初中数学锐角三角函数性质讲义

1、锐角三角函数中考要求内容基本要求略高要求较高要求锐角三角函数了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题重难点掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值；知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律；同角三角函数、互余角三角函数之间的关系；将实际问题转化为数学问题，建立数学模型例题精讲模块一三角函数基础锐角三角函数的定义如图所示，在中，a、b、c分别为、的对边（1）正弦：中，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即（2）余弦：中，锐角的邻边与斜

2、边的比叫做的余弦，记作，即 （3）正切：中，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即注意： 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义 、分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为与、与、与的乘积 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值特殊角三角函数三角函数 这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！三、锐角三角函数的取值范围在中，又，所以 四、三角函数关系 1同角三角函数关系： ， 2互余角三角函数关系： (1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：；(

3、2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值： 3锐角三角函数值的变化规律： (1)A、B是锐角，若AB，则；若AB，则(2) A、B是锐角，若AB，则；若AB，则(3) A、B是锐角，若AB，则；若AB，则例题精讲模块一三角函数基础如图：在中，求和的值【难度】2星【解析】根据正弦定义知， ，因为未知，所以先根据勾股定理求出在中，有勾股定理得=2，【答案】【巩固】（2008年威海）在中，则的值为（ ） A B C D【难度】3星【解析】如图，设因为，所以据勾股定理得： 所以【答案】D【巩固】在中，则 【难度】3星【解析】由题意得：，所以 【答案】

4、1已知：如图，中，.是边上一点，于点，求：、【难度】3星【解析】由题意得：，所以 在中， 即【答案】见解析【巩固】（2011甘肃兰州）如图，、三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点逆时针旋转得到，则的值为（ ）A B C D【难度】3星【解析】过点作于,由题意得： 在中， 即【答案】B（2011江苏南京）如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的值等于_ 【难度】2星【解析】根据圆的性质可知：是等边三角形 ，即，所以【答案】【巩固】已知：如图，在直角坐标系中，射线为第一象限中的一条射线，点的坐标为（1，0），以原点为圆心，长为半径画弧，交

5、轴于点，交于点，作轴交于点设求：P点和C点的坐标（用的三角函数表示）【难度】3星【解析】过点作于，由题意得：在中，所以点在中，所以点已知=，则= 【难度】2星【解析】任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 【答案】【巩固】在中，若+=，则等于（ ）A B C D【难度】2星【解析】解法一：代特殊值法知：当时，满足+=，所以 解法二：因为，所以，即，所以【答案】B如图，两条宽都为的平直纸条，交叉叠放在一起，他们的交角为，求他们的重叠部分的面积（即图像的阴影部分的面积）【难度】4星【解析】如图，易知四边形是平行四边形，作于点，于点，因两纸条宽相等，故，在直角三角

6、形中，由得，从而重叠部分的面积为【答案】【巩固】（2009吉林）如图所示，将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是（ ）A B C D2【难度】3星【解析】分别过点作于，于，则 所以，又，所以【答案】B如图，在中，=，于，则=，=，=，=，=，=【难度】1星【解析】利用三角函数定义【答案】 【巩固】在中，=，=9，则= 【难度】2星【解析】要求学生能够正确画出图形，找出相对应的边 因为，所以【答案】6如图，在中，则下列结论正确的是（ ） A B C D 【难度】2星【解析】考查勾股定理和锐角三角函数的定义，由勾股定理得：根据三角函数定义：，【答案】D 【巩固】（2011江苏

7、连云港）如图，的顶点都在方格纸的格点上，则=_【难度】2星【解析】正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的过点作交的延长线于。此钝角三角形在网格图中，在中，的对边是个单位长度，邻边是个单位长度，根据勾股可得斜边是个单位长度，再根据正弦定义【答案】（2011山东烟台）如果中，=，则下列最确切的结论是（ ）A是直角三角形 B是等腰三角形C是等腰直角三角形 D是锐角三角形【难度】2星【解析】由特殊三角函数值易知：【答案】C【巩固】已知为锐角，且，则的度数是（ ）A B C D【难度】1星【解析】解法一：设因为，所以，即=解法二：因为=，所以=【答案】A【巩固】在中，、都是锐角，且=，=，则是（

8、 ）A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定 【难度】2星【解析】由特殊三角函数值知，根据三角形的内角和是得该三角形是钝角三角形。【答案】B中，分别是的对边。已知，则的值等于 【难度】3星【解析】注意到，所以为直角，所以，即 【答案】已知=，则= 【难度】2星【解析】任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 【答案】【巩固】在中，若+=，则等于（ ）A B C D【难度】2星【解析】解法一：代特殊值法知：当时，满足+=，所以 解法二：因为，所以，即，所以【答案】B若的补角是的3倍，则= 【难度】2星【解析】由题意得：，所以【答案】 【巩固】的补角是

9、120，则_，_【难度】2星【答案】，为锐角，且满足，求的值【难度】3星【解析】因为，所以，【答案】【巩固】若为直角三角形中的一个锐角，则_ 【难度】3星【解析】因为，所以，即因为，所以【答案】模块二比较大小比较下列各式的大小（1）和；（2） 当是锐角时，和【难度】3星【解析】（1）解法一：因为，且，所以 解法二：因为，且，所以 （2）在中，a、b、c分别为、的对边，所以， 又因为，所以【答案】(1) (2) 【巩固】(2011广东茂名)如图，已知：，则下列各式成立的是（ ）A B C D【难度】2星【解析】解法一：利用锐角三角函数的性质 解法二：代入特殊值法【答案】B【巩固】已知为锐角，且，

