六年级分数裂项

1、分数裂项计算目教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其 变得更加简单明了。列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分, 是能力的体现，对学生要求较高。国皿任 知识点拨分数裂项型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项 的分子和分母，找出每

2、项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般 都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即,形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a b,那a b/后 1 I / 1、么有()a b b a a b(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：111, 1形式的，我们有：n (n 1) (n 2) n (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大关键特征：(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取2个分母上

3、的因数“首尾相接”出来即可转化为分子都是1的运算。(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻(3)分母上几个因数间的差是一个定值。“裂和”型运算:常见的裂和型运算主要有以下两种形式：22(1) S 3 H 1 1 (2)abababba a b裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时 还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的32 5256747 1111 1616 22 22 295 7【例1】例题精讲134【考点】分数裂项【关键词】美国长岛，小学数学竞赛4 5【难度】1562星【题型】计算【解析】原

4、式 111 1 L3提醒学生注意要乘以（分母135179）分之一，如改为:【答案】56【考点】分数裂项【解析】原式(110【难度】111、)()1111 12(5960)【答案】工12【考点】分数裂项【解析】原式【难度】111. L10 8 9【答案】15【考点】分数裂项611口3-5【题型】计算工工工10 60 12【题型】计算1123 10【题型】计算7151,、，计算过程就要变为:7 9【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项 开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有1(1 1) 12r

5、2原式1(1 2) 22L-100 110112 (1)1012001011班10199【答案】1 99101【考点】分数裂项50【答案】玉101【题型】计算【巩固】计算:2523125【考点】分数裂项【关键词】2009年,【解析】原式25迎春杯,1【难度】2星初赛，六年级【题型】计算L 2325252525 24 c122 25【答案】12【考点】分数裂项【关键词】2008【题型】计算原式年,25116台湾，小学数学竞赛，初赛500 5015011502211532计算:129【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算11292【解析】原式【例2】计算：（118 24【考点】分数裂项11117

6、711111111116 16 22 22 29111148 80 120 168【难度】2星1224）128288【题型】计算【关键词】2008年，101中学解析】原式（L2 4 4 6 6 84【答案】28-9【巩固】1工工L11116 18)1286 12 20 30 42 56 72 90【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为：,2【答案】25【考点】分数裂项【难度】6星【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛【题型】计算解析】原式1 1一1 L1 2 1 2 3 1 2 3 4【答案】74一

7、、一 1【巩固】计算：12【考点】分数裂项11111116 12 20 30 42 56 72【难度】3星190 -【题型】计算【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛【解析】原式-2【答案】10【巩固】工工10 40【考点】分数裂项1111(2 3344556111 )7 8 8 9 9 10)11188 154 238【难度】3星【题型】计算【解析】原式5【答案】341118 11 11 14 14 17【例3】计算:【考点】分数裂项【难度】3星12001 2003 2005【题型】计算【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试 一， 1【解析】原式141113 3 5

8、2001 20032003 2005答案1004003 口水 12048045【难度】3星【题型】计算【考点】分数裂项 【关键词】2007年，仁华学校 18 9144【解析】原式23367 9 16 1_18 -1 1332903 1.25 4 0.8例4 计算:1；【考点】分数裂项【关键词】第五届,C o 1，1234 -61220【难度】小数报，初赛原式L 2020焉112120【题型】计算：2008181200954120101081 201118012012 -270【考点】分数裂项【难度】2星原式 200820092010 2011 2012【题型】计算11

9、16 9 9 12112-15115 1810050计算:5412215【考点】分数裂项_2 j435 77【难度】2星【题型】计算原式5 3157 53511 7771011计算:11535 63工99【考点】分数裂项11143 1953星分析这个算式各项的分母,可以发现它们可以表示为:【题型】计算3 23,215 42 1 3 5,42195 14所以原式1 13111 11 1313 15715计算:11121920293097019702【考点】分数裂项【关键词】200898999900【题型】计算【解析】原式“一 1【答案】98100【考点】分数裂项年,四中2L1219900【解析】

10、首先分析出【题型】计算原式1 【巩固】计算：一1【考点】分数裂项【解析】原式124949【答案】 2949198001(r-2【巩固】计算:1 3 5【考点】分数裂项【解析】原式=1 31( 44098 99 100【难度】3星【题型】计算198 99 99 100)十5120 22 24【题型】计算119 21 23+2 4 6 + + 20 22 241 321 23) + 1(428160 +2 422104654)483211238625340032340032340032【答案】竺6型 340032【考点】分数裂项【答案】翌9603【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算解析99-1

11、 2 398100 1【难度】3星1001100【题型】计算11 2 31 2 32 31 2 32 3100 2100210012 3 42 3 42 3 42 3 42 3 43 497100 3100310013 4 53 4 53 4 53 4 53 4 54 51100 991009910099 100 101原式10099 10010010110099 100 10199 100 1011001 2 351【答案】24卫101【考点】分数裂项【难度】3星【解析】原式99 100 101991100 101100 101100 101【题型】计算 L 4 57 8 9 8 91011

12、9【答案】 2160【考点】分数裂项【解析】原式3 1 (3 1【难度】3星1【题型】计算117 18 1918 19 20)1139【答案】 U396840【例5】计算:1 2 3【考点】分数裂项198 9 10【难度】3星【题型】计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相同,而是成等差数列，且等差数列的公差为2.相比较于2, 4, 6,这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 一项的分子都分成 3与另一个的和再进行计算.3,所以可以先把原式中每3 3 16 L 1 2 3 2 3

