守力场中各点所受力的大小和方向2.可定性讨论运动情况及平衡的稳定性。势能曲线能告诉我们什么？EPx弹性势能力f 指向势能下降的地方。总能量EEPx弹性势能OEPEEpEEPEEp=EEp=EE=Ek+EP;Ek恒大于零作高度代表总能量大小E的水平直线。x1x22.可定性讨论运动情况及平衡的稳定性。因此具有能量为E的质点运动范围是(x1x2),图

10、中质点所不能达到地段都用虚线表示E1EPxABC势阱势垒E2再来讨论任一一维势能曲线图中质点所不能达到地段都用虚线表示不稳定平衡点稳定平衡点是势能极值点，势能最小同时保守力在这点为零，即在A点质点不受力势能最小动能最大势能等于总能动能为零在势能曲线的稳定的平衡点附近，质点可能围绕它作小振动；势能等于总能动能为零稳定平衡点斥力引力EPr质点运动的范围质点运动的范围随遇平衡： 物体处于平衡位置附近的任何位置时，作用于物体的力恒为零。平衡位置在势能曲线所含的一段水平直线上EpxOx0势能曲线能告诉我们什么？势能曲线能说出物体的运动特征！判断稳定的平衡点；在势能曲线的稳定的平衡点附近，质点可能围绕它作

11、小振动；由系统的总能量可判断质点可活动到的范围。可求出保守力场中各点所受力的大小和方向。势能的定义：保守力沿某一给定r 方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿r 方向的空间变化率的负值。由势能求保守力（1）引力势能： 为质点的矢径方向r, 则引力沿 方向的分量为（2）弹性势能：取 方向为伸长方向x, 则引力沿x方向的分量为一般来说：例：双原子分子的势能与原子间距离r的关系 可表示为：上式是Lennard-Jones势的一种形式。试求由此决定力与距离的关系、平衡位置和平衡性质。解：EpoxxoFr0r0平衡位置由 决定平衡性质由 决定稳定当系统由状态1状态2时外力的功与非保守内力的功的总和等于

12、系统机械能的增量。三 功能原理 机械能守恒定律系统的功能原理内力的功Ain: 保守内力的功Ain,cons， 非保守内力的功Ain,n-cons注意： 1 判断内力或外力与所选择的系统有关 2 Aex是作用于各物体的外力作功之和，而不是合外力的功 3 避免保守内力作功Ain,cons与势能EP重复计算由功能原理：如果一个系统内只有保守力作功，其它内力和一切外力都不作功；或者它们的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能总值保持不变。 机械能守恒定律当：机械能守恒定律物质运动形式是多样的，对应的能量形式也是多样的：机械能、热能、电磁能、光能、原子能等等。十九世纪四十年代发现普遍

13、的能量守恒定律。“能量可以从一个物体传给另一物体，或从一种形式转化为另一种形式，但所存的能量总和保持不变”。能量守恒定律是一条具有最大普适性的定律，机械能守恒定律只是能量守恒定律的特例之一。能量守恒定律例:一条质量为M，长为L的匀质链条放在一光滑水平桌面上，开始时链条静止。长为l 一段铅直下垂。解:取链条、桌面、地球为系统,系统机械能守恒.求:整个链条刚离开桌面时的速度。 xlL-l对心碰撞（正碰撞）与斜碰撞：（1）（2） e：恢复系数 （与材料形变程度有关）四、碰撞碰撞定律m1m2v2v1f1m1m2f2m1m2v10v20完全非弹性碰撞（机械能有损失）完全弹性碰撞（机械能不损失）非弹性碰撞（机械能有损失）由（1）、（2）式：可以证明：（1）在完全弹性碰撞中，机械能守恒；（2）而非弹性碰撞（包含完全非弹性碰撞）机械能损失，且机械