专题二 第3讲 平面向量数量积的最值问题

1、4/4第3讲平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化例(1)已知eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，|eq o(AB,sup6()|eq f(1,t)，|eq o(AC,sup6()|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且eq o(AP,sup6()eq f(o(A B,sup6(),|o(AB,sup6()|)eq f(4o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)，则eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()的最大值等于()A13 B15 C1

2、9 D21答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，则Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,t)，0)，C(0，t)，eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,t)，0)，eq o(AC,sup6()(0，t)，Aeq o(P,sup6()eq f(o(A B,sup6(),|o(AB,sup6()|)eq f(4o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)teq blc(rc)(avs4alco1(f(1,t)，0)eq f(4,t)(0，t)(1,4)，P(1,4)，eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq blc

3、(rc)(avs4alco1(f(1,t)1，4)(1，t4)17eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,t)4t)172eq r(f(1,t)4t)13，当且仅当teq f(1,2)时等号成立eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()的最大值等于13.(2)如图，已知P是半径为2，圆心角为eq f(,3)的一段圆弧AB上的一点，若eq o(AB,sup6()2eq o(BC,sup6()，则eq o(PC,sup6()eq o(PA,sup6()的最小值为_答案52eq r(13)解析以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，

4、建立平面直角坐标系(图略)，则A(1，eq r(3)，C(2，eq r(3)，设P(2cos ，2sin )eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)f(2,3)，则eq o(PC,sup6()eq o(PA,sup6()(22cos ，eq r(3)2sin )(12cos ，eq r(3)2sin )52cos 4eq r(3)sin 52eq r(13)sin()，其中0tan eq f(r(3),6)eq f(r(3),3)，所以0eq f(,6)，当eq f(,2)时，eq o(PC,sup6()eq o(PA,sup6()取得最小值，为52eq r(13).数量积有关的最

5、值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质1在ABC中，若A120，Aeq o(B,sup6()eq o(AC,sup6()1，则|eq o(BC,sup6()|的最小值是_答案eq r(6)解析由eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()1，得|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|cos 1201，即|eq

6、o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|2，所以|eq o(BC,sup6()|2|eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()|2eq o(AC,sup6()22eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()22|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|2eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()6，当且仅当|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|eq r(2)时等号成立，所以|eq o(BC,sup6()|min eq r(6).2(2020天津)如图，在四边形ABCD中

7、，B60，AB3，BC6，且eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3,2)，则实数的值为_，若M，N是线段BC上的动点，且|eq o(MN,sup6()|1，则eq o(DM,sup6()eq o(DN,sup6()的最小值为_答案eq f(1,6)eq f(13,2)解析因为eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，所以ADBC，则BAD120，所以eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(AD,sup6()|eq o(AB,sup6()|cos 120eq f(3

8、,2)，解得|eq o(AD,sup6()|1.因为eq o(AD,sup6()，eq o(BC,sup6()同向，且BC6，所以eq o(AD,sup6()eq f(1,6)eq o(BC,sup6()，即eq f(1,6).在四边形ABCD中，作AOBC于点O，则BOABcos 60eq f(3,2)，AOABsin 60eq f(3r(3),2).以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧，则N(a1,0)，且eq f(3,2)aeq f(7,2).又Deq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3r(3),2)，

9、所以eq o(DM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(a1，f(3r(3),2)，eq o(DN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(3r(3),2)，所以eq o(DM,sup6()eq o(DN,sup6()a2aeq f(27,4)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2eq f(13,2).所以当aeq f(1,2)时，eq o(DM,sup6()eq o(DN,sup6()取得最小值eq f(13,2).3已知平面向量a，b，e满足|e|1，ae1，be2，|ab|2，则ab的最大值为_答案eq f(5,4)解析不妨设e

10、(1,0)，a(1，m)，b(2，n)(m，nR)，则ab(1，mn)，故|ab|eq r(1mn2)2，所以(mn)23，即3m2n22mn2mn2mn4mn，则mneq f(3,4)，所以ab2mneq f(5,4)，当且仅当mneq f(r(3),2)时等号成立，所以ab的最大值为eq f(5,4).4在平行四边形ABCD中，若AB2，AD1，eq o(AB,sup6()eq o (AD,sup6()1，点M在边CD上，则eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()的最大值为_答案2解析在平行四边形ABCD中，因为AB2，AD1，eq o(AB,sup6()eq o (AD,

11、sup6()1，点M在边CD上，所以|eq o (AB,sup6()|eq o (AD,sup6()|cos A1，所以cos Aeq f(1,2)，所以A120，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以A(0,0)，B(2,0)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2).设Meq blc(rc)(avs4alco1(x，f(r(3),2)，eq f(1,2)xeq f(3,2)，因为eq o(MA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(x，f(r(3),2)，eq o(MB,sup6()eq blc(rc)(avs