概率论与数理统计练习册

1、第一章 概率论的基本概念基础训练I一、选择题.以A表示大事“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，那么其对立大事不为：(D )。A)甲种产品滞销，乙种产品畅销；B)甲乙产品均畅销；C)甲种产品滞销；D)甲产品滞销或乙种产品畅销.2、设A,8,C是三个大事，那么AuBuC表示(C )。A)都发生；B)都不发生；C) A, 8, C至少有一个发生；D) A, 8, C不多于一个发生3、对于任意大事A8,有P(A 8)= ( C )oA) P(A) P(B) ；B) P(A)-P(B) + P(AB)；C) P(A) P(AB) ；D) P(A) + P(B) - P(AB)。4、5个人进行不放回抽签测试，

2、袋中5道试题(3道易题，2道难题)，问第3个人 抽中易题的概率是(A ) oA) 3/5；B) 3/4；C) 2/4；D) 3/10.5、抛一枚硬币，反复掷4次，那么恰有3次消失正面的概率是(D )oA) 1/16B) 1/8C) 1/10D) 1/46、设 P( A) = 0.8, P(B) = 0.7 , P(A|8) = 0.8,那么以下结论正确的有(A )。A) 相互独立；B) A,5互不相容；C) BA；D) P(Au3) = P(A) + P二、填空题L设A,8,C是随机大事,那么大事“A、B都不发生，C发生”表示为型J “ 至少有两个发生”表示成少BuACdBC o.设A、3互不

3、相容，尸(A) = 0.4,尸(Ad5) = 0.7,那么尸(3)= 0.3 :.某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的 一种，那么同时订这两种的住户百分比是：30%；.设204) =2(3) =。(。)= 1/4,2(43)=2(30 = 0,。(40 = 1/8,那么 A、B、C 三件事至少有一个发生的概率为：5/8；.假设A、3互不相容，且P(A)O,那么P(5/A)=Q；假设A、3相互独立，且P(A)O, 那么尸(8/A)=P(8) o6、 P(3) = l/3, P(叫A) = 1/4, P(A|3) = l/6,那么 P(A3)=1/18。三

4、、计算题.从一批产品中取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回)，以4表示“第，次取到的是合格品，试用Ai表示。=1,2,3)以下大事：1)三次都取到合格品；2)三次中至少有一次取合格品；3)三次中恰有两次取到合格品；4)三次中至少有两次取到合格品；5)三次中一次也未取到合格品；6)三次中至多有一次取到合格品；解：1) A1A2A3； 2) AluA2uA3； 3) Al A2A3 u Al A2A3 o A1A2A3 ；A1A2A3 u A1A2A3UA1A2A3 u A1A2A3 = Al A2 u Al A3 u A2 A3 ；AluA2uA3 = AlcA2cA3 = 4L42A3；

5、 6) AlA2uAlA3uA2A3.设P(A) = l/3,尸(3) = 1/2。在以下三种状况下求尸(8而 的值:AB = M 2) AuB； 3) P(AB) = l/8o解：因 P(BA) = P(B)-P(AB)P(BA) = l/2； 2) P(BA) = P(B)-P(A) = l/6； 3) P(BA) = 3/8O.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即患病水灾。设某 时期内甲河流泛滥的概率为0.1;乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥 的概率为0.3,试求：(1)该时期内这个地区患病水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河 流泛滥的概率

6、。解：设A二甲河流泛滥, 5二乙河流泛滥,由题意，该地区患病水灾可表示为AuB,于是所求概率为：P(AuB) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A)P(B/A)= 0.1 + 0.2-0.1x0.3 = 0.27P(A/B)= =。=9 = 0,15 P(B) P(B) 0.2.有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为0.2、0.3 0.5,求：1)至少有一门火炮命中目标的概率；2)恰有一门火炮命中目标的概率。解：设A、B、。分别表示甲、乙、丙火炮命中目标，那么P(AuBuC) = l-P(ABC) = 1 P(A)P(B)P(C)

7、 = 1-0.80.70.5 = 0.72P(ABC JABC JABC) = P(ABC) + P(ABC) + P(ABC)=P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) = 0.475、有三个外形相同的箱子，在第一个箱中有两个正品，一个次品；在其次个箱中有三个正品, 一个次品;在第三个箱中有两个正品,两个次品.现从任何一个箱子中，任取一件产品,求取到正品的概率。解：设Bi=从第i个箱子中取到产品 (i=l, 2, 3),解取得正品。由题意知。=B1+B2+B3 , B1,B2,B3是两两互不相容的大事。P (B1)=P (B2)=P (B3)=1/

