高考数学专题复习：空间向量基本定理

1、高考数学专题复习：空间向量基本定理、单选题1.如图，已知空间四边形 OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是OA,CB的中点，点G在线段MN上，且使MG 2GN ,用向量OA,OB,OC表示向量OG为（）“1八1八，1AOG OAOB OC633C OG OA 2 OB 2OCD oG33,2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于则AE AF的值为（）A 212,12A aB aC a24122-OA -OB -OC 2331 _ 1 1 _ 1 2 _ ”-OA -OB -OC33a,点巳F分别是BC,AD的中点,D.由 a24.已知空间向量a, b满足的|=| b |=1,

2、且a, b的夹角为-,o为空间直角坐标系的原点,点A, B满足OA = 2a+b, OB =3a-b ,则4OAB的面积为（24D.1144.如图所示，空间四边形 OABC中，OB OC , AOBD.A0c 小贝（J cos OA , BC35.设向量a,b,c是空间一个基底，则一定可以与向量p a b, q a b,构成空间的另一个基底的向量是（答案第1页，总16页C.D. a或b6.若a,b是平面a内的两个向量，则（a内任一向量p a b（X,代R）B.若存在入代R使a b=0,则1= 0C.若a,b不共线，则空间任一向量 pb （入西R）D.若a, b不共线，则a内任一向量pb （入4

3、R）7.已知 a cos ,1,sin , bsin,1,cosa b与a b的夹角是（90604530.若 a = （ai, a2, a3）, b = （bi,b2,b3）,则,aa2b1b2a3:是”3的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.如图，在三棱锥P ABC 中,PAa, PB b, PCD、E分别为棱PA、BC的中点，则DE1 .1.1A.-a-b-c2221 - 1 - 1 - C. la b c 2221 .1 11 1-ab-c2221-1-1-abc222B.D.A, B,10.已知 A, B, C,D, E是空间中的五个点，其

4、中点C不共线，则存在实数x,v,使得DE xAB yAC是DE / /平面ABC”的（A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案第2页，总16页11.已知在四棱柱 ABCD A BCD中，四边形 ABCD为平行四边形，若B 3A. 212.在三锥。ABC 中，OA a,OBb,OC c,AM2MO ,N为BC中点，则MN （）A.C.1 . 2，-a b 231 1 . -a - b22填空题1 c21 . -c2D.1 .1 Ka b321 . 2. ab331 c21 . c213.在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形,O为矩形ABCD外接圆

5、的圆心.若OPxAB yAD zAP ,则 x y z14.在长方体ABCD ABC1D1中，M为AC1与口目的交点,设 AB a , AD则向量AMa/b,则15.已知 a 3m 2n 4p(a 0) , b (x 1)m 8n 2yp ,且 m?n?p不共面,16.如图所示，在正方体 ABCDA1BC1D1中，点F是侧面CDDiCi的中心，若AF xAD yAB zAAi ,求 x17.如图所示，已知空间四边形三、解答题ABCD的每条边和对角线长都等于 1,点E,F,G分别是AB, AD, CD的中点.答案第3页，总16页(1)求 eF bA ；(2)求EG的长.BD.在平行六面体 ABC

6、D-AiBiCiDi 中，设 AB a,AD b,AA c , E, F 分别是 ADi,的中点.0G(1)用向量 a,b, c表示DB, EF ；(2)若 DF xa yb zc,求实数 x, y, z 的值.已知A , B , C三点不共线，对平面 ABC外的任一点O,若点M满足1 - 1 1 OM OA OB OC 333.(1)判断MA , MB , MC三个向量是否共面；(2)判断点 M是否在平面 ABC内.答案第4页，总16页.如图，在三锥A BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且EF 2FA .设BC a , BD b，BA c,求直线 AE, BF的方向向量.如图，在空间平

7、移 aABC至iABC ,连接对应顶点，设 AA a, AB b , AC c , M是BC的中点，N是BC的中点，用基底 a,b,C表示向量aM , AN .在平行六面体 ABCD A1BC1D1 中，AB 4 , AD 4 , AA 5, DAB 60 , BAA1 60 ,DAA 60 , M , N分别为RG, C1B1的中点.(1) a, b,c构成空间的一个基底，用它们表示MN, AC1,设AB a , AD b , AA c.(2)求AG与MN的夹角.答案第5页，总16页参考答案1 . A【分析】结合空间向量的加法、减法和数乘运算，把向量OG逐步向基底靠拢，再结合点的位置关系可得

