锐角三角函数讲义

1、锐角三角函数讲义 / 31锐角三角函数第一课时 : 三角函数定义与特殊三角函数值知识点一：锐角三角函数的定义：一、 锐角三角函数定义：在 RtABC 中，C=900, A、B、C 的对边分别为 a、 b、c，则 A 的正弦可表示为： sinA= ， A 的余弦可表示为 cosA=A 的正切： tanA=，它们弦称为 A 的锐角三角函数() 斜边sinB()斜边cosAcosB()斜边 tanA()A的邻边tanBB的对边 ()例 2. 锐角三角函数求值：在 Rt ABC 中，C90，若 a 9，b12，则 c sinA，cosA，tanA，sinB，cosB，tanB例 3已知：如图， Rt

2、TNM 中， TMN 90， MRTN于 R 点， TN4，MN 3求： sin TMR、 cos TMR、tanTMR对应练习 :1、 在 Rt ABC 中， a 5，c 13，求 sinA ， cosA， tanA 2、AB=25，BC=7，CA=24求 sinA 的值如图， ABC中，253、 已知 是锐角，且 cos = 3 ，求 sin 、 tan 的值44、在 Rt ABC中， C 90o ，AC 5，BC 4，则 tanA5、在 ABC 中，C=90，sinA= 3 ，那么 tanA 的值等于5（） .A35B. 45C. 34D. 436、在ABC中，C90，cosA 3，c4

3、，则 a47、如图， P是 的边 OA上一点，且 P 点坐标为（ 2，3）， 则 sin =，cos= ，tan = _ 知识点二：特殊角的三角函数值锐角304560sincostan当 时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例 1求下列各式的值（1）. 计算 ： 2 cos30 2sin 45 tan60 （2）计算： tan60 sin 2 45 2 cos 30 .例 2求适合下列条件的锐角(2) tan(1) cos3）已知 为锐角，且 tan（300) 3 ，求 tan 的值例 3. 三角函数的增减性1已知 A 为锐角，且 sin A 21 ，那么 A 的取值范围是A

4、.0 A 30 B.30 A60C.60A 90D.30 A 90 2.已知 A为锐角，且 cosA0sin30，则（）A.0 A 60 B.30 A 60 C.60A 90D.30 A 90 类型一 特殊三角函数值与计算1、（1）计算： 31+（21）0 33 tan30 tan4532）计算：2 cos60sin45tan303）计算：tan45 sin301 cos60(4) sin222(5) 6cos( 16 ) 3 3（ ）在 ABC中，若 cosA 12 （sinB 22）2 0， A， B 都是锐角， 求C1、类型二：利用网格构造直角三角形 如图所示， ABC 的顶点是正方形网

5、格的格点， 则 sinAB 55C10 D 2 510 5A12的值为（ ）2、如图， ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sin A3、如图， A、B、C 三点在正方形网络线的交点处， 若将 ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到 AC B ，则 tanB 的值为A. 41B. 31C.12则 tanAOB 的值是(AD. 2B.25D. 1类型三：直角三角形求值1、已知 RtABC中， C 90 ,tan A 43,BC 12, 求 AC、AB和 cosB2、如图，O的半径 OA16cm，OCAB于 C点，sin AOC 34 求 AB 及 OC 的长3、已知： O 中， OCAB 于 C

6、点， AB16cm，sin AOC 3 5(1)求 O 的半径 OA 的长及弦心距 OC；(2)求 cos AOC 及 tan AOC4、已知 A是锐角， sinA 187，求 cosA， tanA的值类型四 . 利用角度转化求值：1、已知：如图， Rt ABC 中， C90 D 是 AC 边上一 点， DEAB 于 E 点DEAEtanB2、如图，直径为 10 的 A 经过点 C （0，5） 和点 O（0，0） ，与 x 轴的正半轴交于点 D ，B 是 y 轴右侧圆弧上一点，则cos OBC 的值为（）C35DA 12B 23它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边 OA 上有一点 P（ 3，4

7、），则 sin4、如图，菱形 ABCD 的边长为 10cm， DE AB， sin A 3，5则这个菱形的面积 =cm25、如图， O是 ABC的外接圆， AD是O的直径，若 O的半 径为 3 ， AC 2，则 sinB 的值是()2A 2B 3C 33 2 4D 46、如图，沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处已知 AB 8， BC 10 ，AB=8,则tanEFC 的值为 ( )37、如图，在等腰直角三角形ABC中， C 90 ， AC 6， D为AC上一点，若 tan DBA 1 ，则 AD的长为 ( )522A 2 B8、 如图，在 Rt ABC 中

