初中数学二次函数与代数综合第05讲教师版

1、二次函数与代数综合中考要求内容基本要求略高要求较高要求二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综结合的有关问题重难点理解二次函数图象与轴的交点与一元二次方程的关系；理解二次函数图象与轴的位置关系与一元二次方程解的情况的联系；会利用二次函数图象判断一元二次方程的根的个数；会根据抛物线与轴的位置关系求字母系数

2、；会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握抛物线与轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关的概念解题；掌握并运用二次函数解题；理解二次函数与不等式之间的关系；会用函数的观点去看方程和会用数形结合的思想去解决问题；理解二次函数与一次函数、反比例函数之间的关系。会将二次函数、一次函数与反比例函数综合应用。课前预习你知道“函数”的发展史吗？你知道“函数”是怎样发展来的吗？让我们一起回顾一下函数概念的发展史吧。函数（function）这一名词，是德国的数学家莱布尼茨17世纪首先采用的与莱布尼茨几乎同时，瑞士数学家雅克柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义1718年，雅克柏努意的弟弟约翰柏努意给出

3、了函数的如下定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数换句话说定义为：由和常量所构成的任一式子都可称之为关于的函数约翰柏努意的学生瑞士数学家欧拉，把约翰柏努意关于函数的定义又推进了一步，使之更加明朗化为了适应当时所出现的各种情况，为了适应数学的发展，法国数学家柯西引入了新的函数定义。在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词德国数学家黎曼引入了新的定义：“对于的每一个值，总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立，之间的对应方法如何，均将称为的函数”1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义，这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个的对应值183

4、7年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立与之间的对应关系是无关紧要的，所以重新定义，这个抓住了概念的本质属性，曾被比较长期的使用着上面我们对函数概念的历史发展作了概述，我们看到，“函数”这个重要概念发展到近代，经过了一段如此漫长的道路，从某种意义上来说，它反映了人类对事物逐渐精确化的认识过程数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用例题精讲模块一 二次函数与一元二次方程求二次函数的图象与轴的交点坐标，就是令，求中的值的问题。此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程的根的个数决定了抛物线与轴的交点的个数。当中的时，二次函数的图象与轴有两个交点；当中的时，二次函数的

5、图象与轴有一个交点；当中的时，二次函数的图象与轴没有交点； 抛物线与轴的两个交点之间的距离公式（2005 广东）求二次函数与轴的交点坐标？【难度】1星【解析】求二次函数与轴的交点坐标，也就是令，解一元二次方程即可。【答案】对于 令，则 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，【巩固】已知抛物线与轴的两个交点的横坐标是方程的两个根，且抛物线经过点，求二次函数的解析式【难度】1星【解析】通过交点确定函数的解析式，可以采用双根式。【答案】 ， 交点坐标为， 设抛物线的解析式为 将点代入得 解得 二次函数的解析式为已知抛物线，求： （1）为何值时，抛物线与轴相交于两点，仅相交于一点、不想交？ （2）为何值时

6、，抛物线与轴的两个交点，分别在原点的两侧？【难度】2星【解析】判断抛物线与轴的交点情况，主要判断；两交点是否在原点两侧，要由根与系数的关系来推断。【答案】（1） 当，且 即当且时，抛物线与轴交于两点 当，且 即当时，抛物线与轴交于一点当，且 即当时，抛物线与轴无交点 （2）设抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为、 抛物线与轴的两个交点分别在原点的两侧，则 ，且 又， 解得 当时，抛物线与轴的两个交点分别在原点的两侧【巩固】（2006 武汉）已知抛物线与轴有两个交点，且这两个交点分别在直线的两侧，则的取值范围是？【难度】2星【解析】本题要求两个交点分别在直线的两侧，则两根中一根大于1，另一根小于1

