说明线性代数3

1、3.4 矩阵的秩向量组 称为矩阵A的列向量组.向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组矩阵秩的本质仍然是向量组的秩定义 矩阵 的行向量组的秩称为矩阵A的行秩; 其列向量组的秩称为矩阵A的列秩.例如 矩阵 的行秩和列秩各为多少?A的行秩和列秩相等,这是偶然还是必然?为探讨行秩与列秩的关系，先解决矩阵初等变换对行秩、列秩的影响定理1 对矩阵施以初等行 变换，不改变行 秩.（列）（列）证明首先把 写成行向量组形式.(1) 对换两行(即向量 互换位置 )(2) 用非零数 k 乘第 i 行(3) 用非零数 k 乘第 i 行加到第 j 行定理2 对矩阵施以初等行 变换，列 向量间的线性关系不变. （列）（

2、行）“线性关系不变”包含两层含义: 矩阵A的列向量组 中,部分组 线性无关, 则A1 的列向量组对应位置的向量也线性无关, 反之亦然. 矩阵A的列向量组 中,向量 可由其中的线性表示: 则A1的列向量组 中,向量 可由其中的线性表示:反之亦然.【注】对矩阵施以初等行变换，行向量间的线性关系可能改变,对列亦然. 推论 对矩阵A施以初等行变换，列秩不变. 对矩阵A施以初等列变换，行秩不变.例如 综上对矩阵施以初等变换，行秩、列秩均不变. 定理3 矩阵的行秩和列秩相等. A1的行秩等于列秩=r, 则A的行秩等于列秩=r.任一矩阵经初等变换可化为等价标准形!称A1为A的等价标准形行变换列变换矩阵的秩定

3、义 矩阵A的行秩、列秩，统称为矩阵A的秩，记作 . 的取值范围： 称矩阵A为行满秩， 称矩阵A为列满秩. 行满秩、列满秩矩阵，统称为满秩矩阵. 【结论】行满秩 矩阵的行向量组线性无关.列满秩 矩阵的列向量组线性无关.矩阵的秩行向量个数矩阵的秩列向量个数矩阵的行向量组线性相关.矩阵的列向量组线性相关.例2 求向量组 的秩.例1 将 化为等价标准形，并求A的秩. 【注】化阶梯形矩阵即可!例如 A的行向量组和列向量组都线性无关.【结论】行列向量组都线性无关行列向量组都线性相关矩阵秩的判定定理引例 n个n维向量的相关与无关,可通过n阶行列式是否为零判断.矩阵的秩可否通过矩阵中元素构成的行列式来讨论?矩

4、阵的k阶子式引理 矩阵A有一个r阶子式不为零，则 r(A)r.无关增维仍无关定理4 矩阵A存在r阶子式不为零,而所有高于r阶的子式均为零.(反证法)续例2 求向量组 的秩.【注】化阶梯形矩阵即可!分析其依据?【结论】 阶梯形矩阵中不全为0的行数(阶梯的个数).借助矩阵研究向量组 我们可通过矩阵的初等变换求矩阵的秩,而矩阵的秩本质上就是向量组的秩,那么向量组的秩即可通过矩阵秩的求法来得到. 进一步,要找出向量组的”代表”即”极大无关组”,也可通过矩阵的初等变换来实现. 【结论】 设向量组 的秩为r, 证明:中任意r个线性无关的向量都是它的一个极大无关组.【注】向量组的极大无关组不一定唯一.借助矩

5、阵研究向量组例3 求如下向量组的秩, 并从中选出一个极大无关组,将其余向量用极大无关组线性表示. 解一 列向量组构成矩阵A,对A施以初等行变换化为阶梯形矩阵则 , 即 根据初等行变换不改变列向量间的线性关系知, 线性无关,则 线性无关, 即是该向量组的一个极大无关组.继续通过初等行变换,将 化为基本单位向量.则 故解二 把向量组写成行向量构成矩阵A,对A施以初等行变换化为阶梯形矩阵则由阶梯形矩阵得又由阶梯形矩阵最后两行知由此可知则则 即为原向量组的一个极大无关组. 【法一】 1.将向量写作矩阵的列向量，作初等行变换，化阶梯形，得到极大无关组； 2.继续作初等行变换，将极大无关组中向量化为基本单位向量，以得到其余向量用极大无关组的线性表示.【法二】1.将向量写作矩阵的行向量，作初等行变换，化阶梯形矩阵； 2. 记录行变换过程，得到极大无关组, 进而将其余向量用极大无关组线性表示.归纳方法基本概念：行秩、列秩、行秩与列秩相等，等价标准型， 矩阵经初等变换可化为等价标准型.基本定理：初等变换不改变矩阵的秩初等行变换，