学会从特殊角度入手解决有关数论的赛题

1、智浪教育普惠英才文库PAGE PAGE 3学会从特殊角度入手解决有关数论的赛题一. 例题选讲例1. 设整数，满足，试证：，都是完全平方数. 证：显然，必同为零或同不为零（1）若，则，此时命题在立.（2）若，设（，）=,可令，（，）=1，由条件得 ，式也为，故，若 ，由得，不可能，则，又由条件 ，故，故命题得证例2. 对方程（）试证： （1）若,是（）的整数解，则,（）是也（）的整数解。 （2）方程（）的所有正整数解，都可利用（）由得到。证：（1），而，故，也是（）的正整数解。 （2）设，()的正整数解，现分三种情况进行讨论：若，则显然；若，则有，从而，设，代入上方程，得可，或2，又，故，此时，

2、满足；不妨设由（）得：，若取“”：，故，又，矛盾，故 即，这表明，若，也是是()的一组解，且，则由()产生一组新的解，使 ，若，两两不相等，则可更换顺序，使，由()得，使显然这种过程也不可能无限进行下去，因而，进行了有限次后，必将使所得到的，中至少有两个相等，从而成为、两种情况之一，也即可以从通过（）得到。附：由通过()，按递增的顺序可得下表：z 1 2 5 13 29 34 89 167 194 y 1 1 2 5 5 13 34 29 13 x 1 1 1 1 2 1 1 2 5 例3. 试求使为完全平方数的所有正整数， 解：设，则易证，（由）,，故，令，则由知，即，而， 令 ，是奇数，故

3、都是偶数，由知：，（，若，则，则，但，则与矛盾，则于是，则，即，（即），故为奇数，由 ，中第二个因式是个奇数的代数和，而为奇数，故和必是奇数。若，则这个代数和是不小于3的奇数，此时不成立。故，于是，此时二. 评讲数论竞赛题，特别是一些较高级别的竞赛试题，解题难度一般较大，如不细加分析，就会有“无从着手”的感觉。1. 一个竞赛命题往往包含有许多种情况，其中一些并非解题的难点所在，只有先排除这些情况，才能使我们在思考时把注意力集中于主要矛盾，有利于去发现难点和克服难点，最常见的次要矛盾有：（1）字母取特值时，从特殊到一般分析；（2）字母取零时的情况；（3）几个字母取值相等的情况；（4）一个字母整除

4、另一个字母的情况；（5）两个字母是否互素的情况（如利用互素性质，欧拉定理）2. 常见的入手方法有：（1）从“对称性”入手，当变量的全部字母或部分字母在命题中处于同等地位时可排除相等后，可在对称字母之间设置大小顺序；联想对称的结论和对称的解题方法；可固定一个字母的值，而仅对另一字母进行讨论。 （2）从特殊到一般的分析方法帮助理解较复杂和抽象的命题的题意；通过对特例的讨论和分析，对最后应出现的结论作出肯定或否定的估计和猜测，甚至直接得到结论。通过对特例的观察，发现问题的症结，甚至发现解题的关键步骤和技巧。 （3）取特殊的数为模解题：就是以为除数，依余数进行分类讨论的方法，优点在于：将讨论很大的数，

5、变为讨论小得多的数；讨论很多个数，变为讨论较少的数。利用这种同条关系解题时，常使用下面一些原则：若有，使，则；若，则对任意模，都有；若的值能取遍全部整数或全部正整数，则对任何正整数，能取遍的最小非负完全剩余系。以上原则，关键在于模的选取：奇偶分析法，即取模为2的解题方法；取除数或除数的因数；取4，8，3，5等；根据项的系数或幂的指数的情况取模。 （4）缩小取值的可能范围：通过讨论整除、互素、同余和有关不等式来缩小字母的取值范围，从而达到逼近结论的目的。三. 巩固例题例4. 以表示正整数的各位数字和的平方而，试求 解：先作粗略的估计：，,，由于是完全平方数，可设，因为对任意正整数，有,故,，即，但，故，而，7，16，25，注意到49，256，625这三个数的数字和均为13，故，故四. 课堂练习例5. 设正整数，使 其中，的最大者为，试确定，的值。 解：由柯西不等式得 ,由和与平方和具有要同的奇偶性，知而，故，（1）若，不防设，则，由知，又，而是完全平方数，若，则，而，故矛盾，同理，故；（2）由，而且，故完全平方数若，则（）（）由()知，1364是偶数，则，或者全是偶数，或者是两个奇数一个偶数。若是两奇一偶，则而矛盾，故，必须全是偶数，可设，且（，），则，由，若