物质点法模拟一维杆件结构

1、应用物质点法对一维杆件进行动力分析张家齐 1610814010451基本方程考虑弹性半空间动力学问题，用张量表示的弹性波基本方程如下： TOC o 1-5 h z 运动方程V- o + pb=pii连续方程半+PV- v =0dt1应变率 = 2 Vv + (Vv)r 本构关系 = T : (4)在边界r上，满足本质边界条件与自然边界条件n - n = t(5)v = v(6)o表示柯西应力张量，U表示位移矢量，b表示单位质量体积力，n为边界法线方向，t为 边界域上外力，v表示边界域速度，P表示弹性介质的密度，()表示对时间的二阶导数。2物质点法分析杆件受力ZZ(t)7玄图1物质点法分析杆件受

2、力取虚速度6 v作为权函数，并考虑在速度边界处速度v给定，其速度边界上变分为0,应用jt -6vdr = 01r加权余量法，以及分部积分变换可以得到Jb -(V6v)dO+ J pu -6vdO- J pb -6vdO-1111OOO采用质点离散，连续体的密度可近似表示为(x ) = Zp m 6 (Xi - x )6 (x - x )=1p其他时p=1式中，七为离散物质点总数，mp为物质点p的质量。当x = xp时-x )=0。由于MPM法是将积分转换为所有物质点参数之和，变形为如下形式(x )-(V8v)+2m upp=1以6P 11p =1 TOC o 1-5 h z HYPERLINK

3、 l bookmark33 o Current Document 2m b G )-8v(x )-2m t s (x -1.8v(r )= 0p 1 ppp 1 pp HYPERLINK l bookmark30 o Current Document p =1p =1式中，应力比6 = % 和比面力边界ts = L ,假想层的厚度h = 1。带有下标P的量代表物11 P利用公式(10)更新背景网格单元节点上的动量值； 接下来将更新后背景网格单元节点上的信息再次映射到各物质点上，首先映射节点加速 度到物质点： P质点p所携带的量，h是将为了将式(9)左端最后一项化为体积分，而引入的假想边界层厚

4、度。由此可将积分形式的虚功方程(7)转化为有限项求和的代数方程(9)。物质点法求解动量方程时，采用更新拉格朗日格式，每个计算步内，物质点与背景网格固连，一 二者起运动，因此可采用建立在背景网格结点上的有限元插值形函数叫q )来实现背景 网格结点之间信息的映射，以下带下标，的量表示背景网格结点i上的变量。考虑任意场变量4，物质点和背景网格节点的插值关系可以表示为 i4 = pN (x %pi=1将(14)式代入(13)式，化简可得到空间离散格式：p = f ext + f intAt为计算时间步长，式中，背景网格结点的动量为p =mv考虑集中质量法背景网格单元节点从物质点获得的映射质量为m =Z

5、p m N (x )p=1单元节点内部力为fint =-Y b(x 也-(VN )1p=1u P Pp 1x=x p单元节点外部力为fext =m b(x)N(x)+&(x)N(x)p=1m一 -Jpip1 pip pp=1p(10)(11)(12)(13)(14)(15)p mt i pi=l i再将节点速度映射到物质点次也如)pmt1 pi=l i计算当前物质点速度+ at Atpp p和当前物质点的坐标位置xt+t = xt +at Atpp p以及计算物质点的新位移必+攵=Xt xopp P其中戒为物质点的初始位置P3、更新后的物质点动量映射到该物质点所在的单元节点上：(mv)f+A?

6、= 如(协)+最 nJ)ipipP=1更新后的速度等于(mv)+Afyr+Ar =i，mti4、根据单元节点上的外部载荷条件和自然边界条件计算物质点当前的速度梯度:Dt+z Liyt+NtG Cv )Pp ipP=1形函数梯度为Gr为叩G =.N 3ip x=xtP5、由速度梯度计算物质点应变增量和应变率分别为：(16)(17)(18a)(18b)(18c)(19a)(19b)(19c)(19d)(20a)(21b)6、应用本构关系公式(4)更新物质点应力可以得到勺4数值模拟在长度为1m的直杆的右端施加阶越力乙 0)=1(22)-mpmfinite element1,81.61.41.21.0

7、宜 0.8060.40200-0.20.00.20.40.60.81.0如)在时间总时间为t=0.05s，时间步长是1000时，可以得到t=0.05s处，物质点法和有限元 法得到的结果完全相同，其他各时步处也完全相同。当是当z(t)=1-2*(pi*30*t)”2)*exp(-(pi*30*t)”2);时，物质点法和有限元差别很大，因此向师兄请教下。参考文献Collino F, Tsogka C. Application of the perfectly matched absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in a

8、nisotropic heterogeneous media. Geophysics, 2001, 66(1): 294-307.Josif Josifovki. Analysis of wave propagation and soil-structure interaction using a perfectly matched layer model. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2016, 81, 1-13.Sulsky D, Zhou S J, Schreyer H L. Application of a particle-in

9、-cell method to solid mechanicsJ. Computer Physics Communications, 1995, 87(1 - 2):236-252.孙玉进，宋二祥.大位移滑坡形态的物质点法模拟J.岩土工程学报，2015, 37(7):1218-1225.SUN Yu-jin, SONG Er-xiang. Simulation of large-displacement landslide by material point method. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2015, 37(7):121

10、8-1225.王双,李小春,石露,刘召胜.物质点强度折减法及其在边坡中的应用J.岩土力学, 2016, 37 (9), 2673-2678.WANG Shuang, LI Xiao-chun, SHI Lu, LIU Zhao-sheng. Material point strength reduction method and its application to slope engineering, 2016, 37 (9), 2673-2678.Kang J W, Kallivokas L F. Mixed unsplit-field perfectly matched layers for transient simulations of scalar waves in heterogeneous domainsJ. Computational Geosciences, 2010, 14(4):623-648.云