用函数观点看方程与不等式

1、用函数观点看方程与不等式知识梳理. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b (awQ a, b为常数)中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程 ax+?b=0 (aw。的解，所对应的坐标( b , 0)是直线y=ax+b与xa轴的交点坐标，反过来也成立；？直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b0 (aw。的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式 ax+b0 (awQ的解.坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式 x=0表

2、示；？函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式 y=0表示. 一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条 直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解直线y=kix+bi不平行于直线 y=k2x+b2ki w 2.y k1x b.(1)二元一次方程组有唯一的解y k2x b2y k1x b.十.(2)二元一次方程组无斛直线 y=ki

3、x+bi/直线 y=k2x+b2ki=k2, bite.y k2x b2(3)二元一次方程组y kix b,有无数多个解y k2x b2直线 y=kix+bi 与 y=k2x+b2 重合ki=k2, bi=b2.5、二次函数与一元二次方程组的关系xo(i)如果抛物线y ax2 bx c与x轴有公共点，公共点的横坐标是 x0,那么当x x0时，函数的值是0,因此x就是方程ax2 bx c 0的一个根。(2)二次函数的图象与 x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程 根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。(3)在日常生活、生产和

4、科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。【解题方法指导】例1.如图1所示，直线y=kx+b经过A (2, 1)和B (3, 0)两点，则不等式组 xkx+b0的解集为3x0)与双曲线y=4交于A (x1，yi), b (x2, y2)两点，则2xiy27x2yi的值等于_20 x例3.如图3所示，L甲，L乙分别表示甲走路与乙骑自行车(在同一条路上)行走的路程 s与时间t的关系，观察图像并回答下列问题：(1)乙出发时，与甲相距 _10 km；(2)走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_1 h;(3)乙从出发起，经过 _3 h与甲相遇

5、； TOC o 1-5 h z (4)甲行走的路程 s与时间t之间的函数关系式s=10+Z0t;3(5)如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过 _1.2 h与甲相遇，相遇处离乙的出发点_18km .并在图中标出其相遇点.例4已知二次函数 y ax2 bx c,且a 0,a b c 0,则一定有()A. b24ac0B. b24ac0,22C. b4ac0D. b4ac0分析：由a 0 ,可知抛物线开口向下，又当x 1时，y a b c 0,所以抛物线有在 x轴上方的图象，必与2x轴有两个交点，则万程有两个不等实根，b 4ac 0,故选(A)。解： y ax2 bx c 中 a 0 ,抛物线的

6、开口向下又当x 1时，y a b c 0, 抛物线有在第二象限的点。它的示意图如图。抛物线与x轴有两个交点。2令 y 0,得 ax bx c 0方程有两个不相等的实数根b2 4ac 0故选A。评析：此题由二次函数问题转化为二次方程，关键是确定二次函数的图象与x轴有无交点，有几个交点。由a 0, a b c 0,加以确定抛物线的开口方向及图象的位置，其中当x 1时，y a b c 0,这里要会找到x的值为多少时，得到 a b co例5.已知二次函数y (m 2)x2 2mx m 1,其中m为常数，且满足 1 m2。试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方，还是在x轴下方。

7、分析：欲确定抛物线的开口方向，要看 m 2 0,还是m 2 0,由1 m 2,可知m 2 0,得知抛物线开口向下；又c m 1 0,得知抛物线与 y轴交点在x轴上方；再由 b2 4ac 0,得知抛物线与 x轴有两个交点。解： 1 m 2a m 2 0抛物线开口向下；又 c m 1 0,抛物线与y轴的交点在x轴上方；2令 y 0,得(m 2)x 2mx m 1 0,22b 4ac 4m 4(m 2)(m 1)4m 84(m 1) 4 0抛物线与x轴有两个不同的交点。评析：此题的难点是给出了 m的范围，即1 m 2,要确定m与2的大小关系，及m与1的大小关系。必要时， 可画出示意图判断。m1O1O

