概率论与数理统计第6章习题解答

1、一、第六章习题详解6.1证明()和(622)式. TOC o 1-5 h z _ 1 n1n证明：(1)y =z匕=Z(oXj+)=(x,+ 几 i=l i=ln i=l=a( X ,.)+ b = aX + b /=1 n _1 n_(2) s； =-X(yi-Y)2=-aXi+h-X+H -1 /=1n /=1二5(Xj又)2 =H i=1 _叱沁一刀设XI,X2,X”是抽自均值为、方差为o-2的总体的样本，与S2分别为该样本均值。 证明与 E(区)=Var(X) = a2/n.1 1 1证：E( X) = E (X + X2 + X) = E(X + X? + X)=()= 2Var(X

2、) = Var-X, + X2 + X) = + X。+ X)=，(/)= TOC o 1-5 h z 1N*f IN、i乙* 乙1_设%,X2，,X 是抽自均值为、方差为。2的总体的样本,S2=Y(XZ-X)2,101_证明： S2 = =(Yxf-nX2)(2) E(S2) = =a2- 1 /=i证：S2I_1_E(X：)-2 区Zx,+点 21 /=1 /=1 口.)-2意碣+疗1 nSXqE0X；-戒2)=q卒)-您声)=|皿+ I*区+ (*1汗2=00+八一5+2)7m“+；?)+2) n-(MCT2 -。2) =。2n-在例中，设每箱装n瓶洗净剂.假设想要n瓶灌装量的平均阻值与

3、标定值相差不超 过。.3毫升的概率近似为95%,请问n至少应当等于多少？解：由于尸(| X40.3) = 2(|上在|产=)p2中(0.3册)一1o 7n依题意有，2(0.3而 1 = 0.95,即(0.3五)=0.975 =中(1.96)于是 0.3册= 1.96,解之得 n = 42.7所以应至少等于43.假设某种类型的电阻器的阻值听从均值=200欧姆，标准差。=10欧姆的分布, 在一个电子线路中使用了 25个这样的电阻.(1)求这25个电阻平均阻值落在199至吃02欧姆之间的概率；(2)求这25个电阻总阻值不超过5100欧姆的概率.X- u解：由抽样分布定理，知一g近似听从标准正态分布M

4、。)，因此(J / yin(1)(1)P(199 二刀4202)忽0)(202 - 20010/V25)-0(199 - 20010/V25=0(1)-(一0.5) = 0(1)-1 + 0(0.5) =0.84131 + 0.6915 = 0.5328_ 5100-(2) PnX 5100) = P(X ) = P(X 204)204 20010/V25204 20010/V25)=0(2) = 0.97726.6假设某种设施每天停机时间听从均值 =4小时、标准差。=。.8小时的分布.(1)求一个月(30天)中，每天平均停机时间在1到5小时之间的概率；(2)求一个月(30天)中，总的停机时间

5、不超过115小时的概率.5 u 1 /5 41 4解：(1)P(1X5) 0(一、) - 0(一存)=屯(尸)一) (J14n a /0.8/V300.8/V30=0(6.85)-(-20.54)-115P(30X 115) = P(X 寸115/30 40.8/V30115/30 40.8/V30)=1(1.14) = 1 0.8729= 0.1271设T小 证明E(T) = 0, = 2,3, .证：分布的概率密度为:+iT5 + D/2品疝(n / 2)T5 + D/2品疝(n / 2)2,-oo t +ooE(T)= V xfxdx =J-00-n(+i)/2-0 V7?r(n/2)x

6、2Y2 7r+8 5 +1)/2ax-t=2 向(/2)x2Yx2t/(l + )nn 口( + 1)/21一几 y/yrnF(n / 2)(c1+I n)1-72T设总体XN(150, 252),现在从中抽取样本大小为25的样本，P140 X 147.5.解： = 150,。= 25, n = 25,P(140 X 147.5) (D(P(140 X 1.6) = 1 - P(X 1.6) 1-0(0.5/V100=1-0(2) = 1-0.9772 = 0.0228 P(X 1.3) (L3-上)=(_4) = 1-0(4) 1 1 = 0 0.5/V100P(L2 1 13) = 1 -

7、 P(X 13) 1 -0)(2/V5=1 (1.12) = 1 0.8686 = 0.1314(2)设样本的最小值为匕那么y = v山(X,X2，,X5),于是 p(yio) TOC o 1-5 h z =1 P(X| 10)P(X2 10)PCX. 10) I4J55IQ-12=ini p(x. 15) = 1-P(Z15)=1 P(X 15)P(X2 15)-P(X5 15)515125=1 n 0() = 1 n (1.5) = 1 (0.9332)5 = Q2923i=l 2i=l2由定理2,得（RS b6.11设总体XN（q2）,从中抽取容量样本X1,X）,X6，底为样本方差.计算

8、由于XN（出。2）,咐、j/d)S21(H-l)S2 八所以 E =72-1, D 2 =2(72-1),、O【b /于是 Eg?)：，D(S2) = 2a4 /(n-1).当 =16时，D(S2) = 2a4/159 且PS2 / o-2 2.04 = P1552 / cr2 30.615)= 1-0.01= 0.99 (Zo.ol(15) = 30.578).第六章样本与统计量定理、公式、公理小结及补充:（1）数理 统计的基 本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全 体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随 机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单

9、元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的局部样品，Z称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般状况下， 总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机 变量，这样的样本称为简洁随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，玉，2,乙表示n个随机变量（样本）；在详细的 次抽取之后，王，/，Z表示n个详细的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和 统计量设玉，,，七7为总体的一个样本，称（P =（P（凡，工2,，招）为样本函数，其中0为一个连续函数。假如。中不包含任何未 知参数，那么称 （项-，不）为一个统计量。常见统计量 及其性质样本均值匕n /=i样本方差s

10、=之区X)-样本标准差8 =上汽(玉-，)2.样本k阶原点矩1 Mk= x：,k = l,2,. Z=1样本k阶中心矩 M = Z(巧7yM = 2,3,. /=1-O-2E(X) = Q(X) =, nE(S2) = cr2, (S*2)=ZLzlb2, n其中S*2=之(X1又尸，为二阶中心矩。 Z=1（2）正态 总体下的 四大分布正态分布设玉，/，、 为来自正态总体NGA。？）的一个样本，那么样 本函数def X Uu=gN（0）.CT / yjnt分布设为，X为来自正态总体N(q2)的一个样本，那么样 木函数def X- LIz1、t-7=t(n 1),s 1 yjn其中t(n 1)表zb自由度为n 1的t分布。/分布设为，%，与为来自正态总体N(jn,cy2)的一个样本，那么样 本函数到 5-122W=2% ( 1)，(J其中2( 1)表示自由度为n-l的#2分布。F分布设玉，