定角夹定高(学生版)

1、定角夹定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A,A到直线BC距离为定值（定高），ZBAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。我们可以先看一下下面这张动图，在三角形ABC当中，ZBAC是一个定角,过A点作BC边的高线，交BC边与D点，高AD为定值。从动态图中（定角定高动态图gsp）疋角疋高动态图.gsp我们可以看到，如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。我们可以先猜想一下，AD过圆心的

2、时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC的长是最小的，从而三角形ABC的面积也是最小的。（定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理）那么该如何证明呢？首先我们连接OA，OB，OC,过O点作OH丄BC于H点.（如图1）显然OA+OHAD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”由于ZBAC的大小是一个定值，而且它是圆o的圆周角，因此它所对的圆心角ZAOB的度数，也是一个定值。因此OH和圆O的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH也和O的半径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OHAD，就可以求得圆O半径的最小值。简证：OA+OHADOEDH为矩形，OH=ED,在RtAOE中,A

3、OAE,.AO+OH=AO+EDAE+ED=AD【总结】：定角定高三角形面积最小值时，该三角形为等腰三角形，其定高是所对底边的垂直平分线，或者说定高过该三角形外接圆圆心。定角可以看做是圆周角，因此它所对圆心角不变，往往要通过圆心角所在等腰三角形中解直角三角形。定角定高作用，求这类三角形高所对底的最小值，以及这类三角形最小面积例1（旋转全等构造）：（2017曲江区模拟&巧学数学）如图，在四边形ABCD中,AB=AD=CD=4,ADBC,ZB=60，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且ZEAF=60。，则AAEF的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由。例2：(巧学数

4、学)已知等边ABC,点P是其内部一个动点，且AP=10,M、N分别是AB、AC边上的两个动点，求APMN周长最小时，四边形AMPN面积的最大值.【解题步骤】：1作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r,用r表示圆心到底边距离及底边长;根据“半径+弦心距三定高”求r的取值范围；用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值。【简单探照灯】如图，在AABC中，ZACB=60,CD为AB边上的高，若CD=4，试判断AABC的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由.(高新一中6模)问题提出：如图，已知Z4OB=45，点P在ZAOB内部，且OP=10，若点M、N分别在

5、射线OA、OB上运动,则APMN周长的最小值为如图，在AABC中，AB=AC，AD丄BC,ZBAC=45,AD=22.请计算BC的长。BHC（3）某市成功跻身国家中心城市的行列，该市拟在如图所示的区域，建造城市最大的文化生态公园。已知在四边形ABCD中，ZABC=60，公园的设计师想在园中距离点B为100米的点P处修一休息室，同时在AB上选点M在边BC上选点N,分别连接P、M、N,使APMN在周长最短的情况下，景观绿化区四边形BMPN的面积最大。设计师的想法能实现吗？如果能，请求出四边形BMPN面积的最大值，若不能，说明理由。如图，正方形ABCD的边长为4,动点E、F分别在BC、CD上，且ZE

6、AF=45，则线段EF的最小值为；5CEF面积的最大值为；四边形AECF面积的最大值为.（可将“ZEAF=45”更改为“ZDAE=ZFEA”同题5）4.如图，四边形ABCD中，AD/BC,ZD=90,BC=CD=4，E为CD边上任意一点，连接AE、BE,若ZEAB=ZCBA，AABE的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。（也可半角模型旋转全等）5.（难）如图，等边ABC边长是1,O是外心，过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E.将BDE沿直线DE折叠，得到BDE，若BE交AC于点F.试求EF的最小值，CEF面积的最大值6.（旋转全等转化）在四边形ABCD中，A

7、B=AD,ZBAD=60,ZADC=150。，过点D作DH丄BC,垂足为H,若DH=2，求AC的最小值.【定角定高求周长最小】(探照灯问题由来)问题探究：如图1,已知等边ABC,边长为4,则的外接圆的半径长为.如图2,已知在矩形ABCD中,AB=4,对角线BD与边BC的夹角为30，点E在为边BC上且BE二1BC,4点P是对角线BD上的一个动点，连接PE、PC,求APEC周长的最小值.问题解决：为了迎接新年的到来,西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演.其中一个镭射灯距城墙30米,镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60，如图3,若将两根管线(AB、AC)和光线与城墙的两交点的连接的线段(BC)看作一个三

8、角形，记为ABC,那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.图1图2在AABC中，ZBAC=60，高AD=30,求周长的最小值。在AABC中，ZBAC=90。，高AD=2，求AABC周长的最小值.【旋转全等构造探照灯】正AABC边长为2+3,PB丄AB,PC丄AC,M,N分别在PB、PC上,ZMAN=30，则Sam最最小时，MN=2如图，某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形ABCD中,ZBAD=45,ZB=ZD=90,CB=CD=0込，点E、F分别为边AB.AD上的点，若保持CE丄CF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值,若存在,请求出