8、-2-1012m例6.关于二次函数y ax2 bx c的图象有下列命题：当c 0时，函数的图象经过原点2当c 0,且函数图象开口向下时，万程ax bx c 0必有两个不相等的实数根函数图象的最高点的纵坐标是4ac b24a当b 0时，函数的图象关于 y轴对称。其中正确命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个分析：4个命题要一一加以判断，正确；正确；正确；但无最高点，是错误的，故选(C)。解：对于，当c 。时，得yax2 bx ,若 x 0 ,得 y 0 ,抛物线必过原点，正确；对于，当c 0,且图象开口向下时，抛物线与x轴必有两个交点，2 万程ax bx c 0必有两个不相等的

9、实数根，正确；对于，当a 0时，抛物线开口向上，无最高点，不正确；对于，当b 0时，得y ax2 c,关于y轴对称，正确。一共有3个正确，选(C)评析：对于，很容易误解成是正确的命题，由于不知道a 0,还是a 0,因此举出一个反例即可。例7、我市某乡A, B两村盛产柑橘，A?村有柑橘200t, ?B?村有柑橘300t.现将这些柑橘运到 C, D两个冷藏仓库，?已知C?仓库可储存240t, ?D?仓库可储存260t;从A村运往C, D两处的费用分别为每吨 20元和25元，从B村运 往C, D两处的费用分别为每吨 15元和18元，设从A村运往C仓库的柑橘重量为 xt, A, B?两村运往两仓库的柑

10、橘运输费用分别为yA元和yB元.(1)请填写下表，并求出 yB, yA与x之间的函数关系式；CD总计Axt200tB300t总计240t260t500t(2)试讨论A , B两村中，哪个村的运费较少；(3)考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过 480元.在这种情况下，？请问怎样调运，才能使两 村运费之和最小？求出这个最小值.【分析】(1)根据运输的吨数及运费单价可写出y, y与x之间的函数关系.(2)欲比较yA与yB的大小，应先讨论 yA=yB的大小，应先讨论 yA=yB或yAyB或yAyB时求出x的取值范围.(3)根据已知条件求出 x的取值范围.根据一次函数的性质可知在此范围内，

11、两村运费之和是如何变化的，进而 可求出相应的值.【解答】(1)CD总计Axt(200 x) t200tB(240 x) t(60+x) t300t总计240t260t500tyA = 5x+5000 (0WxW 200 yB=3x+4680 (0 xyB 时，5x+50003x+4680 , x40 ;当 yAyB 时，5x+500040 .，当x=40时，yA=yB即两村运费相等；当 0WxyB即B村运费较少；当 40 x w 200寸,yAyB即A村费 用较少.(3)由 yBW 4830导 3x+4580 4830.x: （2）可根据一元二次方程根与系数关系来解.2解法一：(1) y=x2

12、mx+,中 A1=m2-2m2=- m2.2;抛物线不过原点， 廿0. - - m20. A10,OA=-x1, OB=x 2. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark94 o Current Document P 112112又 -,. 一一， HYPERLINK l bookmark50 o Current Document OB OA 3x2 x13即 3 （x+x2）=2x1x2.又: x1、x2是方程 x2+mx m2=0 的两根，x1+x2= -m, x1x2= m2. 443m= - m2.m1=0 （不符合题意，舍去），m2=2.2，经过A、B两点

13、的抛物线为 y=x，2x 3.2 m T),解法二：（1） ;两条抛物线都不过原点，2抛物线y=x2 mx+ m与y轴交于（0,22口一0,，抛物线22y=x2- mx+ 四一不经过 A、B 点.2抛物线 y = x2+mx 当m2 与 y 轴交于（0, 一 m2）, m20 ,，方程有两个不相等的实数根.，不论a取何值，抛物线与直线一定有两个不同的交点.: x1、x2 是方程 2x2ax5=0 的两个根，. x+x2=9 ,xix2=2点P的纵坐标为y一y22axi 5 ax25一(xi+x2)+5=一+5=+5 . TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark72