8、3, P(A|Bl)=2/3,P (A|B2)=3/4,P (A|B3)=2/4=1/2由全概率公式得P (A) =P (Bl) P(A|B1)+P(B2) P (A | B2) +P (B3) P(A |B3)=0. 64 (或23/36).6.商场某产品由三个厂家供应，产品次品率分别为0.02、0.0K 0.03,销售份额分 别占0.15、0.80 0.05,现消费者由于产品问题提出索赔，但由于保存不善标志缺失，假 如你是商场负责人，想将这笔索赔转嫁给厂家，如何分摊最合理？ 解：设A表示产品为不合格品，与。=123)表示产品是由第，个厂家供应的，由题可得:p(4)= 0.15, p(B2)

9、 = 0.80, p(B3) = 0.05 ,p(A|4)= 0.02, MA忸2)= 0.01, M姻)=0。3由全概率公式:p(A) = p(A| Bx)p(B1) + p(A B2)p(B2) + p(AB3)p(B3) = 0.0125 由贝叶斯公式：P(周 A)=p(A 同)p(5)p(A)0.0125= 0.24(层 |A) = 0.64p(B3A) = 0A2.由上可见，比拟合理的安排比例应为：0.24：0.64：0.12,即6：16：3.基础训练n一、选择题.大事A 豆又可表示为(C )A) A-B B) A-AB . C) AoB D) A-AB.设P(A3) = 0,那么有

10、(D )A) A和B互不相容；B) A和8相互独立；0 P(A) = 0或P(B) = 0； D) P(A-B) = P(A)。.设A和3互为对立大事，那么以下不正确的结论为(B )A) P(8/A)= 0；B) A 和 B 独立；C) P(A/B) = 1；D) P(A + 8) = 1。4、设大事A,3是两个概率不为零的互不相容大事，那么以下结论正确的选项是(D )A) ,，月互不相容；B) 与后相容；C) P(AB) = P(A)P(B) ；D) P(A-B) = P(A)。.某人射击时，中靶的概率为3/4,假如射击直到中靶为止，那么射击次数为3的概率为 (C )A) (3/4)3 B)

11、 (3/4)2 Xl/4 C) (l/4)2X3/4 D) (3/4)3.假如P(A)0,P(3)0,P(45) = P(A),那么以下结论不正确的有(D )A) P(B | A) = P(B) ； B) P(A | B) = P(A)；C) 相容；D) 互不相容。二、填空题.设4表示第i次命中目标。= 123),那么A凡4逆大事为：.设大事A,3互不相容,且尸(4)= ,尸(3)=夕,那么尸(才豆)=1一2一4。3,设相互独立，P(A) = 0.2、P(B) = 0.4,那么 & A uB) = 0.52 ；.设 A3为随机大事，P(A) = 0.7,P(A 5) =。3，那么 P(Xu8)

12、=2&5、设 P(A|3) = 0.3,P(3|A) = 04P(W) = 0.7,那么 P(B)= 0.4。6、设P(A) = 0.3, P(AuB) = 0.6,那么：(1)假设A乃互不相容，那么P(3) = 0.3 ;(2)假设A, 8相互独立，那么P(5)=3/7。三、计算题.设AB为两个大事且P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 ,那么1)在什么条件下P(AB)取最大值，最大值是多少？2)在什么条件下P(A3)取最小值，最小值是多少？解：P(AB) = P(A) + P(B) - P(A u B),) 当 AB时P(AuB)最小，P(AB)取得最大值： P( A) + P(B

13、)- P(A dB) = P =0.62)当P(Au8) = 1时，P(A8)取得最小值为0.3。. P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, P(AB) = 0.5,求 P(3 | A U 历。版 p/ai a 一小 P(43) P(A)-P(AB)1解： r(n AkJn)=-=-=P(AuB) P(A) + P(B)- P(AB) 1-03 + 1-0.4-0.5 4.设A,3是两个大事,P(A) = P(B) = l/39 P(AB) = 1/6,求尸(A|B)。解：P（AB） =P(AB)嗝1 - u B) _ 1 - P(A) - P(B) + P(AB) l-P(B)l-P

14、(B)712.甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们需要工人看管的概率分 别为0.1、0.2 0.15,求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。解：设A、B、。依次表示三台机床需要人照管，依题意可知A、B、。相互独立,P(A) = O.1, P(B) = 0.2, P(C) = 0.15P(AuBuC) = l- P(ABC) = 1-P(A)P(B)P(C) = 0.388P(AB uBCd AC) = P(AB) + P(BC) + P(AC)- 2P(ABC)= 0.1*0.2+0.2*0.15+0.1*0.15-2*0.1*0.2*0.