8、答案.【详解】 TOC o 1-5 h z 一 一. _- 2- 2 1-OG OM MG OM - MN -ON OM 333.因为M,N分别为OA,CB的中点，1 ，1.所以 OM OA,ON OB OC , 22111-1-1-所以 OG- OBOC-OA-OA-OB-OC36633故选：A.C【分析】 由题意可知，空间四边形ABCD相邻两边的夹角都为 60 ,所以把AB,AC, AD看成空间向量的基底，将AE,AF用基底表示化简可得答案【详解】1 1一 TOC o 1-5 h z AE AF (AB AC) AD 22111,-(AB AD AC AD)1,2212(a cos60 a

9、 cos60 ) a 44故选：CB【分析】求出|5X|和|OB|, cos/AOB和sin/AOB,根据三角形的面积公式可求出结果 【详解】.一.1 2 , 2 _ 1 2, 11 ；一|OA|= 7(2ab=j4B| |b| 4a b ,41411 = 77 ,答案第6页，总16页|OB I , (3a b),9a2 6a b b2 TOC o 1-5 h z _ .,221则 cos/AOB=婴当= 6ai 1b1 ab 6 1 1 1 2=工|OA|OB|77 14从而有 sin/AOB 111= 5_J ,1414.OAB 的面积 S l|OA|OB|sin AOB = ； x x

10、X5Z3 =壁，故选：B.A【分析】利用OB OC ,以及两个向量的数量积的定义求出cos OA , BC 的值即可.【详解】,-,OB OC ,OA BC OA (OC OB)OAOC OAO B OAlcos3OA|?OBcos31. . ,一-OA,?(,OC| | OB) 0cos OA, BC 0,故选：AC【分析】判断哪个与p,q不共面即可得.【详解】由题意和空间向量的共面定理，结合 p q (a b) (a b) 2a,得a与p,q是共面向量，同理b与p,q是共面向量，所以a与b不能与p,q构成空间的一个基底;又c与&和b不共面，答案第7页，总16页所以c与p,q构成空间的一个基

11、底.故选：C.D【分析】根据空间向量共面定理判断.【详解】 当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，入=产0时，a b = 0 ,故B项不正确；若a与b不共线，则与a、b共面的任意向量可以用a, b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确.故选：D.A【分析】先利用向量坐标计算模长，再化简计算数量积b a b 0 ,即得夹角为90.依题意,cos,1,sin,b sin ,1,cos2sin所以2ab2a2 b所以即向量a b与a b的夹角是90.故选:A.A结合空间向量共线定理，直接利用充分条件和必要条件的定义判断即可a1a2a3a1a2a3 .解析：设广工 k ,则a=kb

12、 ,即a b ,即二 可推出 a /b ； b1b2b3b1b2ba又若b = 0时，b = (0, 0, 0),虽有a/b成立，但条件 曳显然不成立，bi b2 b3答案第8页，总16页所以a/b”推不出令b2a? .是a b”充分不必要条件.b39. D【分析】连接PE,利用空间向量的加法和减法法则可将De用a、b、c加以表布.连接PE,如下图所示:PEPBBE PB 12BCPBPCPB1 1PB 21 1PC2 ，因此,DEPE-1PD -PB21PC 21 .-a2-b 2故选:D.B利用存在实数x,y,使得dexAByACDE /平面ABC或DE 平面ABC ,结合充分必要条件的定

13、义即可求解若DE/平面ABC,则DE, AB, AC共面，故存在实数 x, y,使得DE xAB yAC ,所以必若存在实数x, y,使得DE xAB yAC ,贝U DE, AB, AC共面，贝U DE /平面ABC或DE面ABC,所以充分性不成立;答案第9页，总16页所以 存在实数x, y,使得DE xAB yAC是DE/平面ABC”的必要不充分条件,故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数 x, y,使得DE xAB yAC DE/平面ABC或DE 平面ABC是解题的关键，属于基础题C【分析】0,由题意可得 AB BC CC 3aAB 2bBC cCC ,则(

14、3a 1)AB (2b 1)BC (c 1)CC而丽,BC,CC为空间不共面的三个向量，所以3a 1 2b 1 c 1 0,从而可求得答案【详解】据题意，得 aC AB BC CC, AC 3aAB 2bBC cCC ,所以 AB BC CC 3aAB 2bBC cCC , 即(3a 1)AB (2b 1)BC (c 1)CC, 0.又因为丽，氏,CC为空间不共面的三个向量， TOC o 1-5 h z 所以 3a 1 2b 1 c 1 0, 11.1所以 a -,b -,c 1,所以 abc =-. 326故选：C.B【分析】1,1，1-.连接 ON,得 ON - OB OC OM -OA