9、面积的最大值；若不存在,请说明理由。3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3,ZBAD=120,ZB=ZD=90，且ZEAF=60。，点E、F分别在BC、CD上，则AAEF面积的最小值是多少？如图，四边形ABCD中，AB=AD=4込,ZB=45,ZD=135，点E,F分别是射线CB、CD上的动点,并且ZEAF=ZC=60。，求AAEF的面积的最小值.5.（初中数学优质资源中心20190619）如图，有一块四边形ABCD板材，AD=40.：3cm,ZC=60,AD/BC,AB丄BC,工人师傅想从四边形ABCD的板材中截出一个四边形FMCN部件，且满足F在AB上,BF=80cm,AF=40cm

10、，点M在CD上，点N在BC,ZMFN=90，这个四边形FMCN部件的面积是否存在最大值？若存在，求出面积最大值；若不存在,请说明理由。6如图，O是正方形ABCD的中心，AOEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，OE=AB=4,NOEF绕点O旋转，设它与正方形ABCD的重叠部分的面积为S,求S的取值范围。7.如图，四边形ABCD边长为6的菱形，其中，厶A=60。,E、F分别在射线AB、BC上，ZEDF=90求AEDF面积的最小值.&（2019碑林区校级模拟）（1）如图1,已知ABC是边长为4的等边三角形，点D为AB的中点，E,F分别为边AC，BC上的动点，连接EF,DE,DF,请直接写出ABC的

11、面积；若ZEDF=120,请求出ACEF周长的最小值；（2）如图2,已知四边形ABCD中，AD=3,AB=2,BC=4,ZB=60,ZD=90,E为BC边上一个动点，点F在直线CD上，且满足EA丄AF,连接EF.试探究AAEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由AEBABEB备用图【旋转位似构造探照灯】（陕西初中数学学堂定角三角形研究二）如图，正ABC边长为3,D、E、F分别在边BC、AB、AC上,BD=2CD,ZEDF=60，求：ADEF面积的最小值（陕西初中数学学堂定角三角形研究二）（旋转全等）AABC,ZA=120,AB=AC=1,D是BC中点，ZEDF=1

12、20，求：ADEF面积的最小值（陕西初中数学学堂定角三角形研究二）在ABC中，ZA=120,AB=AC,D是BC上一点，CD=kBD,/EDF=120，求：ADEF面积的最小值（陕西初中数学学堂定角三角形研究二）在厶ABC中，ZA=9,AB=AC,D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，CD=k-BD,ZEDF=5,（0+8-180。0），求ADEF面积的最小值.（化简需用到高中诱导公式）如图，四边形ABCD中，ZA=135,ZB=60,ZD=120,AD=5,AB=6,E、F分别为边BC及射线CD上的动点，ZEAF=45，求AAEF面积的最小值.如图，四边形ABCD中，ZB=ZD=60,ZC

13、=90,AD=2AB=2,M、N分别在直线BC、CD边上，ZMAN=60，求AAMN面积最小值.7如图，ZMEN=90,其顶点E为正方形ABCD边BC的中点，正方形的边长为4,将上MEN绕点E旋转,边EM与正方形的边交于点F,边EN与正方形的边交于点G,求AEFG面积的取值范围.（ZMEN为其他角度。2.（平几大典）ZBAM=ZABN=90,ZMPN=60，AP=2PB=2，求SpM最小值【8字相似构造探照灯】1.已知矩形ABCD,AB=10,AD=18,BE:EA=2:3,F、G分别是BC、AD上的动点，满足ZFEG=60，求EFG面积的最小值。【变式】定周长；定角；定旁切圆。知二推一，求面

14、积最大值（定周长+定角定旁切圆）如图，已知ABC的周长为6,ZA=120，求ABC面积的最大值.（定周长+定角n定旁切圆）【发现问题】如图1,已知ABC,试确定一点P,使其到ABC三边距离相等。【问题探究】如图2，已知正方形ABCD的边长为1,点E、F分别在DC、CB上，且ZEAF=45,G为FC的中点，求四边形AEGF的面积.【问题解决】河北公园要围一个三角形花圃。如图3,结合各项实际因素，将这个三角形花圃（AABC）的一个内角（ZA）设计为120，并使其面积最大。现用于围花圃的栅栏有20m，则这个计划是否可行？若可行，求出边BC的长度（结果保留根号）；若不可行，请说明理由。图1EFG图2图3CE（定旁切圆+定周长n定周长）如图，在ABC中，BC=6,AC=8,AB=10,点D、点E分别在边AC.BC上，且DE恒过ABC的内心I.点C关于DE的对称点为点C,DC、EC分别交AB于点F、点G,则FC+GC的最大值是【定角夹定角分线】1.(2019定角夹定角分线)如图，在同一平面内的ABC与ACDE均为等边