331函数的单调性与导数课件(新人教A版选修1-1)

1、3.3.1函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数: （3）.三角函数 ： （1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；若 f(x) 在G上是增函数或减函数，增函数减函数则 f

2、(x) 在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间G = ( a , b )一、复习引入:(2)作差f(x1)f(x2) (作商)2用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取x1、x2D，且x10，则f（x） 是增函数。如果恒有 f(x)0，则f（x） 是减函数。特别地：如果恒有 f(x)=0，则f（x） 是常函数。例1 已知导函数 的下列信息:当1 x 4 , 或 x 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.解: 当1 x 4 , 或 x 0(或f(x)0(或f(x)1，即a2时，f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知：

3、(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.解法二：(数形结合)如图所示，f(x)(x1)x(a1)若在(1,4)内f(x)0，(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，则另一根在4,6上解法三：(转化为不等式的恒成立问题)f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立由题意知5a7.点评本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想解：由已知得因为函数在（0，1上单调递增变式本题用到一

4、个重要的转化：练习10a4补例：方程根的问题求证：方程 只有一个根。已知：x0，求证：xsinx.解析设f(x)xsinx(x0)f(x)1cosx0对x(0，)恒成立函数f(x)xsinx在(0，)上是单调增函数又f(0)0f(x)0对x(0，)恒成立即：xsinx(x0)补例：不等式证明问题补充练习:1、判断下列函数的单调性(1)f(x)=x3+3x;(2)f(x)=sinx-x,x(0,);(3)f(x)=2x3+3x2-24x+1;(4)f(x)=ex-x;2、已知函数f(x)=ax+3x-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。小结：定理：一般地，函数yf（x）在某个区间内可导： 如果恒有 ，则 f(x)在是增函数。 如果恒有 ，则 f(x)是减函数。 如果恒有 ，则 f(x)是常数。步骤：（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f(x)0以及f(x)0f(x)0f(x)0一、求参数的取值范围增例2：求参数解：由已知得因为函数在（0，1上单调递增增例2：在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验