8、， C=90， AC=8， A 的平分 线 AD=16 3 求 B 的度数及边 BC、AB 的长 .3B类型五 . 化斜三角形为直角三角形1、 如图，在 ABC 中， A=30， B=45，AC=2 3 ， 求 AB 的长2、已知：如图，在 ABC 中， BAC120，AB 10，AC 5求： sinABC 的值3、如图，在 Rt ABC 中， BAC=90，点 D 在 BC 边上，若 AB=2 ，求 ABC 的周长 （结4、已知：如图， ABC中，AB9，BC6， ABC 的面积 等于 9，求 sinB5、ABC中， A=60， AB=6 cm， AC=4 cm，则 ABC 的 面积是A.2

9、 3 cm2.4 3 cm2C.6 3 cm2D.12 cm2第二课时：解直角三角形知识点三： 解直角三角形AB c，1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下： 在 RtABC 中， C90， ACb，BCa， 三边之间的等量关系：两锐角之间的关系：边与角之间的关系：sinA cosB； cosA sinBtanA1tanBtanBtanA直角三角形中成比例的线段在 Rt ABC 中， C 90， CD AB 于 DCD2；AC2；BC2；ACBC类型一例 1在 Rt ABC 中， C 90(1)已知： a35，c 35 2，求 A、 B，b；(2)已知：a 2 3，b 2，求 A、

10、B，c；(3)已知：sinA 32，c 6，求 a、b；(4)已知：tanB 3,b 9, 求 a、c；(5)已知： A60， ABC 的面积 S 12 3,求 a、b、c 及B例 2已知：如图， ABC 中， A 30， B 60， AC 10cm 求 AB 及 BC 的长例 3已知：如图， Rt ABC 中， D90， B45 ACD 60 BC10cm求 AD 的长例 4已知：如图， ABC 中， A 30， B 135 AC10cm求 AB 及 BC 的长知识点四：三角函数应用类型一： 三角函数在几何中的应用1已知：如图，在菱形 ABCD 中，DEAB于 E，BE16cm，sin A1

11、213求此菱形的周长2已知：如图， RtABC中， C90， AC BC 3，作 DAC30， AD 交 CB 于 D 点，求： (1) BAD； (2)sinBAD、cosBAD 和 tanBAD 3. 已知：如图 ABC中， D为BC中点，且 BAD90，上，DC= AC = 6，求 tan BAD 的值C5.如图， ABC中， A=30， tan B 3，AC 4 3求 AB 的 长.第三课时，解直角三角形应用类型二：解直角三角形的实际应用、仰角与俯角：仰角 ：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角1如图，从热气球 C处测得地面 A、B 两点的俯角分别是 30、45，如果此时

12、热气球 C处的高度 CD 为 100米，点 A、 D 、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（ ）A 200 米B 200 米 C 220 米 D 100 （） 米2已知：如图，在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子， 当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点；当它靠在另一侧 墙上时，梯子的顶端在 D 点已知 BAC 60， DAE 45点 D 到地面的垂直距离 DE 3 2m ，求点 B 到地面的垂 直距离 BCBD=30m从水平面上一点 C 测得风力发电装置的顶端 A 的仰角 DCA=60，测得山顶 B 的仰角 DCB =30，求风力发电装置的高 AB 的 长DBE4 .如图，小聪用一

13、块有一个锐角为 30 的 直角三角板测量树高，已知小聪和树都 与地面垂直， 且相距 3 3 米，小聪身高 AB 为 1.7 米，求这棵树的高度 .5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30 ，测得岸边点 D 的俯角为 45，又知河 宽 CD 为 50m 现需从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直的缆 绳 AC，求山的高度及缆绳 AC 的长 （答案可带根号 ）6 如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰 角为 30，朝物体 AB 方向前进 20 米，到达点 C，再次测得 点A 的仰角为 60，则物体 AB 的高度为（ ）A 10 米 B 10

14、米 C 20 米 D 米7超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末，小 明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速如图，观测 点设在 A 处，离益阳大道的距离（ AC）为 30 米这时，一 辆小轿车由西向东匀速行驶， 测得此车从 B 处行驶到 C 处所 用的时间为 8 秒， BAC=75 （1）求 B、C 两点的距离；（ 2）请判断此车是否超过了益阳大道 60 千米 /小时的限制速 度？（计算时距离精确到 1 米，参考数据： sin75 0.96，59 cos75 0.2，58t8an75 3.7，32 3 1.73，2 60千米/小时 16.7 米/秒）坡度与坡角（2）坡面的铅直高度 h和水