15、15 =0.0595、某厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、 35%,它们的不合格率分别是5%、4%、3%. 2%,现从中任取一件问恰好取得不合格品的概率是多少？解：设A:取出的为不合格品，Bq第，条流水线生产。P(BJ = 15% ,P(B2) = 20%9 尸(83) = 3。, P(B4) = 35%PA A)= 5% , P(A 层)=4% , P(A B3) = 3%, P(A B4) = 2%所以 P(A) = 5%xl5% + 20%x4% + 30%x3% + 35%x2% = 3.15%6、三个箱子，第一个箱子中有3个黑球一个

16、白球，其次个箱子中有2个黑球3个白球，第 三个箱子中有3个黑球2个白球，求：(1)随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球, 这个球为白球的概率是多少？ (2)取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是多 少？解:设大事A表示“取出一球为白球”，身表示“取到第i只箱子”，i = 1,2,3 ,那么P(用)=1/3。311325由全概率公式得： P(A) = P(Bi)P(ABi) = -(- + - + -) = - ,=J 4 D D1Z由贝叶斯公式得：(2)I A)=3Ml %)5122475综合训练一、填空题.设AB为任意两个大事，那么以下关系式成立的是(D )0A) B) - B =

17、 A； B) (AoB)-Bo A ；C) (A =D) (AuB)-Bc Ao.对大事AB,以下命题正确的选项是：(D )oA)假如互不相容，那么不，后也互不相容； B)假如相容，那么1,8也相容;C)假如A,8互不相容，且P(A)0，P(5)0,那么相互独立；D)假如相互独立，那么不，豆也相互独立.每次试验的胜利率为p(Op 1),独立重复进行试验直到第几次才取得r(lrn) 次胜利的概率为：(B )oA) C：pF p)T；B)C)D)C=；pZ(lp严.4.设大事同时发生时，大事C必发生，那么正确的结论是(B )oA) P(C) P(A) + P(B)-1 ；C) P(C) = P(A

18、B)；D)P(C) = P(AuB)o5.设互不相容,且尸(A)0,P(3)0,那么以下结论正确的有(C )oA) P(BA)0；A) P(BA)0；B) P(A|3) = P(A)；C)。(陋=0；D) P(A3) = PG4)P(3).二、填空题.从1、2、3、4、5五个数码中任取3个，组成没有重复数字的三位数，那么这三位数是 偶数的概率为咨,.设 P(A3) = P(而，且 P(A) = p,那么 P(5) = l p；.假设KU(l, 6),那么方程一 +依+ 1 = 0有实根的概率是 4/5 ；.设大事 A, B , P(A) = 0.7, P(B) = 0.5, P(B A) =

19、0.4,那么 P(A u B) = 0.72 ；5假设一批产品中一、二、三等品各占60%, 30%, 10%,从中随机取出二丽结果不是三 等品，那么取到的是一等品的概率为2/3。三、计算题一1.矩形3/):12,1人-,即 a+4b0a 4(1)1 3 15由打算的区域与矩形相交区域的面积S= ( + ) = ,故所求概率为 2 4 28P(A) =P(A) =5/8125 162.某地区一工商银行的贷款范围内,有甲乙两家同类企业,设一年内甲申请贷款的概率为0.25,乙申请贷款的概率为0.2,当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为0.1,求 在乙未申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率。解：设

20、A表示甲申请贷款，5表示乙申请贷款，由题意可知：P(A) = 0.25； P(B) = 0.2 ； P(B|A) = 0.1,p(a|b)= i-p(a|b)= i-p(a|b)= i-p(a|b)= i-P(AB)P(8)P(A)P(B A)(1-0.25)(l-0.1) 5I I一 l-P(B) 1-0.2 32 3、玻璃杯成箱出售，每箱20只。任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、 0.1和0.1,某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随便取一箱，而顾客随机地观察4 只，假设无残次品，那么买下该箱玻璃杯，否那么退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中

21、，没有残次品的概率。解：设大事A表示“顾客买下该箱”，身表示“箱中恰好有M牛次品”，=0,1,2,那么P(4)= 0.8, P(用)= 0.1, P(B2) = 0.1fP(A| 叫)= 1, P(* 与)=鼻=：，P(AB2) = = o1)由全概率公式得：2412p(A) = ZP(g)P(A|g) = 0.8xl + 0.1x + 0.1x = 0.94；i=o5192)由贝叶斯公式：= 0.85。P(为 | A)=.（敏感问题调查）在调查家庭暴力（或吸毒、婚外恋等敏感问题）所占家庭的比例时， 被调查者往往不愿回答真相，这使得调查数据失真，为得到实际的p同时又不侵害个人隐 私，调查人员将袋中放入比例是Po的红球和比例是% =l-p0的白球，被调查者在袋中任 取一球窥视后放回，并承诺取得红球就讲真话，取得白球就讲假话，被调查者只需在匿名调 查表中选“