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文档简介

1、2022/8/11第二章 极限与连续一、数列的极限及性质、存在准则二、函数的极限三、函数的连续、闭区间上连续函数的性质2022/8/12“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术:刘徽一概念的引入播放(一)、数列极限的定义和性质2022/8/13正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积2022/8/14战国时代庄周:庄子天下篇中“一尺之棰,日取其半,万世不竭。” 体现中国古代就有极限的思想方法。2022/8/15二、数列的极限1.数列的概念2022/8/16特殊的数列2022/8/17播放2.数列极限的定义2022/8/18问题:“无限接近”意味着什么?

2、如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:2022/8/192022/8/110如果数列没有极限,就说数列是发散的.2022/8/111几何解释:其中2022/8/112 具有任意性和稳定性的双重意义。 的任意性刻划了xn与A无限接近,同时 又具有相对稳定性,一经取定,它就确定了,这样用静态的形式|xnA|N表明了比N大的各项:xN+1,xN+2,.都满足|xnA|0,这样的N是否存在。3.一般地,N与任意给定的有关, 取得越小,相应地N就越大,如果N存在,这样地N不唯一。2022/8/114几何解释:2022/8/115例1证所以,2022/8/116例2证所以,说明:常数列的极限等于同

3、一常数.小结:用定义证明数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.2022/8/117例3证2022/8/118极限为0的数列称为无穷小量 .定义例如: 注意:不能把无穷小量理解为很小的量。2022/8/119例4证2022/8/120例5 证明: 应用二项式公式, 2022/8/121例5证法二2022/8/122证明令应用二项式定理即得到于是,取当时,成立例 6求证:2022/8/123例 7 证: 2022/8/124用定义证明 xn= a,就是证明对 0,N存在.证明的过程就是寻找 N 的过程.证明的方法是从分析 |xna| (n) ,解出 N适合不等式。由于N 不唯

4、一,故可把 |xna| 适当放大,得到一个新的不等式,再找 N。2022/8/125定理11. 保序性:二、数列极限的性质:注:定理1的逆命题不成立,如与2022/8/126证上两式同时成立,2022/8/127证明:(反证法)推论1(保序性)2022/8/128推论2(保号性)2022/8/129推论3(保号性)2022/8/130由定义,故收敛数列的极限必唯一证:定理2 收敛数列的极限必唯一.2、唯一性2022/8/131有界数列,否则,称之为无界数列. 定义则称之为.3、有界性2022/8/132证:注意:有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.定理4 收敛数列必有界.例如,

5、有界,但发散2022/8/133例2.证明下列极限2022/8/134例3证明极限2022/8/1351、割圆术:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”刘徽概念的引入2022/8/1361、割圆术:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”刘徽概念的引入2022/8/137“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术:刘徽概念的引入2022/8/138“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术:刘徽概念的引入2022/8/139“割之弥细,所失弥少,割之又割,以

6、至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术:刘徽概念的引入2022/8/140“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术:刘徽概念的引入2022/8/141“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术:刘徽概念的引入2022/8/142“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术:刘徽概念的引入2022/8/143“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术:刘徽概念的引入2022/8/1442.数列极限的定义2022/8/1452.数列极限的定义2022/8/1462.数列极限的定义2022/8/1472.数列极限的定义2022/8/1482.数列极限的定义2022/8/1492.数列极限的定义2022/8/1502.数列极限的定义2022/8/1512.数列

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