14、o Current Document a5- xi+x2= ,xix2=一 HYPERLINK l bookmark100 o Current Document 22I xi x2 | = d (xx2)(xi x2)2 4x1x22a 104a2 4024 41a2 40.M.a2 40 d= ,i a ?2例i0有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹i000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升i元，

15、但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有 i0 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.(i)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记 i000 kg蟹的销售总额为 Q元，写出Q关于x的函数关系式.(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q-收购总额)?解：(i)由题意知：p=30+x,(2)由题意知活蟹的销售额为(i000 i0 x)(30+x)元，死蟹的销售额为200 x元.Q=(i000 i0 x)(30+x)+200 x= i0 x2+900 x+30000.(3)设总

16、利润为L=Q 30000 400 x= 10 x2+500 x=10(x2 50 x) = 10(x 25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为 6250元.例11图中a是棱长为a的小正方体，图b、图c由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层，第 n层，第n层的小正方形白个数记为S,解答下列问题：bcc C(1)按照要求填表：n1234S136(2)写出当n=10时，S=;(3)根据上表中的数据，把 S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点；(4)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数

17、的表达式；若不在，说 明理由.SL I j j IOn(1)10 (2)55 (3)(略).(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上.设函数的解析式为 S=an2+bn+c.由题意知1a 2， TOC o 1-5 h z a b c 1,2 HYPERLINK l bookmark98 o Current Document 11 o 14a2bc3,斛行b ， - S= - n n. HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 2229a3bc6,nc 0.例12 如图，设直线 y=-x + b (b0) 与开口向上的抛物线y=ax2相交于点 A (

18、xi, y1)、B (x2, y2),与 x轴相交于 CO, 0),与y轴相交手点D. (1)求证： += , yiy2=b2; (2)当B为DC的中点时，求 ab的值；(3)取a=Xi X2 X31,当AD ： DB= 2 ： 1时，求b的值.解 (1)证明：: A B是直线y=-x+b与抛物线的交点，y x b,(X1, yO,(X2, v2是方程组2 的解，y aX故X1, X2是方程aX2+X-b =0的两根，由根与系数的关系得:X1 +X2= , X 1 - X2=, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark80 o Current Document aa

19、又直线y = -x + b与x轴交于点 C(X3, 0),，X3 = b, HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 11 x1 x21b11 + = = - / -=;X1 X2 x1 ? x2 a a b X3y1y2=ax12 - ax22=a2 (x 1 - X2) 2=a2 ( -) 2=b2.a(2)作 BHx 轴于 E,DB=BC,1oD=BE,OE=1 OC TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark96 o Current Document 22. D(0,b),C(b,0) B(1b, 1b). 又点 B在

20、抛物线 y=ax2上， HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 22-l b= a ( b) 2 ab= 2. HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 22(3)过 A 点作 AFL x 轴于 F, AD： DB= 2: 1,，OF： OE= 2 ： 1. . X1 ： X2=-2 ： 1,又 X1+X2= = -1.X1= -2,x 2=1,. b=-x 1 - X2=2oa解解题技巧点拨】此类问题常见的形式和解题方法是：用待定系数法列出关于函数解析中待定系数的方程(组)，通过解方程(组)求出特定系数的值

21、；将函数图象与坐标轴交点坐标与方程的根对应起来；利用函数研究方程的根与系数之间的关系； 利用函数图象交点的坐标与方程组的解之间的关系及根与系数关系解题。课堂练习1、如图4所示，已知函数 y=x+b和y=ax+3的图像交点为 P, ?则不等式x+bax+3的解集为_x1图4图5图6.函数yi=x+1与y2=ax+b （awQ的图像如图5所示，？这两个函数图像的交点在 y轴上，那么使yi, y2的值都大于零的x的取值范围是（D ）A . x 1 B. x2 C. 1x2 D. 1x0?的解集是A. x0 B. x2 C. x 3 D . 3xA O试问：是否存在实数 k,使AOC与COB相似？分析