7、。【答案】抛物线与轴有两个交点，且在直线的两侧 即 解得【巩固】为何值时，抛物线与轴没有交点？【难度】1星【解析】判断函数图象与轴的交点情况要通过判断来决定。【答案】 图象与轴没有交点 所以当时，函数与轴没有交点已知二次函数的图象与轴交与、两点，与轴交于点，求的面积【难度】2星【解析】本题的关键是求线段的长【答案】依题意知 模块二 二次函数与一元二次不等式二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下：（其中 ）判别式情况抛物线与轴的交点不等式的解集不等式的解集有两个交点或有一个交点或无解无交点全体实数无解判别式情况抛物线与轴的交点不等式的解集不等式的解集有两个交点或有一个交点无解或无交点无解全体实

8、数已知二次函数，当自变量取时，其相应的函数值小于，那么下列结论中正确的是（ ）A的函数值小于B的函数值大于C的函数值等于D的函数值与的大小关系不确定【难度】2星【解析】由题意得：此二次函数与轴有两交点，两交点横坐标为，两交点的距离为，当取时，函数值小于，当取时，函数值大于【答案】B【巩固】小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式的值的情况他们作了如下分工：小明负责找值为时的值，小亮负责找值为0时的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）A小明认为只有当时，的值为.B小亮认为找不到实数，使的值为.C小梅发现的值随的变化而变化，因此认为没有最小值D小花

9、发现当取大于的实数时，的值随的增大而增大，因此认为没有最大值.【难度】2星【解析】当时，解得，故A正确当时，故B正确，当时，有最小值1，但没有最大值.故C错D正确.【答案】D（2009 北京中考）已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.【难度】3星【解析】二次函数与方程、不等式综合.【答案】（1）由题

10、意得，为正整数，（2）当时，方程有一根为零；当时，方程无整数根；当时，方程有两个非零的整数根综上所述，和不合题意，舍去；符合题意当时，二次函数为，把它的图象向下平移个单位得到的图象的解析式为（3）设二次函数的图象与轴交于、两点，则，依题意翻折后的图象如图所示当直线经过点时，可得；当直线经过点时，可得由图象可知，符合题意的的取值范围为阅读材料，解答问题。例：用图象法解一元二次不等式：设，则是的二次函数抛物线开口向上又当时，解得，的解集为或（1）观察图象，直接写出一元二次不等式的解集是 （2）仿照上例，解一元二次不等式。【难度】2星【解析】二次函数与方程、不等式综合.【答案】（1） （2）设，则是

11、的二次函数 抛物线开口向上 又当时，解得，的解集为或模块三 二次函数与一次函数、反比例函数综合一次函数的图象与二次函数的图象的交点，由方程组的解的数目来确定：（1）方程组有两组不同的解时与有两个交点；（2）方程组只有一组解时与只有一个交点；（3）方程组无解时与没有交点.（2011 芜湖）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A B C D【难度】2星【解析】先根据二次函数的图象开口向下可知，再由函数图象经过原点可知，利用排除法即可得出正确答案【答案】D【巩固】（2006 日照）已知，两点关于轴对称，且点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，设点的

12、坐标为，则二次函数（ ）A有最小值，且最小值是B有最大值，且最大值是C有最大值，且最大值是D有最小值，且最小值是【难度】1星【解析】先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特点求出其最值即可【答案】D（2009 南充）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于、，求过、三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使四边形的面积与四边形的面积满足：？若存在，求点E的坐

13、标；若不存在，请说明理由【难度】4星【解析】此题将初中所学三个主要函数：一次函数（含正比例函数）、反比例函数、二次函数结合起来，考查了用待定系数法求函数解析式、函数与坐标的关系及不规则图形面积的求法，综合性较强，难度适中【答案】：（1）设正比例函数的解析式为因为的图象过点所以，解得这个正比例函数的解析式为设反比例函数的解析式为（ 因为的图象过点，所以解得 这个反比例函数的解析式为（2）因为点在的图象上，所以 则点 设一次函数解析式为（） 因为的图象是由平移得到的，所以，即又因为的图象过点所以 解得 一次函数的解析式为 （3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为设二次函数的解析式为（）因为的图象过点