13、48 9 10也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为巴32 3,再将每一项的n n 1 n 2 n 1 n 2 n n 1 n 2原式2n 3,所以2n 1 n 23 分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相同.n n 1 n 2【答案】2315【巩固】计算：1155 （217【考点】分数裂项8 9 10 9 10 11【题型】计算【关键词】2009年，迎春杯，初赛，五年级【解析】本题的重点在于计算括号内的算式:-L58 9 1019一-一.这个算式不同于9 10 11我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母 的差

14、或和的情况.所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式.观察可知5 2 3,7 3 4,即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 ，一，31所以原式1155 31 651.55（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法.由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为a nd ,其中d为公差.如果能把分子变成这样的形式，再将 分数，接下来就可以裂项了.112234131122203114220SS5所以原式 1155 31 651 .55a与nd分开，每一项都变成两个（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式1155 31 651 .55（法四）对于这

15、类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳.先找每一项的通项公式:2n 1an(n 2,3,，9)n（n 1）（n 2）如果将分子2n 1分成2n和1,就是上面的法二；如果将分子分成n和n 1 ,就是上面的法一.【答案】651巩固计算： 3 4 -1 2 4 5 2 3 5 6 3【考点】分数裂项【难度】3星5L46710 11 13 14【题型】计算【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 一项的分子、分母都乘以分子中的数.即：原式1 2 3 4 5 2 3 4 5 6125个连续自然数的乘积，所以可以先将每21210 11 12 13 14现在进行裂项的话无法全部相消，

16、需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：32原式1 5 4 , 42 2 6 424，523255 6 721210 11 12 13 14【题型】计算92 3 4L 1075【答案】-75- 616【考点】分数裂项【解析】原式工二1249【答案】36287993628800【考点】分数裂项【解析】原式1r-23 1 2【难度】4星4 13 12 3 4【题型】计算6 1456 1 2 3 4 5 6 750395040计算:2 _33! 4!【考点】分数裂项99.100!【难度】4星【题型】计算【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形

17、式,题目就豁然开朗了.原式1 2 3【答案】1 , 2 100!【考点】分数裂项99100【解析】原式=31) 31016【答案】也1275【考点】分数裂项1 (1 2)11 2100(1 2 L原式 1一 5049【答案】50495050【考点】分数裂项原式 1例6 55132 1【考点】分数裂项【关键词】仁华学校3星510-+(1 2) (199) (1 2 L1152 1100)L 100336【难度】46 10172 1192 11516-1)102 3)【题型】计算501225 127511+ (11225 1275【题型】计算J12 12 312 L 99 1 2 L【题型】计算1

18、0455512741275，所以1001112【难度】3星1_2132 1【题型】计算这题是利用平方差公式进行裂项:原式6)七)8 10(a b)(a b)，314计算:(1(1【考点】分数裂项132) (1【难度】12) (143星122(1原式12)23(112)24832，504911012)(12匕)152) L(11482)(11492)【题型】计算111T (1) (1)3331 50 252 49 49所以,【答案】2549【巩固】计算:【考点】分数裂项31LT2 T232722 33 4【难度】3星152227 8【题型】计算【解析】原式22F11223272223427332

19、48277286364计算:3235252【考点】分数裂项原式72【难度】25n99799719963212 计算：二2122423225221993219932199512.19951【题型】计算2121993 1221995【考点】分数裂项2 Q2【解析】21103可见原式22324i a1【难度】422023213星32-242424982992100225134151【题型】计算10由于320834152 99一 4751【答案】1984751 4950.E .12【巩固l计算：1 3【考点】分数裂项22325025 7【难度】99 1013星【题型】计算【解析】式子中每一项的分子与分

20、母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为22 1, 42 1, 621,1002 1,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,所以可以先将原式乘以 4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了.原式22落4262142162-10021002 1【答案】12里 101【考点】分数裂项,3【答案】10【考点】分数裂项【题型】计算【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中【解析】原式=35【答案】4【题型】计算6 7 3 6 1 1 1 1，一1【巩固】计算：1920【考点】分数裂项【解析】原式【难度】1 3 2 5 7 110213星1 15 311241935【题型

21、】计算1 2 11111158 5 7【答案】5【考点】分数裂项【解析】原式1 2【难度】3 111【题型】计算11 335734454756674考点】分数裂项【题型】计算解析】原式1301 131 41113 171171 14 301 113 414 311答案】21 7考点】分数裂项【题型】计算解析】原式91113 151057911 131517 1961220 30 425672 90【难度】3星【题型】计算2_33 4 4 5 5_66 7 7 8 8 9233 4 4 5 566 7 7 8 8 9875612 20 30 42 56138巩固】计算：1考点】分数裂项解析】原式1【题型】计算1 1【难度】3星11111910910一 3答案】35考点】分数裂项解析】原式答案】3考点】分数裂项解析】原式【难度】3 2 3 419181819【题型】计算19 20 2 .20 19 117192036192019答案】36 20考点】分数裂项解析】2008原式二20082008200812008120081(1 2007(11 2007 2008(1【题型】计算200720081(1(120071200712007200820072 200612 2