22、：(1)只要证0即可；(2)设法判定 AO(角形相似时，求出k的值。解：(1)令 y 0,得 x2 (k 1)x k 02(k 1)241kk2 2k 1 4k 2 k2 2k 1(k 1)2抛物线与x轴只有一个公共点，0即(k 1)2 0k1 k21当k 1时，抛物线与x轴只有一个公共点。 抛物线y x2 (k 1)x k与y轴负半轴父当x 。时，y k,点C的坐标为(0, k), k 0。当 y 0 时，得 x2 (k 1)x k 0(x 1)(x k) 0 x1 1, x2 k点A在点B的左边，A、B两点的坐标分别是(k, 0), (1, 0)A OC |k| kAOC是等腰直角三角形。

23、要彳Rt BOC与Rt AOC相似，只需 OB OCBxC若存在，求出相应的 k的值；若不存在，请说明理由。C与BOC的形状，求出点A、B、C的坐标，再判定当两个三十点 C,m 2, m 2, m 2m 2, m 2, m 2OB 1, C k 1 k 1这样的k值存在，且k 1。评析：欲求两个三角形相似时 k的值，要注意线段的长为正值，k的值可能为负值。10.某商店如果将进价为每件 8元的某种商品按每件 10元出售，每天可销售 100件。为了增加利润，该商店决定提高 售价，但该商品单价每提高1元，销售量要减少10件。问当售价定为多少时， 才能使每天的利润最大？并求最大利润。分析：若每件商品提

24、高x元，那么每件利润为(2 x)元，每天销售量为(100 10 x)件，每天所彳#利润为 y元，可 列出函数解析式 y (2 x)(100 10 x)解：设每件提高x元(0 x 10)每件获得利润为(2 x)元。每天可销售(100 10 x)件，设每天获利润 y元，贝Uy (2 x)(100 10 x)10 x2 80 x 20010(x 4)2 360当x 4时，y的值最大即当定价为每件14元时，获得利润最大，每天最大利润为360元11、已知：二次函数的图像经过A (1, 0)和点B (2, 1),且与y轴交点的纵坐标为 m(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图像与 x

25、轴还有异于点A的另一个交点，求 m的取值范围；(3)若二次函数的图像截直线 y= -x+1所得线段的长为2 2-m的解集为x-1 ,则m的取值范围是 m 24、当m为何值时，抛物线 y x2 2mx m2m 2与x轴有两个交点，有一个交点，无交点。22解：令 y 0,得 x 2mx m m 2 04m2 4(m2 m 2)4(m 2)当m 2时， 0 ,抛物线与x轴有两个交点;当m 2时， 0,抛物线与x轴有一个交点；当m 2时， 0,抛物线与x轴无交点。5、已知二次函数y mx2(2m 2)x m 1与x轴有两个交点，求 m的取值范围。解：令 y 0,得 mx2 (2m 2)x m 1 0抛

26、物线与x轴有两个交点，一 一 2(2m 2)2 4m(m 1) 0224m 8m 4 4m 4m 012m 4 01 m -3又m 0m的取值范围为m 1,且m 0。36、已知二次函数y ax2 bx c (a 0)的图象经过 O (0, 0), A (1,1), B ( 2 , 14)和 C (2,m)四点,求这个函数的解析式及 m的值。解：函数图象经过O (0, 0), A (1,c 0 a b c 14a 2b c 14解得 a 2, b 3, c 02它的解析式为y 2x2 3x又图象过C (2, m)点， 一 一 2一 一m 2 22 3 2 2227、已知二次函数y 2x mx m

