专题二 第4讲 平面向量“奔驰定理”

1、4/4第4讲平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为ABC内一点，则有SPBCeq o(PA,sup6()SPACeq o(PB,sup6()SPABeq o(PC,sup6()0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用例(1)已知点A，B，C，P在同一平面内， eq o(PQ,sup6()eq f(1,3)eq o(PA,sup6()，eq o(QR,sup6()eq f(1,3)eq o(QB,sup6()， eq o(RP,sup6()eq f(1,3

2、)eq o(RC,sup6()，则SABCSPBC等于()A143 B194 C245 D296答案B解析由eq o(QR,sup6()eq f(1,3)eq o(QB,sup6()，得eq o(PR,sup6()eq o(PQ,sup6()eq f(1,3)(eq o(PB,sup6()eq o(PQ,sup6()，整理得eq o(PR,sup6()eq f(1,3)eq o(PB,sup6()eq f(2,3)eq o(PQ,sup6()eq f(1,3)eq o(PB,sup6()eq f(2,9)eq o(PA,sup6()，由eq o(RP,sup6()eq f(1,3)eq o(R

3、C,sup6()，得eq o(RP,sup6()eq f(1,3)(eq o(PC,sup6()eq o(PR,sup6()，整理得eq o(PR,sup6()eq f(1,2)eq o(PC,sup6()，eq f(1,2)eq o(PC,sup6()eq f(1,3)eq o(PB,sup6()eq f(2,9)eq o(PA,sup6()，整理得4eq o(PA,sup6()6eq o(PB,sup6()9eq o(PC,sup6()0，SABCSPBC(469)4194.(2)已知点P，Q在ABC内，eq o(PA,sup6()2eq o(PB,sup6()3eq o(PC,sup6(

4、)2eq o(QA,sup6()3eq o(QB,sup6()5eq o(QC,sup6()0，则eq f(|Po(Q,sup6()|,|Ao(B,sup6()|)等于()A.eq f(1,30) B.eq f(1,31) C.eq f(1,32) D.eq f(1,33)答案A解析根据奔驰定理得，SPBCSPACSPAB123，SQBCSQACSQAB235，SPABSQABeq f(1,2)SABC，PQAB，又SPBCeq f(1,6)SABC，SQBCeq f(1,5)SABC，eq f(|o(PQ,sup6()|,| o(AB,sup6()|)eq f(1,5)eq f(1,6)eq

5、 f(1,30).(3)过ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q， eq o(PC,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6()， eq o(QC,sup6()neq o(BC,sup6()，则n的值为_答案eq f(3,5)解析因为O是重心，所以eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0，即eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(PC,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OP,sup6()eq f(3,4)(e

6、q o(OC,sup6()eq o(OA,sup6() eq o(OP,sup6()eq f(3,4)eq o(OA,sup6()eq f(1,4)eq o(OC,sup6()eq f(3,4)eq o(OB,sup6()eq f(1,2)eq o(OC,sup6()，eq o(QC,sup6()neq o(BC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OQ,sup6()n(eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OQ,sup6()neq o(OB,sup6()(1n) eq o(OC,sup6()，因为P，O，Q三点共线，所以eq o(OP,sup6()e

7、q o(OQ,sup6()，所以eq f(3,4)(1n)eq f(1,2)n，解得neq f(3,5). “奔驰定理”与三角形“四心”：已知点O在ABC内部，有以下四个推论：(1)若O为ABC的重心，则eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0.(2)若O为ABC的外心，则sin 2Aeq o(OA,sup6()sin 2Beq o(OB,sup6()sin 2Ceq o(OC,sup6()0.(3)若O为ABC的内心，则aeq o(OA,sup6()beq o(OB,sup6()ceq o(OC,sup6()0.备注：若O为ABC的内心，则sin

8、 Aeq o(OA,sup6()sin Beq o(OB,sup6()sin Ceq o(OC,sup6()0也对(4)若O为ABC的垂心，则tan Aeq o(OA,sup6()tan Beq o(OB,sup6()tan Ceq o(OC,sup6()0.1点P在ABC内部，满足eq o(PA,sup6()2eq o(PB,sup6()3eq o(PC,sup6()0，则SABCSAPC为()A21 B32 C31 D53答案C解析根据奔驰定理得，SPBCSPACSPAB123.SABCSAPC31.2点O为ABC内一点，若SAOBSBOCSAOC432，设eq o(AO,sup6()eq

9、 o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，则实数和的值分别为()A.eq f(2,9)，eq f(4,9) B.eq f(4,9)，eq f(2,9) C.eq f(1,9)，eq f(2,9) D.eq f(2,9)，eq f(1,9)答案A解析根据奔驰定理，得3eq o(OA,sup6()2eq o(OB,sup6()4eq o(OC,sup6()0，即3eq o(OA,sup6()2(eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()4(eq o(OA,sup6()eq o(AC,sup6()0，整理得eq o(AO,sup6()eq f(2,9)eq o(AB,sup

10、6()eq f(4,9)eq o(AC,sup6()，故选A.3.设点P在ABC内且为ABC的外心，BAC30，如图若PBC，PCA，PAB的面积分别为eq f(1,2)，x，y，则xy的最大值是_答案eq f(r(3),3)解析根据奔驰定理得，eq f(1,2)eq o(PA,sup6()xeq o(PB,sup6()yeq o(PC,sup6()0，即eq o(AP,sup6()2xeq o(PB,sup6()2yeq o(PC,sup6()，平方得eq o(AP,sup6()24x2eq o(PB,sup6()24y2eq o(PC,sup6()28xy| eq o(PB,sup6()|eq o(PC,sup6()|cosBPC，又因为点P是ABC的外心，所以| eq o(PA,sup6()|eq o(PB,sup6()|eq