高观点下的中学数学必做作业期末

1、一、必做作业：.用两种方法求下列函数的极值：y = x3-3x+1 ;(2) y = 2x3-3x2-12x + 1.解：方法一(利用求导)：y = 3x2 - 3，令y = 0 ,得到：x = 1当xw(q,_1)和(1,2)时，yf 0,函数单调递增，当xwj1,1)时，y0,函数单调递减，所以当x=1时y取得极小值且y极小值=1；当x=-1时，y”0,又(x-1)2之0;所以y = (x-1)2(x+2)-1“1, 即函数y在x0 = 1处取得极小值-1.若x0= -1,则，口 = -2,代入得P =3,从而有：y = (x + 1)2(x 2)十3；当x在-1的附近，显然有x 2 0,

2、又(x+1)2之0；所以：y = (x + 1)2(x-2) + 3w3,即函数y在x0 = -1处取得极大值3.(2)解：方法一(利用求导)：y = 6x2 -6x-12, y* = 12x-6,令 y=0,得到：x=20, y取得极小值且y极小值=-19；当x=-1时，y0，又225(x-2)2 20;所以：y = 2(x 2)2(x+_)_1919,即函数 y在x0 = 2处 2取得极小值-19.当x0 = -1时a = -7,代入得P = 8 ,从而有：227-小-7y = 2(x + 1)2(x-)+ 8 ;当x在-1的附近，显然有x-2 0,x Ji + x2 +1 - x2 A

3、0。xj1 + x2 A x2 -1 (1)当x21时，不等式两边均为正数，两边平方符号不变，即2 22 22424221(x 1 x ) (x -1) = x x x - 2x 1 = x -3U x A3或x -艰，从而x至1 33(2)当xw-1时，xJ1 + x2 0,而x2 - 1a0,从而不等式不成立，无解.(3)当0 E x 1时，x 0,x2 -1 0 ,从而不等式包成立，即不 等式的解为0 w x 1。(4)当-1 x 0时，不等式两边均为负数，两边平方符号改变，即333 c22222(x 1 x ) (x -1) = x x ,从而 x 0 ,求得 f (x) = In x

4、 +1 , f (x)=，由于 xx A0,从而有*(x) 0,因此，f (x)在定义域x 0上为凹函数，则由凹函数的性质可知：V3i 0,有3L g兰f (&+电+an),从而有ai In a1a2lna2% Inaa1a2a a1a2a上In成乂，即ai a2 ana11n a1+a2Ina2+an Inan之(a +a2+an) In,因止匕,n可以知道原不等式成立，即证明。、选做作业.你认为数学分析的辩证观点对哪些中学数学解题策略（除了本章介绍）还有指导作用？请举例说明.解：在证明一些特殊数列无穷项的和为常数时，可以利用数学 分析中函数项级数的展开项进行证明。.在单位正方形的周界上任意两点之间连一曲线，如果它把正方形分成两个 面积相等的部分，试证这个曲线段的长度不小于 1.证：（1）若点M、N分别在对边上（图1）,显然，从M到N的曲线长 度不小于1.图1（2）若点M、N分别在一对邻边上（图2）,则弧MN必与对角线BD相交（否 则弧MN MN成的两部分面积不等），设E为交点，作弧ME关于BD的对称 图形弧M E ,则M 在AB上，因此，由（1）可知弧MN =MM N 1；图2（3）若点M、N在同一条边上（图3）,那么弧MN必与AB、CD的中点连 线EF相交（否则弧MN