高次,无理,指数,对数不等式的解法及应用分析

1、高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。 本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归 到一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解。难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。一、高次不等式.概念：形如不等式(x-x 1 )(x-x 2) (x-x n)0 (其中X1, X2, ,Xn是互不相等的实常数)叫做一元n次不等式(n C N)。.解题思路：作出相应函数的图象草图。具体步骤如下：(a

2、)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方(除此之外，对草图不必做更细致的要求)。然后根据图象草图，写出满足不等 式的解集。.例题：例 1 .解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)0;(2)(x2-5x-6)(1-x)0。解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1) 的图象的草图(图1)。所以不等式的解集为(-(-1,1)(2,+8)。(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)0分析：此例中y=(x+2)(x+1) 2(x-1) 3(x-3)出现了重因式,号没有发生变化，而 x值从大于1

3、到小于1时(不含1),化，如图3 ,故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+8)。注：本题可以先对不等式化简再解。原不等式等价于二、无理不等式.概念：如果函数f(x)是关于x的无理式，那么f(x)0或f(x)g(x)5。所以原不等式的解集为5, +8)。=t (t叫。则解法二：设x=。所以原不等式化为tw-2,所以t2-2t-3 R,即t41或 S3。因为 S0,所以t R3,所以x5o解法3 :令yi =,y2=x-2,从而原不等式的解集就是使函数yiy 2的x的取值范围。在同一坐标系中分别作出两个函数的图象（图 4）。设它们交点的横坐标是X0,则=X0-20。解之，得X0=5或X0=1

4、（舍）。所以原不等式解集为5,+ OO评述：解法1是通法，要求必须熟练掌握，解法 2是换元法，由于不等式两边次数恰是倍数关系，故换元后变 为二次不等式，但最终还要解 x的方程。解法3是数形结合法，用图象解题，一般比较简捷、形象、直观，但要注 意作图的正确和表达的清晰和完整。a-x (a0)。解：a-x(I)或(II)而（I）(2-(II)ax 0)。所以原不等式的解集是xa （因为 a0）。解：x=-2 o所以原不等式的解集是1,+ 8)-2。三、指数不等式，对数不等式1.解题思路：化超越不等式为代数不等式，依据是指数函数和对数函数的单调性。2.常见题型及等价转化:x1或x=1或(1)(a0,

5、a wi)。当 0a1 时，f(x)1 时，f(x)g(x)。(2)m (ax)2+n (ax)+k0 。令ax=t(t0),转化为 mt 2+nt+k0 ,先求t的取值范围，再确定 x的集合。(3)log af(x)log ag(x) (a0, a wl)。当0a1时,(4)令log af(x)=t (t 6 R),转化为mt 2+nt+k0,先求t的取值范围，再确定 x的集合。3.例题解：,所以 x2-2x-33-3x,所以 x2+x-60,所以-3x0),则t2-12t-64 0 。所以 0t 16,故 02 x16,从而 x4o所以原不等式的解集是(-8, 4。解：原不等式可化为:所以

6、所以所以1x5 。所以原不等式的解集为（1,5）。注意：（1）解对数不等式要考虑原不等式中的定义域；（2）如出现往往将此项移项，这样可以避开分式运算；（3）如出现以2和4为底数的对数，最好统一成4为底的对数，这样可以避开无理式运算。四、作业 解下列关于x的不等式:1. (x-a)(x+2)(x-3)03.4.5.6.作业参考答案:解：1.当 a-2 时，解集为(-0,a)(-2,3)。(-2,3)。当a=-2时，解集为(-oo,-2)当-2a3 时，解集为（-8,-2）（3,a）。2. x(x-1) 3(x-2) 2(x+1)(x 2+x+1)0 ,所以)2+x(x-1) 3(x-2) 2(x

7、+1)(x+)0所以x(x-1) 3(x-2) 2(x+1)0 。 所以解集为(-1,0)(1,2)(2,+8)。3,因为(x+4)(x-3)=x 2+x-12 , (x+3)(x-2)=x 2+x-6(t 0)。则(x+4)(x-3)=t 2-6 ,所以原不等式可化为t2-6+t36,即 t2+t-420 ,所以-7t6 ，因为 tR,所以 0 46,所以,所以 0WxW-3 或 2 wx6,所以解集为4.所以所以所以所以所以，所以解集为5. (1)当x=1时，显然原不等式不成立，所以xwl。(2)当0Vx1时，即，所以,所以 0 x1时，即,所以x2 。(2,+ 00)。综上所述，原不等式

8、的解集为(0,1)6. (1)当0a1时，原不等式等价于因为所以（因为a1 ）,所以,所以xa。综上所述，当0a1时，解集为(a, + 8)。在线测试选择题1 .不等式 mx 2+nx+30的解集是凶-102则m , n的值是(B、A、 m=-m=n=m=-，n=D、 m=-,n=-12.关于x的不等式0)的解集是(一、rB、(0, aC、D、(-巴)U (0,+ 8).已知不等式kx2-kx-20 的解集是空集，则k的取值范围是）A、-8 wk W0B、-4 wk 30C、0WkD、1 wkW4 TOC o 1-5 h z .已知不等式log a（x2+2x+5）0B、a 2C、0a0 ,且

9、x2y=2 , xy+x 2的最小值是（）r r r rA、3B、2C、1D、-3答案与解析答案：1、C 2、B 3、A 4、C5、A解析：1、分析：根据一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，我们知道-1和2是方程mx，nx+3=0 的根。2、分析：利用函数图象来解，在同一个坐标系下画出y=和y=2x+a的图象，满足前面的图象在后面图象下面的x的取值即是所求。也可以用代入法，代入 x=a不等式成立,选项A, C中没有a,错。代入x=-a ,不等式不成立，选项 D错。3、分析：根据一元二次函数图象的性质和一元二次不等式的解法，要满足条件，则k0,且根的判别式应该小于等于0。也可以用代入法。k=

10、0符合题意，D中没有0,错。k=1 ,不合题意，C错。k=-8代入，符合题意， B错。4、分析：这是一个关于对数函数的性质的不等式问题，我们注意到左边对数的真数的最小值是4,要满足条件，则0a0 , y0 ,将y=代入xy+x 2,得到（当且仅当x=1等号成立）。注：涉及到不等式解集的选择题多数都可以用代入法。这是比较简单的方法。解无理不等式的若干求简策略解无理不等式是中学数学的一个重要内容。无理不等式的常规解法是先将原不等式化成或g(x)或g(x)等基本形式，再两边平方去根号转化为有理不等式组求解。但对某些无理不等式，上述解法往往运算量大，过程冗长。解题中若能注意到某些特殊要素的功能作用，或利用某些特殊手段将原不等式作适当转化，常能简化解题过程，优化数学思维，提高解题效率。在具体的解题过程中，有以下几方面的策略。.借用“定义域”确定符号，简化或避免讨论，从而使解题过程简化。使无理不等式中各代数式都有意义的未知数的取值范围，不妨称为不等式的“定义域”。显然，不等式的解集应是其“定义域”的子集。将不等式化为基本形式并确定其“定义域”，再考虑不等式另一边的取值符号，有时能简