27、1 ), B ( 2 , 14)三点,(1)求证：对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点;(2)若该二次函数图象与 x轴有两个公共点 A、B,且A点坐标为(1, 0)。求B点坐标。一1(1)略；(2) ( 2, 0), ( 1, 0)2222解：(1)( m) 4 2 ( m ) 9m 0,对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点。(2)把(1, 0)代入，得 0 2 m m22m m 2 0, m12, mi2 1当 m 2 时，y 2x2 2x 4 2(x 2)(x 1)B点坐标为(一2, 0)当 m 1 时，y 2x2 x 1 (2x 1)(x 1)1 -B点坐标为(一,0

28、)2一 1258、已知抛物线y -x x 。22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴。(2)若该抛物线与x轴的两个交点为 A、B,求线段AB的长。 HYPERLINK l bookmark130 o Current Document 什1251,2c八15 HYPERLINK l bookmark132 o Current Document 解：(1)yxx (x2x1) HYPERLINK l bookmark134 o Current Document 22222顶点(1, 3),对称轴x 11 25(2)令 y 0,得一x x 一 0 HYPERLINK l bookmark154 o

29、Current Document 221 2(x2 1)23设它的两个根为x1，x2则 x1x22, x1x25|x1 x21 ；(x1 x2)2 4x1x2.(2)2 2024 2.69、近阶段国际石油迅速猛涨，中国也受期影响，为了降低运行成本，部分出租车进行了改装，改装后的出租车可以用液化气来代替汽油. ？假设一辆出租车日平均行程为300km .(1)使用汽油的出租车，假设每升汽油能行驶12km,当前的汽油价格为 4.6元/L, ?当行驶时间为t天时，所耗的汽油费用为p元，试写出p关于t的函数关系式；(2)使用液化气的出租车，假设每千克液化气能行驶1516km, ?当前的液化气价格为 4.

30、95元/kg,当行驶时间为t天时，所耗的液化气费用为 w元，试求w的取值范围(用t表示)；(3)若出租车要改装为使用液化气，每辆需配置成本为 8000元的设备，？根据近阶段汽油和液化气的价位，请在(1)(2)的基础上，计算出最多几天就能收回改装设备的成本？并利用你所学的知识简单说明使用哪种燃料的出租车对城市的健康发展更有益.(用20字左右谈谈感想).16(2) 300X4.9匹WwW 30049511615121) p=300 X4.6t ,即 p=115t.口1485t即 w 99t16(3) 115t 99t w 8000t w 500即最多500元能收回改装设备的成本.液化气燃料的出租车

31、对城市健康发展更有益(感想略)10、已知关于x的二次函数 y=x2mx+m2 2与 y=x2mx m2 2 .m2 ,这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A ,B两个不同的点.(1)试判断哪个二次函数的图像经过A, B两点；(2)若点A坐标为(一1, 0),试求点B坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过 A, B两点的二次函数，当 x取何值时，y的值随x?值的增大而减小? TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark126 o Current Document 2.m 1(1) 对于一次函数 y=x(3)将 A (1, 0)代入 y=x2 mx- mx+2 HYPER

32、LINK l bookmark167 o Current Document 2. HYPERLINK l bookmark169 o Current Document m 1-:= ( m) 2 4X1X= m2 20此函数图像与x轴有两个不同的交点故图像经过A , B两点的二次函数为22 m 2 y=x2 - mx -. B (3, 0)2 2-得 m22m=0, m=0 或 m=2若m=0,则当x0时，y随x增大而减小；若m=2,则当x40),在新的销售方法和原来的销售方法中，？应选哪种方法购买花钱较少？并说说理由.(1)设这家文具店 A型毛笔的零售价为每支 x元，B型毛笔的零售价为每支 y元，则根据题意得：20 x 15y25(y 0.6) 145解之得:20 x 20(x0.4) 15y 5(y 0.6)129答：这家文具 A型毛笔的零售价为每支 2元，B型毛笔的零售价为每支3元.(2)如果按原来的销售方法购买a