15、平宽度 l的比叫做 坡度 （坡比）。用 字母 i表示，即 i h 。坡度一般写成 1: m的形式，如 i 1:5 等。把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么 i h tan 。l例如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： 3 ， 堤坝高 BC=50m ，则应水坡面 AB 的长度是（）A 100mB100 3mC 150mD50 3m三、方位角从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的角分别是：45、 135、 225。水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB、OC、OD 的方向4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图 4,OA 、 OB 、 OC 、

16、 OD 的方向角 分别是：北偏东 30（东北方向） ， 南偏东 45（东 南方向），南偏西 60（西南方向） ，北偏西 60（西北方向）1已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得 灯塔 M 在北偏西 30，货轮以每小时 20 海里的速度航 行，1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45，问 该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多 少?（精确到 0.1 海里， 3 1.732 ）3BAD= 135， BCD= 90，（2） 求 AD 的长 2如图，在平行四边形ABCD中，过点 A 分别作 AEBC 于综合题： 三角函数与四边形：1 如图，四边形 ABCD AB

17、=BC= 2， tan BDC=(1) 求 BD 的长；点 E， AFCD 于点 F（1）求证： BAE= DAF ；（2）若 AE=4，AF= 24， sin BAE 3，55 求 CF 的长三角函数与圆：1. 已知：在 O 中,AB 是直径， CB 是 O 的切线，连接 AC 与O 交于点 D,(1) 求证： AOD= 2C(2)若 AD=8，tanC= 43 ，求 O 的半径2.如图，DE 是 O的直径， CE 与O 相 切， E为切点 .连接 CD 交O 于点 B， 在 EC 上取一个点 F ，使 EF=BF.（ 1）求证 :BF 是 O 的切线 ; （2）若cosC 4, DE=9，

18、求 BF 的长51已知 sinA 1，则锐角 A 的度数是2A75B 60C 45D 30AB= 5 ，则 tanA2在 RtABC 中， C90，若 BC 1，的值为A 5B2 5553在ABC中，C=90，sinA= 3，那么5C12 tanAD2的值等于（A5C.D.4. 若 sin 3 ，则锐角 .25如图，在 RtABC中， C90，BC3，AC=2， 则tanB 的值是ABC256将 放置在正方形网格纸中，的值是AB2D 2 1313位置如图所示，2D25558如图，在直角三角形 ABC 中，斜边 AB的长为 m则直角边 BC 的长是（ ）A msin 40o B m cos 40

19、o C m tan 40o D m o tan 40o9如图，已知 P 是射线 OB 上的任意一点， 且 OM : OP=4 : 5，则 cos的值等于（ A 3B 4C 44 3 510如图， AB 为 O 的弦，半径于点 D ，若 OB 长为 10，cos BOD则 AB 的长是A . 20B. 16C. 12D. 811.在 Rt ABC中，C=90如果 cosA=那么 tanA的值A3512如图，BC3490，若在 ABC 中，3，则5sinA=cos BCD 的 值B53ACB=ADC=13.计算： 2 cos302sin 45tan6013计算 2 sin 602 cos 45 3

20、 tan30 tan45 .14计算： 2 sin 60o 4cos2 30o+sin 45o tan60o15已知在 RtABC 中， C90，a=4 6 ，b=12 2 .解这个直角三角形16. 如图，在 RtABC 中， CAB=90， AD分线， tanB= 12 ，求 CBDD的值17如图，某同学在楼房的 A处测得荷塘的一端30 ,荷塘另一端 D处 C 、B在同一条直线上，CD 16 米，求荷塘宽 BD 为多少米？（结果保留根号）A 经过 A，C 两点，交 AB 于点 D，已知 2A +O18.（6分）如图，在 ABC中，点 O在 AB上，以 O为圆心C 的圆1）求证： BC是O 的切线；2）若 OA=6，BC=8，求 BD 的长19如图，在 RtABC中，C=90，点 D在 AC边上若DB=6 ，AD= 21 CD ， sinCBD= 23 ，求 AD 的长和 tanA 的值20如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45方向，距离 灯塔 100 海里的 A 处，它计划沿正北方向航行，去往位 于灯塔 P 的北偏东 30方向上的 B 处.（1） B 处距离灯塔 P 有多远？ （2）圆形暗礁区域的圆心位于 PB 的延长线上，距离灯 塔 200 海里的 O 处已知圆形暗礁区域的半径为 50 海里， 进入圆形