10、则的取值范围是 ( )A B C D 【难度】3星【解析】锐角三角函数的性质、代入特殊值法【答案】C 已知：如图，是上的两点，求证：（1）；（2）；（3）锐角的正弦函数值随角度的增大而_；（4）锐角的余弦函数值随角度的增大而_【难度】3星【解析】（1）分别过作于，于如图，又，所以即因为是上的两点，所以、不可能与半径（）相等所以（2）方法同（1）（3）增大（4）减小【巩固】已知：如图，是上的两点，（1）求证：；（2）锐角的正切函数值随角度的增大而_【难度】3星【解析】（1）在中，；在中， 又，是上的两点，所以 所以，即 （2）增大模块三 化简求值例：求下列各式的值：（1）；（2）【难度】2星【解

11、析】(1) (2)【答案】（1） （2）【巩固】计算（1）； （2）【难度】2星【解析】（1）= = （2）=【答案】（1） （2）0（1）（2009义乌）计算：（2）（2010北京）计算：【难度】3星【解析】（1）原式 （2）原式【巩固】（1）（2010湖南）计算： （2）（2010济宁市）计算：【难度】3星【解析】（1）原式 （2）原式 化简计算（1）；（2）；【难度】3星【解析】（1） （2） 【答案】（1）5 （2） 【巩固】化简：（其中）【难度】4星【解析】原式 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式【答案】见解析（2011湖北襄阳）先化简再求值：，其中【难度】3星【解析】原式当时，

12、原式已知，且为锐角，求的值【难度】4星【解析】因为，且为锐角，不妨设，所以（） 由三角函数的定义知，故原式【答案】 【巩固】已知为锐角，则_；【难度】4星【解析】， 为锐角，【答案】模块四 三角函数与代数综合求适合下列条件的锐角：；【难度】3星【解析】，.【答案】【巩固】求适合下列条件的锐角：.【难度】3星【解析】，.，.【答案】已知为锐角，且，求的度数.【难度】4星【解析】，即：.解得：或.，.【答案】【巩固】若为锐角，且，求的度数.【难度】4星【解析】由为锐角，可知. 又由，可知，解之得.【答案】模块四 三角函数与代数综合已知：，则之间的关系是（ ）A B C D 【难度】4星【解析】因为

13、，所以两式平方相加可得【答案】C 模块五 三角函数与几何综合（2011四川南充市）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上.（1）求证：（2）若，求的值.【难度】3星【解析】（1）证明：四边形是矩形沿折叠为又(2) 解：在中，.设则 沿折叠为 又 【答案】 见解析（2011江苏淮安）如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转后得到交于点，如果，则的周长等于（ ）【难度】3星【解析】在中， 所以 因为，所以 又在中，所以，所以 即的周长：【答案】（2011江苏苏州）如图，在四边形中，、分别是、的中点，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【难度】3星【解析】连结，则，又，所以是直角三角形， 所以【

14、答案】B（2011四川内江）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且， ，则的面积为 （ ）A B CD【难度】4星【解析】因为，所以 所以，所以，即，所以 所以等边的面积：【答案】C【巩固】（2011山东临沂）如图，中，则的面积是（ ）A B C D.【难度】4星【解析】过点作于.由题意得：， 所以 又在中，所以 所以的面积：【答案】A 已知：如图，的半径于点，求：及的长【难度】3星【解析】在中，所以 所以.根据垂径定理得： 用几何方法求的值【难度】4星【解析】如图所示，画，使，延长到，使，连接，则在中，.依定义得：；.【答案】见解析【巩固】用几何方法求的值【难度】4星【解析】见“例题”如

15、图，在中，是边上的高，求证：若，求的长【难度】3星【解析】（1）在中，在，因为，所以，即（2）设，因为，所以由勾股定理得所以 【答案】8【巩固】如图，一块三角形土地，已知两边长与夹角，求这块土地的面积（精确到1，参考数据：）【难度】3星【解析】如图，作边上的高，过作于，在中， 所以所以=（）【答案】184如图，在中，沿的斜边上的中线将折叠，使点落在点处，若恰好与垂直，则的值为 _ 【难度】3星【解析】因为是直角三角形斜边的中点，所以，因为，所以 因为垂直平分线段，所以，又因为，所以【答案】课堂检测如图，在中，则下列结论正确的是（ ） A B C D 【难度】2星【解析】考查勾股定理和锐角三角函数的定义，由勾股定理得：根据三角函数定义：，【答案】D （2011安徽芜湖）计算： 【难度】2星【解析】原式=【答案】点关于轴对称的点的坐标是（ ）A B C D【难度】3星【解析】由题意得：点关于轴对称的点坐标是【答案】A在中，若，则的度数是（ ）A B C D【难度】3星【解析】由题意得：， 所以，所以【答案】C已知为锐角，且，则的取值范围是 ( )A B C D 【难度】3星【解析】锐角三角函数的性质、代入特殊值法【答案】C 总结复习1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 课后作业（2011甘肃兰州）已