15、所以 MN MO ON OM - OB OC 232得答案.【详解】答案第10页，总16页 TOC o 1-5 h z 11r连接 ON ,所以 ON OB OC - b c 22E、， 一一 ,、， P 11 P因为AM 2MO,所以OM OA a, 331 r11 r所以 MN MO ON OM-OB OC-a-b-c322-故选：B.2【分析】利用空间向量基本定理将 而用AB,AD,Ap出来，从而可求出x,y,z的值，进而可得答案【详解】如图，由题意可得rrI1I*Irr1,OP AP AO AP (AB AD) AB AD AP xAB yAD zAP22211则 x - , 丫一一2

16、，z 1 ,故 x y z 2.故答案为：212a【分析】作出图形，可知点m为aci的中点，利用空间向量的加法法则可得出而关于a、b、c的表达式.【详解】 如下图所示，由于四边形 AB1C1D1为矩形，M为AC1与DiB的交点，则M为ACi的中点,答案第11页，总16页由题可得AM1 一，AAi AiM AAiAC 12-111AAA1B1 A1D1 - AB -AD AA2221 . 1 , a -b c. TOC o 1-5 h z 22，1 ， 1故答案为：1a 1b c.225根据a/b,且m ?n? p不共面可得，存在使得b a，根据向量相等可列出方程解出x, y解：72/6且 a

17、0, b a,即(x 1)m 8n 2y p又m ?n ? p不共面,x 18 2y则 x 13, y 8, x y 5.故答案为：5【点睛】空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在唯一的实数，使得a =后；(2)共面向量定理:共面向量定理的向量表达式：p xa yb ,其中x, y R, a, b为不共线向量；(3)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量 p ,存在唯一的有序实数组x,y,zp xa yb zc, a,b,c叫做空间的一个基底.1【分析】利用空间向量的加减法运算用AD,AB,AA来表示Q ,即得结果.答

18、案第12页，总16页 TOC o 1-5 h z 一一一一1-111 -AFADDFAD_DDDCADAAAB AD- AB AA1222211故x1,y -，2-，则*丫21. 22故答案为：1.(1) 4； (2)浮【分析】设丽=a , AC= b , AD = c ,(1)将ef和BA化为a, b,C可求出结果；1 . 1 1 1 .(2)将eg化为 -a + 2b +ac可求出结果.【详解】AD = C，则 |a| |b| |C| 1,a,b b,c.11c,a 60,abbcca11-, TOC o 1-5 h z 1 1 11.1，1111EF 2BD 2Ad 2AB -c 2a,

19、 ba ABa11118. (1) D1B a b c, EF -(a c) ； (2) x 2,y-,z利用向量的加减法的平行四边形和三角形法则，结合平行六面体的性质求解即可解：(1) D1B D1D DB AA AB AD a b c, p 1 p2ef ba= (c a) ( a) -a c a 222(2)EG = EB+ BC+ CG11 ,=2 AB + (AC - AB )+ 2( AD - AC ) = 1AB+ 1 AC+ 1AD = -a+ 1b + 1c TOC o 1-5 h z 222222_ 21 r 1”1 - 21.22- 2|EG |( a b c)-(abc

20、2ab 2a c 2b c)22241 1)1 4(1所以1EG1六,即EG的长为五2c) 1 1 EF EA AF Di A AC221DiF(DiD DiB)21(AA1 D1B)2 TOC o 1-5 h z 111(AA1AD)-(ABAD)-(a2221 r ”2( c a b c)1 - 1- a -b c22. (1) MA，MB，MC 共面；(2)点 M 在平面 ABC 内.(1)由向量的线性关系可得 OA OM (OM OB) (OM OC),由向量减法有MA MB MC ,由空间向量共面定理，知 MA，MB，MC共面.(2)由(1)结论，有四点共面，即可知 M在平面ABC内

21、.【详解】(1)由题意，知：3OM Oa OB OC,OA OM (OM OB) (OM OC)，即丽而 CM MB mC ,故MA，MB，MC共面得证.(2)由(1)知：MA，MB，MC共面且过同一点 M所以M，A，B，C四点共面，从而点 M在平面ABC内.直线AE的方向向量AE a b 2c ,直线BF的方向向量BF a b 4c26【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得AD、AC,即可求AE,再由EF 2FA知AF 胆，即可求BF .3【详解】 在 BAD 中，BD b， BA d ,贝U AD BD BA b c , 在 BAC 中，BC a , BA c ,则 AC