14、， 所以 ，解得 ，这个二次函数的解析式为 （4）交轴于点，点的坐标是如图所示，假设存在点，使四边形的顶点只能在轴上方，S 在二次函数的图象上， 解得或 当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去，点的坐标为课堂检测二次函的图象如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为（ ） A B C D【难度】2星【解析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系【答案】D已知方程的两个实根一个小于，一个大于，求的取值范围【难度】2星【解析】二次函数与方程、不等式综合【答案】设，因为方程的两个实数根一个小于，一个大于，所以有即，解得所以已知二次函数的图象经过三点（1，0）

15、，（-3，0），（0，）。（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象；（2）若反比例函数图象与二次函数的图象在第一象限内交于点，落在两个相邻的正整数之间。请你观察图象，写出这两个相邻的正整数；（3）若反比例函数的图象与二次函数的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为满足，试求实数的取值范围。【难度】3星【解析】二次函数与方程、不等式综合【答案】（1）设抛物线解析式为将（代入，解得抛物线解析式为（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图象（略）由图象可知，交点的横坐标落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。（3）由函数图象或函数性质可知：当时，对,随着x增

16、大而增大，对，随着的增大而减小。因为为二次函数图象与反比例函数图象的交点，所心当时，由反比例函数图象在二次函数上方得，即，解得 同理，当时，由二次函数数图象在反比例上方得，即，解得所以的取值范围为若二次方程在区间内仅有较大实根，另一根不等于，求的取值范围【难度】3星【解析】二次函数与方程、不等式综合【答案】原方程可化为，因为方程较大实根在内，且另一根小于，所以有即解得所以，故当时，方程在内仅有较大实数根，且另一根不等于如图，已知二次函数的图象经过三点、，它的顶点为，又正比例函数的图象与二次函数相交于两点、，且是线段的中点（1）求该二次函数的解析式，并求出函数顶点的坐标；（2） 已知点，且二次函

17、数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围；（3）当时，求四边形的面积的最小值【难度】3星【解析】二次函数与方程、不等式综合【答案】 二次函数的图象经过三点、，解得，二次函数的解析式为又，顶点的坐标为 在正比例函数的图象上，即，正比例函数解析式为，与二次函数解析式联立得，得，代入，点的坐标为，则当二次函数值大于正比例函数时，根据函数图象可知：自变量的取值范围为 联立正比例函数与二次函数解析式，消得：，时正比例函数与二次函数的交点，点是线段的中点，则点坐标为，即连结，而 ，当且仅当时，取得最小值总结复习1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 3老师点评： 课后作

18、业（2010 东营）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为（） A B C D【难度】2星【解析】二次函数与方程、不等式综合【答案】B若的二次方程，因为方程的解都位于的范围中，求正整数的值【难度】2星【解析】二次函数与方程、不等式综合【答案】设，因为方程的两个解都位于中，所以，满足条件由得，符合条件的值为由得把各值代入，得，把各值代入，得，符合条件的，的值是，实数在什么范围内取值时，关于的方程的一个根大于而小于，另一个根大于而小于？【难度】2星【解析】二次函数与方程、不等式综合本题中，通过四个不等式即可将抛物线的“位置”确定，从而解不等式组求出的范围一般地，在讨论一元二次方程根的情形时，要充分利用数形结合的思想，即先根据条件“定”出图象位置，由所给条件画出满足条件的图象，再由图象列出不等式(组)，最后解不等式(组)求解【答案】设，由题设及其示意图知抛物线与轴的两交点分别落在和内的充要条件是即解得满足条件的的取值范围是如图，已知二次函数的图象经过三点A，B，C，它的顶点为M，又正比例函数的图象于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点。（1）该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；（2